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安徽省合肥市一六八中学（东校区）2024届高三下学期最后一卷（三模）数学试卷（Word版附解析）
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列的前项和为，首项，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，函数，若函数恰有5个零点，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是复数，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 若，则实数
C. 若，则D. 方程在复数集中有6个解
10. 在棱长为2的正方体中，点E，M分别为线段，的中点，点N在线段上，且，则（ ）
A. 平面EMN截正方体得到的截面多边形是矩形
B. 平面平面
C. 存在，使得平面平面
D. 当时，平面EMN截正方体得到的截面多边形的面积为
11. 已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A. B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有__________．
13. 已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______．
14. 已知曲线方程为，过作直线与曲线分别交于两点．过作曲线的切线，设切线的交点为．则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、说明证明过程或演算步骤．
15. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且.
（1）求此山的高的值；
（2）求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
16. 如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
（1）求证：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为、，且各场比赛互不影响．
（1）若，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试求当取何值时，取得最大值．
18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时，
（ⅰ）求证：定值
（ⅱ）求动点的轨迹方程．
19. 把满足任意总有的函数称为和弦型函数.
（1）已知为和弦型函数且，求的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值；
（3）若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列的前项和为，首项，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，函数，若函数恰有5个零点，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是复数，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 若，则实数
C. 若，则D. 方程在复数集中有6个解
10. 在棱长为2的正方体中，点E，M分别为线段，的中点，点N在线段上，且，则（ ）
A. 平面EMN截正方体得到的截面多边形是矩形
B. 平面平面
C. 存在，使得平面平面
D. 当时，平面EMN截正方体得到的截面多边形的面积为
11. 已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A. B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有__________．
13. 已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______．
14. 已知曲线方程为，过作直线与曲线分别交于两点．过作曲线的切线，设切线的交点为．则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、说明证明过程或演算步骤．
15. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且.
（1）求此山的高的值；
（2）求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
16. 如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
（1）求证：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为、，且各场比赛互不影响．
（1）若，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试求当取何值时，取得最大值．
18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时，
（ⅰ）求证：定值
（ⅱ）求动点的轨迹方程．
19. 把满足任意总有的函数称为和弦型函数.
（1）已知为和弦型函数且，求的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值；
（3）若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．
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