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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀课后作业题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀课后作业题，文件包含人教A版数学高一必修第一册专题31函数的概念及其表示讲+练10大考点原卷版docx、人教A版数学高一必修第一册专题31函数的概念及其表示讲+练10大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
知识点一
函数的概念
1.定义：设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2..x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域是集合B的子集.
知识点二
区间的概念
1.一般区间的表示．
设a，b∈R，且a2.特殊区间的表示.
3.特别提醒：(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．
(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
知识点三
函数的表示方法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式.
（2）图象法：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法.
（3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法.
特别提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．
知识点四四
分段函数
分段函数;若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
考点01 函数的概念
【典例1】（2023秋·全国·高一专题练习）下列与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案.
【详解】函数定义域为R.
对A，函数定义域为，故错误；
对B，函数定义域为，故错误 ；
对C，函数定义域为R，函数为，对应关系不同，故错误；
对D，函数定义域为R，函数可化简为，故正确.
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，要求定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，结合图象判断即可．
【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，
选项ABC中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象，
选项D中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性．
所以D不能作为函数图象．
故选：D．
【规律方法】
1.函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
2.由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点.
3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
考点02 已知函数解析式，求其定义域
【典例3】（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】D
【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：且，
故选：D
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.
【详解】对于函数，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
【规律方法】
1.已知函数解析式，求其定义域方法：
（1）函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
（2）若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
（3）复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
考点03 求抽象函数的定义域
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【详解】由函数的定义域为，即，得，
因此由函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D
【典例6】（2023秋·高一课时练习）设函数的定义域是，求函数的定义域．
【答案】
【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可.
【详解】∵函数的定义域是，
∴要使函数有意义，
则，解得.
故函数的定义域为.
【规律方法】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．注意：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
考点04 已知函数的定义域求参数
【典例7】（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】由具体函数的定义域结合题意即可得出答案.
【详解】因为函数的定义域为，则，
而函数的定义域为，
所以，即.
故答案为：；.
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得对一切实数恒成立，分和两种情况，结合恒成立问题运算求解.
【详解】由题意可得：对一切实数恒成立，
当时，则对一切实数恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【总结提升】
已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
考点05 函数的解析式问题
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）已知，求函数的解析式．
【答案】
【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.
【详解】①，
以替换，得②，
得：，
所以.
【典例10】（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）用代中的计算可得；
（2）用换元法，设，解出后代入可得，注意的取值范围；
（3）设，代入已知条件解方程组可得；
（4）用－x替换中的x，两式组成方程组后解之可得；
（5）在已知式中令代入求解．
【详解】（1）因为，所以．
（2） 设，则，，即，
所以，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，解得．
（5）令，则，所以．
【规律方法】
1.待定系数法：当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
2.换元法：如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
3.配凑法：将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式
4.解方程组法：如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式.
5.【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
考点06 求函数的值域
【典例11】（2020·全国·高三对口高考）已知函数的值域是，求函数的定义域和值域．
【答案】函数的定义域为R，值域是．
【分析】先将函数变形，利用判别式法可得，再与等价，比较系数得的值，从而可得函数的解析式，再求定义域和值域即可.
【详解】的定义域为R，令，有，由，得，即，它与等价，比较系数得．
由此得．
根据，解得，又，所以函数的定义域为R，值域是．
【典例12】（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)（）；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】分别利用直接法，分离常数法，基本不等式法，换元法求解函数的值域.
【详解】（1）∵，∴,
∴的值域为.
（2），显然,所以,
故函数的值域为.
（3）由,知.
则,
当且仅当,即时,上式取“”．
∴（）的最小值为8.
故函数（）的值域为.
（4）设,则,且,
所以，
由,结合函数的图象得原函数的值域为.
【规律方法】
1.函数值域的常见求法：
(1)配方法：配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(2)数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．
= 1 \* GB3 ①应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
= 2 \* GB3 ②条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
= 3 \* GB3 ③求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
*3.利用函数的单调性*
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
②形如y＝ax＋b＋eq \r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
③形如y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq \r(k)]，单调增区间为[eq \r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq \r(k)，2eq \r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*4.导数法
考点07 求分段函数值（域）
【典例13】（2022秋·海南·高一校考期中）已知函数 ，则 .
【答案】
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，
所以，.
故答案为：.
【典例14】（2023秋·高一课时练习）(1)已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 ．
(2)若定义运算，则函数的值域是 ．
【答案】
【分析】（1）由分段函数解析式可知定义域为，由二次函数性质计算可得值域为；
（2）根据函数定义写出解析式，画出函数图象即可求得值域.
【详解】（1）由已知得，的定义域为，
又当时，；当时，；
故函数的值域为.
（2）根据题意可知，当时，即时，；
当时，；
即可得，画函数的图象如图所示：
得其值域是.
故答案为：，，
【总结提升】
1.求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
2.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
3.当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
考点08 分段函数与方程
【典例15】【多选题】（2023秋·高一课时练习）(多选)设函数，若，则（ ）
A．B．3
C．D．1
【答案】CD
【分析】根据分段函数解析式，对进行分类讨论计算即可求得结果.
【详解】因为，又
所以；
(1)当时，，解得.
(2)当时，，所以；
综上可知或.
故选：CD
【典例16】（2023秋·高一课时练习）设，若，则x的值为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的定义域，分求解.
【详解】若，则无解；
若，则，所以x＝.
若，则无解．
综上：.
故答案为：
【总结提升】
由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
考点09 分段函数与不等式
【典例17】（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）设函数,若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果.
【详解】（i）当，即时，，，
由得，即，
因为，所以恒成立，所以；
（ii）当，即时，，，
由得，即，即恒成立，
所以；
（iii）当，即时，，，
由得，即，所以，
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
【典例18】（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由分段函数，分别和解即可.
（2）由分段函数，分别和解即可.
【详解】（1）当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得.
所以的值为或
（2）当时，，不符合题意，
，且，
解得.
所以的取值集合是.
【总结提升】
分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
考点10 分段函数下求参数（范围）
【典例19】（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考开学考试）设，若，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分，两种情况讨论，结合可得答案.
【详解】当时，，符合题意；
当时，则，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【典例20】（2022秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，且满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作分段函数的图象，数形结合可得，求出，即可得所求范围.
【详解】作出函数的图象如图，
若存在互不相等的实数，且满足，
则，又，
令，得，则，.
则，即.
故答案为：.
【总结提升】
求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
1．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
2.（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】
，故，
故答案为：2.
3．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
一、单选题
1.（2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知函数，如下表所示：
则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据表格求解即可.
【详解】由题意，当时，，
当时，，
当时，，
故不等式的解集为．
故选：D
二、多选题
2．（2022秋·海南·高一校考期中）函数的值域为，则下列选项中满足条件的实数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，按是否为0分类，结合一次函数、二次函数的性质求出的范围作答.
【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含，
当时，函数的值域是R，包含，则，
当时，要函数的值域包含，当且仅当，解得，
所以实数的取值范围是，显然选项ABD满足，C不满足.
故选：ABD
三、填空题
3．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数，则f(2)= .
【答案】1
【分析】根据分段函数定义，由自变量的范围选取相应表达式计算．
【详解】由已知，
故答案为：1.
4．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式列出其需满足的条件，即可求得答案.
【详解】由题意知函数需满足，即，
解得且，即，
故函数的定义域是，
故答案为：
5．（2023秋·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式有意义及分母不为零计算求解即可.
【详解】因为函数，
满足，即，
函数的定义域为.
故答案为：.
6．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据自变量的范围，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.
【详解】若，则，故，
由可得，
当，则，故，
由可得，
当时，则不符合要求，
综上可知：的取值范围为
故答案为：
7．（2023秋·高一课时练习）已知函数则使成立的的值组成的集合为 .
【答案】
【分析】分段函数分段解一元二次不等式即可得解集.
【详解】由题意可得或
由解得；
由解得.
综上所述，使成立的的值组成的集合为.
故答案为：.
四、解答题
8．（2023·全国·高一课堂例题）画出函数（该函数也常称为取整函数）（表示不大于的最大整数）的图象，并求其值域.
【答案】图象见解析，值域为整数集
【分析】根据函数定义化简函数，作分段函数图象即可，注意作图时标明分界点处的情况.
【详解】由题意，，
函数图象如图所示：
数形结合可知函数的值域为整数集，即.
9．（2023秋·高一课时练习）已知函数，若，求的值．
【答案】或
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，分类讨论，即可求解.
【详解】当时，令，可得，符合题意；
当时，令，可得，符合题意；
当时，令，可得，不符合题意；
综上可知，或.
故答案为：或.
10．（2023秋·高一课时练习）已知函数
(1)求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，8，
(2)
【分析】（1）根据分段函数的每一段的定义域求解；
（2）先得到，再将转化为求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
；
（2）因为，
所以，
则不等式转化为，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
11．（2022秋·湖北黄冈·高一校考期中）麻城市某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择：
方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：
方案二：不收取管理费，每度元．
(1)彭湃家上月比较节约，只用了90度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适．
(2)求方案一的收费元与用电量度间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元，问徐格拉底家该月用电多少度？
(3)该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？
【答案】(1)第一种方案：元；第二种方案：元.应选择第一种方案．
(2)度．
(3)该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．
【分析】（1）分别按两种方案计算，比较后选择费用较少的方案即可；
（2）方案一的收费元与用电量度间的函数关系为分段函数，分段求出函数的各段解析式，再应用求解实际问题；
（3）两种方案的费用作差比较，判断符号即可.
【详解】（1）第一种方案：元，
第二种方案：元，
由，故应选择第一种方案．
（2）当时，；
当时，.
综上，.
当时，令，解得舍去．
当时，令，解得．
答：徐格拉底家该月用电度．
（3）令，
当时，令，即，解得，．
当时，令，即，解得，．
综上可得：．
即该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．
12．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为集合A，集合．
(1)若，求；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数定义求出定义域得集合，然后由并集定义计算；
（2）由得，然后根据和分类讨论．
【详解】（1）由题意得：，解得，所以．
若，则，所以．
（2）因为，所以
当时，满足，则，解得；
当时，由得，解得．
综上，m的取值范围为．定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
x
0
1
1
x
0
1
1
1
知识点一
函数的概念
1.定义：设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2..x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域是集合B的子集.
知识点二
区间的概念
1.一般区间的表示．
设a，b∈R，且a
3.特别提醒：(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．
(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．
知识点三
函数的表示方法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式.
（2）图象法：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法.
（3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法.
特别提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．
知识点四四
分段函数
分段函数;若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
考点01 函数的概念
【典例1】（2023秋·全国·高一专题练习）下列与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案.
【详解】函数定义域为R.
对A，函数定义域为，故错误；
对B，函数定义域为，故错误 ；
对C，函数定义域为R，函数为，对应关系不同，故错误；
对D，函数定义域为R，函数可化简为，故正确.
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，要求定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，结合图象判断即可．
【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，
选项ABC中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象，
选项D中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性．
所以D不能作为函数图象．
故选：D．
【规律方法】
1.函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
2.由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点.
3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
考点02 已知函数解析式，求其定义域
【典例3】（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】D
【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：且，
故选：D
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.
【详解】对于函数，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
【规律方法】
1.已知函数解析式，求其定义域方法：
（1）函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
（2）若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
（3）复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
考点03 求抽象函数的定义域
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【详解】由函数的定义域为，即，得，
因此由函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D
【典例6】（2023秋·高一课时练习）设函数的定义域是，求函数的定义域．
【答案】
【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可.
【详解】∵函数的定义域是，
∴要使函数有意义，
则，解得.
故函数的定义域为.
【规律方法】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．注意：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
考点04 已知函数的定义域求参数
【典例7】（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】由具体函数的定义域结合题意即可得出答案.
【详解】因为函数的定义域为，则，
而函数的定义域为，
所以，即.
故答案为：；.
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得对一切实数恒成立，分和两种情况，结合恒成立问题运算求解.
【详解】由题意可得：对一切实数恒成立，
当时，则对一切实数恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【总结提升】
已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
考点05 函数的解析式问题
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）已知，求函数的解析式．
【答案】
【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.
【详解】①，
以替换，得②，
得：，
所以.
【典例10】（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）用代中的计算可得；
（2）用换元法，设，解出后代入可得，注意的取值范围；
（3）设，代入已知条件解方程组可得；
（4）用－x替换中的x，两式组成方程组后解之可得；
（5）在已知式中令代入求解．
【详解】（1）因为，所以．
（2） 设，则，，即，
所以，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，解得．
（5）令，则，所以．
【规律方法】
1.待定系数法：当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
2.换元法：如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
3.配凑法：将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式
4.解方程组法：如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式.
5.【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
考点06 求函数的值域
【典例11】（2020·全国·高三对口高考）已知函数的值域是，求函数的定义域和值域．
【答案】函数的定义域为R，值域是．
【分析】先将函数变形，利用判别式法可得，再与等价，比较系数得的值，从而可得函数的解析式，再求定义域和值域即可.
【详解】的定义域为R，令，有，由，得，即，它与等价，比较系数得．
由此得．
根据，解得，又，所以函数的定义域为R，值域是．
【典例12】（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)（）；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】分别利用直接法，分离常数法，基本不等式法，换元法求解函数的值域.
【详解】（1）∵，∴,
∴的值域为.
（2），显然,所以,
故函数的值域为.
（3）由,知.
则,
当且仅当,即时,上式取“”．
∴（）的最小值为8.
故函数（）的值域为.
（4）设,则,且,
所以，
由,结合函数的图象得原函数的值域为.
【规律方法】
1.函数值域的常见求法：
(1)配方法：配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(2)数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．
= 1 \* GB3 ①应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
= 2 \* GB3 ②条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
= 3 \* GB3 ③求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
*3.利用函数的单调性*
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；
若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．
②形如y＝ax＋b＋eq \r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．
③形如y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq \r(k)]，单调增区间为[eq \r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq \r(k)，2eq \r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*4.导数法
考点07 求分段函数值（域）
【典例13】（2022秋·海南·高一校考期中）已知函数 ，则 .
【答案】
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，
所以，.
故答案为：.
【典例14】（2023秋·高一课时练习）(1)已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 ．
(2)若定义运算，则函数的值域是 ．
【答案】
【分析】（1）由分段函数解析式可知定义域为，由二次函数性质计算可得值域为；
（2）根据函数定义写出解析式，画出函数图象即可求得值域.
【详解】（1）由已知得，的定义域为，
又当时，；当时，；
故函数的值域为.
（2）根据题意可知，当时，即时，；
当时，；
即可得，画函数的图象如图所示：
得其值域是.
故答案为：，，
【总结提升】
1.求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
2.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
3.当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
考点08 分段函数与方程
【典例15】【多选题】（2023秋·高一课时练习）(多选)设函数，若，则（ ）
A．B．3
C．D．1
【答案】CD
【分析】根据分段函数解析式，对进行分类讨论计算即可求得结果.
【详解】因为，又
所以；
(1)当时，，解得.
(2)当时，，所以；
综上可知或.
故选：CD
【典例16】（2023秋·高一课时练习）设，若，则x的值为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的定义域，分求解.
【详解】若，则无解；
若，则，所以x＝.
若，则无解．
综上：.
故答案为：
【总结提升】
由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
考点09 分段函数与不等式
【典例17】（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）设函数,若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果.
【详解】（i）当，即时，，，
由得，即，
因为，所以恒成立，所以；
（ii）当，即时，，，
由得，即，即恒成立，
所以；
（iii）当，即时，，，
由得，即，所以，
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
【典例18】（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由分段函数，分别和解即可.
（2）由分段函数，分别和解即可.
【详解】（1）当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得.
所以的值为或
（2）当时，，不符合题意，
，且，
解得.
所以的取值集合是.
【总结提升】
分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
考点10 分段函数下求参数（范围）
【典例19】（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考开学考试）设，若，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分，两种情况讨论，结合可得答案.
【详解】当时，，符合题意；
当时，则，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【典例20】（2022秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，且满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作分段函数的图象，数形结合可得，求出，即可得所求范围.
【详解】作出函数的图象如图，
若存在互不相等的实数，且满足，
则，又，
令，得，则，.
则，即.
故答案为：.
【总结提升】
求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
1．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
2.（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】
，故，
故答案为：2.
3．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
一、单选题
1.（2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知函数，如下表所示：
则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据表格求解即可.
【详解】由题意，当时，，
当时，，
当时，，
故不等式的解集为．
故选：D
二、多选题
2．（2022秋·海南·高一校考期中）函数的值域为，则下列选项中满足条件的实数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，按是否为0分类，结合一次函数、二次函数的性质求出的范围作答.
【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含，
当时，函数的值域是R，包含，则，
当时，要函数的值域包含，当且仅当，解得，
所以实数的取值范围是，显然选项ABD满足，C不满足.
故选：ABD
三、填空题
3．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数，则f(2)= .
【答案】1
【分析】根据分段函数定义，由自变量的范围选取相应表达式计算．
【详解】由已知，
故答案为：1.
4．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式列出其需满足的条件，即可求得答案.
【详解】由题意知函数需满足，即，
解得且，即，
故函数的定义域是，
故答案为：
5．（2023秋·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式有意义及分母不为零计算求解即可.
【详解】因为函数，
满足，即，
函数的定义域为.
故答案为：.
6．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据自变量的范围，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.
【详解】若，则，故，
由可得，
当，则，故，
由可得，
当时，则不符合要求，
综上可知：的取值范围为
故答案为：
7．（2023秋·高一课时练习）已知函数则使成立的的值组成的集合为 .
【答案】
【分析】分段函数分段解一元二次不等式即可得解集.
【详解】由题意可得或
由解得；
由解得.
综上所述，使成立的的值组成的集合为.
故答案为：.
四、解答题
8．（2023·全国·高一课堂例题）画出函数（该函数也常称为取整函数）（表示不大于的最大整数）的图象，并求其值域.
【答案】图象见解析，值域为整数集
【分析】根据函数定义化简函数，作分段函数图象即可，注意作图时标明分界点处的情况.
【详解】由题意，，
函数图象如图所示：
数形结合可知函数的值域为整数集，即.
9．（2023秋·高一课时练习）已知函数，若，求的值．
【答案】或
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，分类讨论，即可求解.
【详解】当时，令，可得，符合题意；
当时，令，可得，符合题意；
当时，令，可得，不符合题意；
综上可知，或.
故答案为：或.
10．（2023秋·高一课时练习）已知函数
(1)求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，8，
(2)
【分析】（1）根据分段函数的每一段的定义域求解；
（2）先得到，再将转化为求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
；
（2）因为，
所以，
则不等式转化为，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
11．（2022秋·湖北黄冈·高一校考期中）麻城市某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择：
方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：
方案二：不收取管理费，每度元．
(1)彭湃家上月比较节约，只用了90度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适．
(2)求方案一的收费元与用电量度间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元，问徐格拉底家该月用电多少度？
(3)该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？
【答案】(1)第一种方案：元；第二种方案：元.应选择第一种方案．
(2)度．
(3)该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．
【分析】（1）分别按两种方案计算，比较后选择费用较少的方案即可；
（2）方案一的收费元与用电量度间的函数关系为分段函数，分段求出函数的各段解析式，再应用求解实际问题；
（3）两种方案的费用作差比较，判断符号即可.
【详解】（1）第一种方案：元，
第二种方案：元，
由，故应选择第一种方案．
（2）当时，；
当时，.
综上，.
当时，令，解得舍去．
当时，令，解得．
答：徐格拉底家该月用电度．
（3）令，
当时，令，即，解得，．
当时，令，即，解得，．
综上可得：．
即该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．
12．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为集合A，集合．
(1)若，求；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数定义求出定义域得集合，然后由并集定义计算；
（2）由得，然后根据和分类讨论．
【详解】（1）由题意得：，解得，所以．
若，则，所以．
（2）因为，所以
当时，满足，则，解得；
当时，由得，解得．
综上，m的取值范围为．定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半
闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半
闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
x
0
1
1
x
0
1
1
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