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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质精品巩固练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质精品巩固练习，文件包含人教A版数学高一必修第一册专题21等式性质与不等式性质讲+练6大考点原卷版docx、人教A版数学高一必修第一册专题21等式性质与不等式性质讲+练6大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
知识点一
两个实数比较大小的依据
(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a知识点二
等式的基本性质
性质1 如果a=b，那么b=a；
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c.
性质3 如果a=b，那么a±c=b±c.
性质4 如果a=b，那么ac=bc.
性质5 如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c.
知识点三
不等式的基本性质
知识点四
比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
知识点五
几条常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)(2)a<0(3)a>b>0,0eq \f(b,d).
(4)02．两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
考点01 用不等式表示不等关系
【典例1】【多选题】（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为 元．
【总结提升】
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
考点02 “差比法”比较数或式子的大小
【典例3】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】（2023秋·高一单元测试），和同时成立的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可）
【规律方法】
差比法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
考点03 “商比法”比较数或式子的大小
【典例5】（2023·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【典例6】（2023秋·全国·高一随堂练习）若，求证：．
【规律方法】
商比法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．强调比较项同号.
考点04 不等式真假判断
【典例7】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如果，给出下列不等式，其中一定成立的是（ ）
①；②；③；④．
A．②④B．①④C．②③D．①③
【典例8】【多选题】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
【总结提升】
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
考点05 求数或式的范围
【典例9】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高一专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
【总结提升】
1．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
2．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
考点06 等式性质及其应用
【典例11】（2023·全国·高一课堂例题）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则 ， .
【典例12】（2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.
1．（2015·浙江·高考真题）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．B．C．D．
2.（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
3．（2010·江苏·高考真题）设实数满足，则的最大值是_____ ____
一、单选题
1．（2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A．甲B．乙C．一样低D．不能确定
二、多选题
6．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）下列说法正确的的是（ ）
A．若．则B．若，则
C．若，．则D．若，，则
8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）若，则下列说法一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知：，则大小关系是 ．
10．（2023·江苏·高一假期作业）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）．
四、解答题
11．（2023秋·高一课时练习）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？
12．（2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ba
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a同向
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acc的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正
可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正
可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
矩形
菱形
圆
总数
A
5
3
10
55
B
12
6
13
125
知识点一
两个实数比较大小的依据
(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a
等式的基本性质
性质1 如果a=b，那么b=a；
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c.
性质3 如果a=b，那么a±c=b±c.
性质4 如果a=b，那么ac=bc.
性质5 如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c.
知识点三
不等式的基本性质
知识点四
比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
知识点五
几条常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)
(4)0
若a>b>0，m>0，则
(1)eq \f(b,a)
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)
考点01 用不等式表示不等关系
【典例1】【多选题】（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为 元．
【总结提升】
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
考点02 “差比法”比较数或式子的大小
【典例3】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】（2023秋·高一单元测试），和同时成立的条件是 ．（答案不唯一，写出一个即可）
【规律方法】
差比法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
考点03 “商比法”比较数或式子的大小
【典例5】（2023·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【典例6】（2023秋·全国·高一随堂练习）若，求证：．
【规律方法】
商比法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．强调比较项同号.
考点04 不等式真假判断
【典例7】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如果，给出下列不等式，其中一定成立的是（ ）
①；②；③；④．
A．②④B．①④C．②③D．①③
【典例8】【多选题】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
【总结提升】
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
考点05 求数或式的范围
【典例9】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高一专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
【总结提升】
1．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
2．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
考点06 等式性质及其应用
【典例11】（2023·全国·高一课堂例题）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则 ， .
【典例12】（2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.
1．（2015·浙江·高考真题）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．B．C．D．
2.（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
3．（2010·江苏·高考真题）设实数满足，则的最大值是_____ ____
一、单选题
1．（2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A．甲B．乙C．一样低D．不能确定
二、多选题
6．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）下列说法正确的的是（ ）
A．若．则B．若，则
C．若，．则D．若，，则
8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）若，则下列说法一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知：，则大小关系是 ．
10．（2023·江苏·高一假期作业）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）．
四、解答题
11．（2023秋·高一课时练习）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？
12．（2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正
可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正
可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
矩形
菱形
圆
总数
A
5
3
10
55
B
12
6
13
125
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