高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀同步达标检测题

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知识点一
幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
知识点二
5种幂函数的图象
幂函数图象的要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．
根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
知识点三
5种幂函数的性质
1.5种幂函数的性质
2.共同性质：
（1）图象都过点（1,1）；
（2）在区间（0，+∞），幂指数大于0时，图象随x增大逐渐上升，函数为增函数；幂指数小于0时，图象随x增大逐渐下降，函数为减函数.
知识点四四
几个结论
对于形如 (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
考点01 幂函数的解析式
【典例1】（2023秋·高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】利用幂函数定义直接判断作答.
【详解】函数是幂函数，
函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B
【典例2】（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
点坐标代入幂函数解析式，求得，然后计算函数值．
【详解】
点A（4，2）代入幂函数解得，，
故答案为：．
【规律方法】
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，
考点02 幂函数的定义域、值域
【典例3】（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ）
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
【答案】A
【解析】
利用幂函数的性质逐一验证选项即可．
【详解】
当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，
故选：A.
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【详解】由已知值域为，故A错误；
时，等号成立，所以的值域是，B错误；
因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；
，，，所以，故D错误.
故选：C.
考点03 幂函数的图像
【典例5】（2023秋·高一课时练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）

A．，，1，2B．2，1，，
C．，，2，D．2，，，
【答案】B
【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可.
【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为；
对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为；
对应的图象为抛物线，对应的图象应为；
在第一象限内的图象是；
所以与曲线对应的n依次为2，1，，.
故选：B
【典例6】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.
【详解】由，排除A，D，
当时，，所以，排除C．
故选：B．
【规律方法】
1.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
2.幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：
①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．
考点04 幂函数的性质
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
【典例8】（2022秋·江西九江·高一校考期中）下列函数中，即是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】A选项：函数为奇函数，故A错；
B选项：函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，当时，，单调递增，故B正确；
C选项：，所以函数非奇非偶，故C错.
D选项：定义域为，不关于原点对称，所以函数非奇非偶，故D错.
故选：B.
【典例9】（2023秋·高一课时练习）下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 （填序号）．
①；②；③；④；⑤.
【答案】②④
【分析】利用奇函数排除给定的部分函数，再利用单调性判断作答.
【详解】函数是偶函数，函数是非奇非偶函数，即①③不是；
函数是奇函数，但在上单调递减，⑤不是；
函数，都是奇函数，且在上单调递增，②④是.
故答案为：②④
考点05 幂函数图像和性质的应用--求参数
【典例10】（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则（ ）
A．B．8C．4D．
【答案】A
【分析】根据幂函数定义及上下凸函数的性质求解即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或3.
因为，且，均有，
所以的图象在第一象限上凸，因此.
所以，所以.
故选：A.
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，则的值为（ ）

A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，则，求出的范围，再由取值验证即可
【详解】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，
所以，解得，
因为，所以，或，或，
当时，为奇函数，不合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
当时，为奇函数，不合题意，
所以，
故选：C
【典例12】（2021秋·高一校考课时练习）已知，若幂函数为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则 ．
【答案】-2
【分析】根据幂函数的性质，即可判断选项.
【详解】因为函数在上单调递减，所以，
当时，是偶函数，成立
当时，是奇函数，不成立，
当时，的定义域是，不是偶函数，故不成立，
综上，.
故答案为：
【规律方法】
根据图象和性质，布列关于参数的方程，解方程即得.
考点06 幂函数图像和性质的应用--比较大小
【典例13】（2022·全国·高一专题练习）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质以及图象的特点即可得､的大小关系，进而可得正确选项.
【详解】和在上单调递增，所以，，
当时，图象在上方，所以，
当时，图象在下方，所以，
所以，
故选：A.
【典例14】（2023秋·广东肇庆·高一校考开学考试）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，，利用 在上递增判断.
【详解】解：因为，，，，且在上递增，
，
，
故选：A
【典例15】（2023·全国·高一随堂练习）利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)与；
(2)与.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用基本不等式比较与的大小，再利用幂函数的性质比较大小即可，
（2）对化简后，利用幂函数的性质比较即可
【详解】（1）因为，当且仅当，即时取等号，
而在上单调递增，
所以.
（2），
因为在上单调递增，且，
所以，即.
【规律方法】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；00时01，α<0时01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．
【易错警示】用幂函数的性质解题时，易忽略函数的定义域及不同单调区间的讨论.
考点07 幂函数图像和性质的应用--解不等式
【典例16】（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集.
【详解】定义域为，且在与上均为减函数，
且当上，恒成立，当上，恒成立，
故①或②或③，
解①得：，
解②得：，
解③得：，
综上：不等式的解为.
故选：D
【典例17】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)为奇函数；理由见解析
(2)或
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，由此确定
的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）由题意，解得或，
当时，，
函数在上单调递增，不合题意；
当时，，
函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递减，
但，
所以函数在定义域上不单调，符合题意，
所以，
因为函数的定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数；
（2）由及为奇函数，
可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或．
【典例18】（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知幂函数
(1)求的解析式；
(2)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间；
(3)若图像经过坐标原点，解不等式.
【答案】(1)或；
(2)，单调递减区间为，无递增区间；
(3)
【分析】（1）根据函数为幂函数得到，求出答案；
（2）在（1）的基础上，得到，得到函数单调区间；
（3）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出解集.
【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2，
故或.
（2）当时，的图像经过坐标原点，不满足要求，
当，的图像不经过坐标原点，此时的单调递减区间为，无递增区间；
（3）若图像经过坐标原点，则，
由可得，解得，
所以原不等式的解集为.
【总结提升】
求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
考点08 幂函数图像和性质的其它应用
【典例19】（2022秋·全国·高一期末）已知，若，则（ ）
A．－2B．－1C．D．2
【答案】A
【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可.
【详解】设，由
，
当且时，即时，等式显然成立，
当时，则有，因为，
所以，
当时，则有，即，
因为函数是实数集上的增函数，
由，而与矛盾，
所以不成立，
当时，则有，即，
因为函数是实数集上的增函数，
由，而与矛盾，
所以不成立，
综上所述：，
故选：A
【典例20】（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知函数 且，则正数的值为 .
【答案】/
【分析】根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递增，有，
当时，函数单调递增，有，
因为，
所以有，
故答案为：
【典例21】（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分段函数图像结合已知得出、的范围，在根据，得出、的关系，即得出，再根据二次函数在区间上的值域得出答案.
【详解】作出函数的图像如下：
若且，
则当，得，
则，，
且，即，
则，
令，，
则且，
即，
故答案为：.
1．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0
【详解】
对选项，则有：
对选项，则有：
对选项，定义域为：
对选项，则有：
故答案选：
2.（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
【答案】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
一、单选题
1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
2.（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性得解.
【详解】解：设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，即函数，也即，
设，
则函数的定义域为所以排除选项BC.
又，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，所以排除选项A.
故选：D
3．（2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知实数x，y，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合幂函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义判断结论.
【详解】因为函数在R上单调递增，
由，有，可得；
由，可得，即．
则“”是“”的充要条件．
故选：C.
4.（2022·高一课时练习）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】利用幂函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以.要使，
则在区间上应大于0，所以，，，1时显然不成立.
当时，，在区间上有成立；
当时，，在区间上有成立；
当时，，在区间上有成立；
当时，，由及，知成立；
当时，，由及，知成立.
综上所述，k可取的值共有4个.
故选：A
二、多选题
5．（2020秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D.
【详解】幂函数的定义域为，
，，
∵函数在单调递增，，
∴，即，故A正确；
，，
∵函数在单调递减，，即，
∴，即，故B错误；
∵幂函数在上单调递增，，
∴，，即，∴，故C正确；
，
∵，
∴，即，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
6．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义以及单调性，建立方程与不等式，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
7.（2023秋·高一课时练习）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 .
【答案】1，3
【分析】根据幂函数的性质分析可得.
【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为R，满足条件；
当时，为偶函数，值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为R，满足条件.
故答案为：1，3
8.（2023春·北京·高一校考开学考试）试写出函数，使得同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③在定义域内是单调增函数．则函数的解析式可以是 （写出一个满足题目条件的解析式）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可取函数，根据幂函数的性质即可得出结论.
【详解】解：根据题意可取函数，
函数的定义域和值域都是，
又，所以函数在上递增，
所以函数的解析式可以是.
故答案为：.（答案不唯一）
9．（2021秋·高一课时练习）对于幂函数，若0【答案】
【分析】先作出函数的图象，设A(a，0)，C(b，0)，其中0【详解】幂函数在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．
设A(a，0)，C(b，0)，其中0则AC的中点E的坐标为E，
则 |AB|＝f(a)，|CD|＝f(b)，|EF|＝f .
∵|EF|>(|AB|＋|CD|)，
∴f
故答案为：
四、解答题
10．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上是减函数，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性进行计算；（2）结合（1）中的参数，根据幂函数的单调性和定义域计算.
【详解】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：，
解得，于是
（2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减，
由，
即，于是，
解得
11．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知幂函数的图像关于点对称．

(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像；
(3)直接写出函数的解集．
【答案】(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）利用幂函数的定义求出m值，再结合其图像性质即可得解.
（2）由（1）求出函数，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出的图像.
（3）根据（2）中图像特征写出函数的单调区间.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，函数定义域是，
易得是奇函数，图像关于原点对称，则满足题意；
当时，函数，
易知是R上的偶函数，其图像关于y轴对称，关于原点不对称；
综上：幂函数的解析式是.
（2）因为函数，定义域为，
且，
所以是上的偶函数，
当时，在上单调递减，其图像是反比例函数在第一象限的图像，
作出函数在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图像，如图，

（3）观察（2）中图像可得，
的解集为.
12．（2003·上海·高考真题）已知函数，.
（1）求证：是奇函数并求的单调区间；
（2）分别计算合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义证明出函数为奇函数，然后利用函数单调性的性质得出函数的单调区间；
（2）分别求出和的值，然后根据等式的规律得出结论，并进行证明.
【详解】（1）函数的定义域，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数.
幂函数在上单调递增，幂函数的单调递减区间为和，
所以，函数的单调递增区间为和；
（2），
同理可得，
由此概括出对所有不等于零的实数有：，证明如下：
，因此，等式成立.
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇