四川省绵阳市游仙区2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含解析)

这是一份四川省绵阳市游仙区2024届九年级上学期期末质量监测数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了监测结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，监测时间120分钟，
注意事项:
1.答题前学生务必将自己的姓名、监测号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、监测号、监测点、监测场号.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内、超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.监测结束后，将答题卡交回.
一．选择题（每小题3分，满分36分）
1．下列事件是必然事件的是( )
A．抛出的篮球会下落B．抛掷一个均匀硬币，正面朝上
C．打开电视机，正在播广告D．买一张电影票，座位号是奇数号
2．围棋起于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线与轴的两个交点在两旁，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个正数根B．有两个负数根C．有一个正根和一个负根D．无实数根
5．如图，AB为的直径，P为BA延长线上的一点，D在上（不与点A，点B重合），连结PD交于点C，且PC=OB．设，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
6．从十二边形的一个顶点引对角线，可把这个多边形分成（ ）个三角形．
A．10B．11C．12D．13
7．如图，，是的切线，A，B是切点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（ ）
A．6B．C．8D．
9．若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( )
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2
10．如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
11．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边轴，顶点A的坐标为．二次函数的图象的顶点在正方形的边上运动，则的值可以（ ）．
A．B．C．D．
12．如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．6B．3C．2D．1．5
二．填空题（每小题4分，满分24分）
13．已知函数的图象是抛物线，则 ．
14．在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是 ．
15．已知圆锥的底面半径为，它的侧面积是，则这个圆锥的母线长为 ．
16．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 元．
17．二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为 .
18．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
三．解答题（满分90分）
19．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为 ．
20．某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上、、（每个字母分别代表一位同学，其中、分别代表两位女生，代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。
（1）求李老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率．
21．如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求顶点坐标和，两点的坐标；
(2)若为二次函数图象上一点且，求点的坐标．
22．如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，以CD 为直径的分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作于点G．
(1)试判断FG与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求FG的长．
23．完成下列各题
(1)问题的提出：如图1，中，，求证：．
(2)知识的运用：如图2，四边形是正方形，，，点是边上一点，，且，连．求的度数．
(3)拓展与延伸：如图3，四边形中，，，，为四边形边上一点，连，若，且，探究与的数量关系．直接写出结果，不需说明理由．
24．如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问：
(1)经过几秒，的面积等于？
(2)五边形的面积最小值是多少？
25．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
图1 图2
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值；
(3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
参考答案与解析
1．A
解析：解：A、抛出的篮球会下落，是必然事件，故此选项符合题意；
B、抛掷一个均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
C、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不合题意；
D、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不合题意；
故选：A．
2．A
解析：解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
3．B
解析：∵一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，未知数的最高次数的方程，
∴A、最高次数是次，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、，有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，是分式方程，不符合题意．
故选：B．
4．B
解析：解：∵抛物线与轴的两个交点在两旁，
∴当时，，
即，
，
∴关于的方程的根的判别式
，
∴关于的方程有两个不相等的实数根．
设关于的方程的两个实数根分别为，，
则，，
∴关于的方程有两个不相等的负实数根．
故选：B．
5．C
解析：如图，连接OC，OD．
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB=β，∴∠POD=∠B+∠ODB=2β．
∵CP=CO=OD，∴∠P=∠COP=α，∠OCD=∠ODC．
∵∠OCD=∠P+∠COP，∴∠ODC=2α．
∵∠P+∠POD+∠ODP=180°，∴3α+2β=180°①．
不妨设选项A正确，则α=30°，β=30°，显然不满足①，故假设错误．
不妨设B正确，则α=30°，β=60°，显然不满足①，故假设错误．
不妨设C正确，则α=10°，β=75°，满足条件①，故选项C正确．
不妨设B正确，则α=15°，β=45°，显然不满足①，故假设错误．
故选C．
6．A
解析：解：∵从一个顶点可以引条对角线，
∴将边形分为个三角形，
∴，
∴从十二边形的一个顶点出发的对角线把该多边形分成10个三角形．
故选：A．
7．D
解析：解：∵，是的切线，
根据切线长定理可知：，
∵是的切线，
∴，
∴．
故选：D．
8．D
解析：解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，
∴AD=DC=6，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE=，
∴AE=AF，
故选：D．
9．A
解析：解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0，
即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，a≠1，
∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a，
∴﹣＝1﹣a，
解得：a＝±1，
又a≠1，
∴a＝﹣1．
故选A．
10．B
解析：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为-2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-3，2，由图象可得：当-3＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选B．
考点：二次函数综合题.
11．C
解析：解：由题意可得，
①顶点在A时，取最小值．
∵，
∴，
把代入解析式得，
．
②顶点在C时，取最大值．
∵，
∴，
代入解析式得，
．
综上，的取值范围是．
故选．
12．B
解析：解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，
∴MG=CG=×6=3，
∴HN=3；
故选：B．
13．
解析：解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
14．
解析：列表格如下：
由表可知共有12种情况，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的有6种情况，
故摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率为．
15．
解析：解：圆锥的底面周长为：，设圆锥的母线长为，
则，解得，
故答案为：．
16．50
解析：解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
17．-4
解析：解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4，
∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=-c，
∴-c≤4，
∴c≥-4．
的最小值为-4.
故答案是：-4.
18．
解析：解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴,
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为．
19．（1）见解析，C1（1，-2）；（2）见解析，C2（-1，1）；（3）π+
解析：解：（1）△A1B1C1如图1所示，C1（1，-2）；
（2）△A2B2C2如图2所示，C2（-1，1）；
（3）∵AB=，AC=，BC=，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，扇形AOB2
∴S△ABC=××=，
∴△ABC旋转过程中所扫过的面积= S△ABC
=+
=π+．
故答案为：π+．
20．（1）李老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为;（2）恰好选定一名男生和t名女生参赛的概率为.
解析：（1）共有3个球，第一次摸出的乒乓球代表男生的有1种情况，
∴第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为；
（2）树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好选定一名男生和一名女生参赛的有4种，
∴P（恰好选定一名男生和一名女生参赛）=.
21．(1)，
(2)点的坐标为，或或
解析：（1）解：令，则，
解得，，
，；
（2）解：，，
，
设点的坐标为，
由题意，
，
，
则，
当时，
解得：或，
当时，
解得，
故所求点的坐标为，或或．
22．(1)与相切；理由见解析
(2)
解析：（1）解：与相切．理由如下：
如图，连接OF，DF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=，
∵CD为⊙O直径，
∴DF⊥BC，
∴F为BC中点，
∵OC=OD，
∴OF为△CDB的中位线，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
∴为的切线；
（2）解：∵CD为Rt△ABC斜边上中线，
∴AB=2CD=10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，
∴BC=，
∴BF=，
∵FG⊥AB，
∴sinB=，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）证明：如图，作的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，连接，过点作，交于点，
，，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，，
，
，
．
24．(1)经过4秒或2秒，的面积等于
(2)五边形的面积最小，最小值为
解析：（1）设经过秒，的面积等于，
，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动，
，，
的面积，
解得或2，
经过4秒或2秒，的面积等于；
（2）设经过秒，五边形的面积最小，
由（1）知，的面积，
五边形的面积
，
当时，五边形的面积最小，最小值为．
25．(1)，点，点；
(2)的最大值为；
(3)直线恒过定点．
解析：（1）对于，令，则，
∴，
∴点，点，
令，则，
∴点；
（2）过点P作轴于E，交于点F，如图1：
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
（3）证明：如图2，设点，
直线，直线，直线，
整理得：，
则，，
同理：，，
∵，
∴，
∴，
，
联立直线与直线的解析式得：，
解得：，
∵直线与直线的交点始终在直线上，
∴，
化简得：，
∴，
∴直线，
∴不论为何值，均有时，，
即：直线恒过定点．1
2
3
5
1
1+2=3
1+3=4
1+5=6
2
2+1=3
2+3=5
2+5=7
3
3+1=4
3+2=5
3+5=8
5
5+1=6
5+2=7
5+3=8