高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优秀课堂检测

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知识点一
对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式
知识点二
对数的性质
1.对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN
2.lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N
3.对数恒等式algaN＝N{解读：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．}
知识点三
对数的运算性质
（1）lga(M·N)＝lgaM＋lgaN
（2）lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN
（3）lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
（a>0，且a≠1，M>0，N>0）
知识点四
换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
考点01 对数的判断与求值
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.
【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，
只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，
故选：C
【典例2】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AB
【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项
【详解】①，正确；
②根据指数式和对数式的互化可知其正确；
③，错误；
④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误.
故选：AB
考点02 指数式与对数式的互化
【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式（，且）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】见解析
【分析】根据对数的定义运算求解.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以.
（4）因为，所以.
【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式（，且）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】见解析
【分析】根据对数的定义运算求解.
【详解】（1）因为（，且），所以.
（2）因为（，且），所以.
（3）因为（，且），所以.
（4）因为（，且），所以.
【规律方法】
对数式lgaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成lg(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝lgaN.
考点03 对数的运算
【典例5】（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】见解析
【分析】根据指数式和对数式的互换及对数运算公式解方程即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
【典例6】（2024秋·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)1
(2)0
【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则和对数的运算法则求解即可；
（2）利用对数的运算法则求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：lgaa＝1，lga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
2. 运用对数恒等式时注意事项
(1)对于对数恒等式algaN＝N要注意格式：
①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
考点04 对数运算性质的应用
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)1
(4)
【分析】利用换底公式，以及对数运算法则，即可求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【规律方法】
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
考点05 应用换底公式的化简、求值
【典例9】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
【典例10】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，请用a，b表示下列各数的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据对数运算公式和换底公式计算.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）
【规律方法】
1.应用换底公式应注意的事项
(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．
2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．
3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．
思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．
考点06 应用换底公式的证明恒等式
【典例11】（2022春·广西崇左·高一校考阶段练习）求满足下列条件的各式的值
(1)若，求的值；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解；
（2）运用对数的换底公式即可证明.
【详解】（1），
，
，
（2）证明：设，
则，，.
所以，，.
所以，
所以.
【典例12】（2022·上海·高一专题练习）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.
【详解】证明：在中，因为，所以，
因为
，
所以.
考点07 其它综合问题
【典例13】（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知，，当变化时，最小值为4，则 .
【答案】2
【分析】利用换底公式结合基本不等式确定的最小值表达式，结合题意可得方程，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
，当且仅当即时取等号，
∴，此时，适合题意，
故答案为：2
【典例14】（2004·全国·高考真题）解方程：．
【答案】
【分析】利用换元法，将原方程转化成一元二次方程求解，最后利用指对互化即可求解.
【详解】不妨令，
则可转化为：，
解得.
【总结提升】
指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
1．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
2．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
5．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
一、单选题
1．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】确定，得到，根据对数运算法则计算得到答案.
【详解】，则，，
故.
故选：D.
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知一个15位正整数，且的30次方根仍是一个整数，则这个30次方根为（参考数据：）（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】设这个30次方根为，则，结合题目所给数据将其变形为，由此即可得解.
【详解】设这个30次方根为，则，其中且，
故，，
故，故．
故选：A.
3．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）若满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】D
【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为满足，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当即时取等号，
故的最小值为16，
故选：D.
4．（山东省滨州市新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）已知实数满足，则的最小值是（ ）
A．9B．3C．2D．6
【答案】B
【分析】先根据对数运算律得出，再应用常值代换结合基本不等式计算即可.
【详解】由得，变形得。
因为，所以，
故选:B
二、多选题
5.（2023秋·黑龙江佳木斯·高三校联考阶段练习）下列式子中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，由对数的运算性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
因为，则，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
三、填空题
6．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值.
【详解】因为，所以，
所以
，
即，所以，
所以．
故答案为：.
7．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习） ．
【答案】8
【分析】根据根式、指数对数的运算法则求解即可.
【详解】原式
.
故答案为：8
8．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）计算：= .
【答案】
【分析】运用换底公式、对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
，
故答案为：
四、解答题
9.（2023·全国·高一随堂练习）已知a，b是方程的两个实数根，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据韦达定理写出满足的关系式，再对化简后求值即可；
（2）将化简为用，表示的形式，再求值即可.
【详解】（1）因为a，b是方程的两个实数根，
由韦达定理得，
所以.
故.
（2），
所以.
10.（2023·全国·高一随堂练习）已知，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】根据对数的定义和运算性质分析证明.
【详解】设，可知且，
则，
可得，
所以，
即.
11.（2023·全国·高一专题练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.
（2）根据对数的运算法则及性质，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由指数幂的运算性质，可得：
.
（2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：
．
12．（2023·全国·高一随堂练习）分别计算下列各式，你能得出什么结论？
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)4
(2)
(3)1
【分析】根据换底公式，化简求值，并总结结论.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
.
由以上计算可知，，或是