人教A版普通高中数学一轮复习38课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习38课时练习含答案，共12页。试卷主要包含了《九章算术·商功》等内容，欢迎下载使用。
1．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为( )
A．36B．33
C．233D．32
B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以DA1＝(1，0，－1)，DC1＝(0，1，－1)，AD＝(－1，0，0)．设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，则m·DA1TX→=0，m·DC1TX→=0，所以x−z=0，y−z=0. 取x＝1，则y＝1，z＝1，所以m＝(1，1，1)为平面A1C1D的一个法向量．显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝AD·mm＝13＝33．
2．(数学与文化)(2024·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为( )
A．23B．63
C．62D．33
B 解析：如图，连接BD，取BD的中点E，连接PE.因为ABCD为长方形，AB＝AD＝2，所以BD＝22.因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以PB＝PA2+AB2＝5，PD＝PA2+AD2＝5.所以PE⊥BD，PE＝PB2−BE2＝3.设点A到平面PBD的距离为h，则三棱锥P-ABD的体积为13S△ABD·PA＝13S△PBD·h，即有13×12×2×2×1＝13×12×22×3×h，所以h＝63．
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为( )
A．102B．142
C．2D．322
B 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，
所以FD1＝(－1，－1，2)，FG＝(－1，1，1)，
所以点D1到直线GF的距离
d＝W2∗23。10ZQFD1TX→2−FD1TX→·FGFG2＝6−232＝423．
又FG＝3，
所以S△D1GF＝12×3×423＝142．
4．(多选题)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是( )
A．2B．3
C．2D．5
CD 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．设P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以AP＝(－3，t，0)，AD1＝(－3，0，3)，AB＝(0，3，0)．
设平面AD1P的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AP=0， n·AD1TX→=0，所以−3x+ty=0，−3x+3z=0.
取y＝3，则x＝t，z＝t，所以n＝(t，3，t)为平面AD1P的一个法向量．
所以点B到平面AD1P的距离为d＝n·ABn＝92t2+9．
因为0＜t＜3，所以点B到平面AD1P的距离的取值范围是(3，3)．
5．已知两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则这两个平面间的距离是 ．
22 解析：因为两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，所以这两个平面间的距离d＝n·OAn＝−2+0+12＝22．
6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE之间的距离为 ．
22121 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，2，1)，所以AE＝(－1，2，1)，BC1＝(－1，0，2)．
设BC1与AE的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，
则n·AE=0，n·BC1TX→=0，所以−x+2y+z=0，−x+2z=0.
取z＝1，则x＝2，y＝12，所以n＝2，12，1为BC1与AE的公垂线的一个方向向量．
又因为AB＝(0，2，0)，
所以异面直线BC1与AE之间的距离为d＝AB·nn＝2×1222+12 2+12＝22121．
7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
解：(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E1，12，0，F1，12，1，
所以AB＝(0，1，0)，AC1＝(－1，1，－1)，AE＝0，12，−1，EC1＝−1，12，0，FC＝−1，12，0，AF＝0，12，0．
取a＝AB＝(0，1，0)，u＝AC1TX→AC1TX→＝−33，33，−33，a2＝1，a·u＝33，则点B到直线AC1的距离为a2−a·u2＝1−13＝63．
(2)因为FC＝EC1＝−1，12，0，
所以FC∥EC1，而FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，
所以FC∥平面AEC1，
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AE=0， n·EC1TX→=0，所以12y−z=0，−x+12y=0.
取z＝1，则x＝1，y＝2，
所以n＝(1，2，1)为平面AEC1的一个法向量．
又因为AF＝0，12，0，
所以点F到平面AEC1的距离为AF·nn＝66，即直线FC到平面AEC1的距离为66．
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不含端点)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得截面的面积为y.若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是( )
,A ,B
,C ,D
C 解析：如图1，过点M作MN⊥AB，交AB于点N，则MN⊥平面ABCD，过点N作NQ∥AD，交CD于点Q，过点Q 作QH∥PD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面α.
图1
因为MN⊥平面ABCD，平面MNQH∥平面PAD，所以平面MNQH与平面PAD之间的距离x＝AN，MNQH为直角梯形，所以y＝S梯形MNQH.由题意得2−x2＝MN4，
解得MN＝4－2x.
由HQ∥PD得CQCD＝QHPD，即2−x2＝QH25，
解得QH＝5(2－x)．
如图，过点H作HE⊥NQ，则HE＝MN.
在Rt△HEQ中，EQ＝HQ2−HE2＝2－x，
所以NE＝2－(2－x)＝x，
所以MH＝x.
所以y＝f(x)＝x+24−2x2＝－x2＋4(0＜x＜2)．
所以函数y＝f(x)的图象如图2所示．故选C．
图2
9．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝π3，PD⊥底面ABCD．若点D到平面PAC的距离为2，则PD＝( )
A．22B．2
C．1D．2
D 解析：设E为BC的中点，连接DE，因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝π3，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA．
以D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设PD＝a(a＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，a)，A(4，0，0)，C(－2，23，0)，所以PA＝(4，0，－a)，AC＝(－6，23，0)，DA＝(4，0，0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·PA=0，n·AC=0，所以4x−az=0，−6x+23y=0.取x＝a，则y＝3a，z＝4，所以n＝(a，3a，4)为平面PAC的一个法向量．
设点D到平面PAC的距离为d，
所以d＝DA·nn＝4a4a2+16＝2，解得a＝2(负值舍去)．
10．(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，平面α过B，C1，E三点，下列说法正确的是( )
A．CD与平面α平行
B．平面A1B1CD与平面α垂直
C．平面α截正方体所得截面面积为92
D．正方体的顶点到平面α的距离最大值为32
BC 解析：因为平面α过B，C1，E三点，所以AB与平面α相交．因为CD∥AB，所以CD与平面α不可能平行，故A错误．
因为在正方体中，CD⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.又因为B1C⊥BC1，B1C∩CD＝C，B1C，CD⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD．因为BC1⊂平面α，故平面A1B1CD与平面α垂直，故B正确．
如图，平面α截正方体所得截面为等腰梯形EFC1B，其中F是A1D1的中点，EF＝2，BC1＝22，计算得梯形EFC1B的高为322，所以梯形EFC1B的面积为12×(2＋22)×322＝92，故C正确．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)，
所以BE＝(0，－2，1)，BC1＝(－2，0，2)，DB＝(2，2，0)．
设平面BEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·BE=0，m·BC1=0,所以−2y+z=0，−2x+2z=0.取y＝1，则x＝2，z＝2，所以m＝(2，1，2)为平面BEC1的一个法向量．
所以点D到平面BEC1的距离为DB·mm＝2×2+2×1+0×23＝2，
即正方体的顶点D到平面α的距离为2，大于32，故D错误．
11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1 ，点M 是线段DC1 上的动点，则点M 到直线AD1 距离的最小值为 ．
33a 解析：由题意知D1(0，0，a)，A(a，0，0)．设M(0，m，m)(0≤m≤a)，
易知s＝−22，0，22为直线AD1的一个单位方向向量，MD1＝(0，－m，a－m)，
故点M 到直线AD1 的距离为
d＝MD12−MD1·s2
＝m2+a−m2−12a−m2
＝32m2−am+12a2
＝32m−a32+13 a2 ，
所以当m＝a3时，d取得最小值，为13a2＝33a ，故d的最小值为33a .
12．如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD⊥ 底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD 的中点．试问：在线段AD上是否存在点Q，使点Q到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．因为PA＝PD，O 为AD 的中点，
所以PO⊥AD．
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，PO⊥平面PAD，
所以PO⊥底面ABCD．
连接OC，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
所以CP＝(－1，0，1)，CD＝(－1，1，0)．
假设在线段AD 上存在点Q，使点Q 到平面PCD 的距离为32．
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，
则CQ＝(－1，y，0)．
设平面PCD 的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则n·CP=0，n·CD=0，所以−x0+z0=0，−x0+y0=0.
取x0＝1，则y0＝1，z0＝1，所以n＝(1，1，1)为平面PCD的一个法向量．
所以点Q 到平面PCD 的距离d＝CQ·nn＝−1+y3＝32，
解得y＝－12 或y＝52 (舍去)．
此时AQ＝12，QD＝32．
所以存在点Q 满足题意，此时AQQD＝13．