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人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品同步达标检测题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品同步达标检测题，文件包含人教A版数学高一必修第一册专题51任意角与弧度制讲+练14大考点原卷版docx、人教A版数学高一必修第一册专题51任意角与弧度制讲+练14大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
知识点一
角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
知识点二
弧度制的定义和公式
1.定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2.公式：
3.特殊角的互化
4.提醒：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
知识点三
重要结论
1.轴线角：
2.象限角：
考点01 周期现象
【典例1】（2021下·高一课时练习）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ．
【答案】4
【分析】分析运动的过程，先求出半个周期，即可求出整个周期.
【详解】简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间t1=0.5，因过N点后再经过t2=1质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，所以振子从O点经过N点到最大位置，再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2，为半个周期，因此，质点振动的周期是T=2×2=4.
故答案为：4.
【典例2】（2020·高一课时练习）今天是星期三，那么天后的那一天是星期几?天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
【答案】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三；100天后的那一天是星期五.
【解析】根据每周的周期性变化关系即可求解.
【详解】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；
天前的那一天仍然是星期三；
，所以100天后的那一天是星期五.
考点02 任意角的概念
【典例3】（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
【答案】．
【分析】由角的定义即可求解.
【详解】由角的定义可得．
故答案为：
【典例4】（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
【答案】
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.
故答案为：.
【规律方法】
注意角的形成过程中，射线的旋转方向，分清角的正负.．
考点03 终边相同的角
【典例5】（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与 终边相同.
故选：B
【典例6】（2023·全国·九年级随堂练习）与角终边相同的角的集合是 ．
【答案】
【分析】终边相同的角相差360°的整数倍.
【详解】由于，故与角终边相同的角的集合是.
故答案为：
考点04 确定终边相同的角
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 .
【答案】/
【分析】根据终边相同角的表示，求得，令，求得，进而得到答案.
【详解】因为角θ的终边与角的终边相同，可得，
所以，
令，解得，所以，
所以在内与角的终边相同的角为.
故答案为：.
【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素.
【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（2）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（3）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得、、，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（4）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，.
所以，适合不等式的元素为、、.
【规律方法】
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
考点05 判断角所在象限
【典例9】（2023上·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】由象限角的定义即可求解.
【详解】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角.
故选：D.
【典例10】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据角终边上的点所在象限判断即可.
【详解】因为点在第四象限，
所以角为第四象限角.
故选：D.
【方法技巧】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
考点06 终边在直线上的角
【典例11】终边在直线上的角的集合是 .
【答案】
【解析】终边在直线y＝eq \r(3)x上且在第一象限的角为α＝2kπ＋eq \f (π,3)(k∈Z)，终边在直线y＝eq \r(3)x上且在第三象限的角为β＝2kπ＋π＋eq \f (π,3)＝(2k＋1)π＋eq \f (π,3)(k∈Z)．
则终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为
【典例12】（2023·全国·高一课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先求得在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，从而即可得答案；
（2）求出终边在直线上的角的集合，然后和终边在直线上的角的集合取并集即可得答案.
【详解】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，
因此，终边在直线上的角的集合为
；
（2）同理可得终边在直线上的角的集合为
，
终边在直线上的角的集合为
，
所以终边在直线上和在直线上的角的集合为
.
【规律方法】
求解终边在某条直线上的角的集合的思路
1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
考点07 角的范围及其分布图
【典例13】（2023上·高一课时练习）写出终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合.
【答案】
【分析】根据角的终边落在和图象上的角的集合可确定结果.
【详解】角的终边落在的图象上时，角的集合为；角的终边落在的图象上时，角的集合为；
终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合为.
【典例14】（2023上·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实.
【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为，
因此，阴影部分区域所表示的集合为；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为
.
【方法技巧】
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
考点08 确定已知角终边所在象限
【典例15】（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
【典例16】【多选题】（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答.
【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是；
对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，，是第二象限角，③是；
对于④，，是第二象限角，④是.
故选：CD
考点09 由已知角所在象限确定其它角的范围
【典例17】（2022下·高一单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限B．第一、二象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
【答案】D
【分析】根据给定条件，由的范围求出的范围，再分奇偶作答.
【详解】因为为第二象限角，则，
因此，
而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角，
当为偶数时，为偶数，则为第二象限角，
所以的终边所在的象限是第二、四象限.
故选：D
【典例18】（2023·全国·高三对口高考）①若角与角的终边相同，则与的数量关系为 ；②若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为 ；③若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为 ；④若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为 ；⑤如果是第一象限的角，那么是第 象限的角.
【答案】 一、二、三
【分析】根据角的终边关系写出两个角的数量关系，注意对称性、周期性应用，根据所在象限写出的范围，讨论其所在的象限即可.
【详解】由角与角的终边相同，则，
由角与角的终边关于x轴对称，则，
由角与角的终边关于y轴对称，则，
由角与角的终边在一条直线上，则，
由是第一象限的角，则，
所以，
当，则，在第一象限；
当，则，在第二象限；
当，则，在第三象限；
当，则依次重复出现在上述三个象限内；
所以在第一、二、三象限.
故答案为：，，，，一、二、三.
考点10 确定角的倍、分角所在象限
【典例19】【多选题】（2022下·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上
【答案】BD
【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可
【详解】因为是第二象限角，所以可得．
对于A，，则是第三象限角，所以A错误;
对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确;
对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误;
对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确．
故选：BD．
【典例20】（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)的终边在第二或第四象限
(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上
(3)的终边在第二､第三或第四象限
(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上
【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置.
【详解】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二､第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
考点11 用弧度表示角
【典例21】（2023·全国·高一课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）
【答案】图1；图2
【分析】（1）根据图形数形结合写出角的范围即可；
（2）根据图形数形结合写出角的范围即可；
【详解】（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为．
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
．
【典例22】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)，是第四象限角；
(2)，是第二象限角；
(3)，是第三象限角；
(4)，是第一象限角.
【分析】根据弧度制与角度制的转化和终边相同角的定义即可得到答案.
【详解】（1），是第四象限角；
（2），是第二象限角；
（3），是第三象限角；
（4），是第一象限角.
考点12 两种制度的互化
【典例23】（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）将下列各角度化成弧度，弧度化成角度.
；
；
；
.
【答案】
【分析】根据角度制与弧度制之间的互化即可逐一求解
【详解】
【典例24】（2023·全国·高一随堂练习） rad； °．
【答案】 /
【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行求解即可.
【详解】.
故答案为：；
考点13 扇形弧长、面积、圆心角的计算
【典例25】（2023上·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以该折扇的扇面的面积为.
故选：D
【典例26】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】A
【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，
因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，所以，.
故选：A.
考点14 扇形计算中的最值问题
【典例27】（2022上·广东深圳·高一校考期末）若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
故，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知，
设内切圆的圆心为，因为，故，
过点作⊥于点，
则，在中，，即，
解得.
故选：B
【典例28】（2023下·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，，
由可得，
所以，扇形的面积为，
当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．
因为，则扇形的圆心角，
取线段的中点，由垂径定理可知，
因为，则，
所以，.
故选：A.
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
1.（2015·山东·统考高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是
故选：A
2.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
3.（2020·山东海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】
利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】
设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
一、单选题
1.（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D.
【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，
故与的终边相同的角的集合
即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.
故选：B.
2．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设半径为，则周长，则，扇形面积，故选D．
3．（2014·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
4．（2022上·广东茂名·高一统考期末）我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周四步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长4步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（ ）
A．8平方步B．6平方步C．4平方步D．16平方步
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算作答.
【详解】依题意，扇形的田的弧长4步，其所在圆的半径是2步，
所以这块田的面积是（平方步）.
故选：C
5．（2023下·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答.
【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，，
于是扇形的面积，即当时，，此时，
所以所求圆心角的弧度为.
故选：B
6．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】D
【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案.
【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，当时取等号.
故选：D
二、多选题
7．（2022上·重庆·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．终边落在轴的非负半轴的角的集合为
B．终边在轴的非负半轴上的角的集合是
C．第三象限角的集合为
D．在范围内所有与角终边相同的角为和
【答案】ABD
【分析】ABC：通过写出对应的集合来判断；D：直接按照要求计算角度即可.
【详解】终边落在轴的非负半轴的角的集合为，A正确；
终边在轴的正半轴上的角的集合是，B正确；
第三象限角的集合为，C错误；
在范围内所有与角终边相同的角为和，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
8．（2023·全国·高一随堂练习）在范围内，与角终边相同的是 ，是第 象限角．
【答案】 一
【分析】根据终边相同的角的定义以及象限角的定义可得出结果.
【详解】因为，
所以，在范围内，与角终边相同的是，它是第一象限角.
故答案为：；一.
9.（2023上·高一课时练习）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．
【答案】
【分析】根据时针每小时转，分针每小时转，时针、分针都按顺时针方向旋转，结合角的定义即可求解.
【详解】因为时针每小时转，分针每小时转，
又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，
故时针转过的角度数为，
分针转过的角度数为．
故答案为：；
10．（2022下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 .
【答案】225
【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：
，
当时，取得最大值，最大值为，
所以扇形面积的最大值为.
故答案为：225.
四、解答题
11．（2023·全国·高一随堂练习）将化成的形式．
【答案】
【分析】根据把角度转化成弧度的方法是：角度的大小求解即可.
【详解】由题意，.
12．（2023·全国·高一随堂练习）已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．）
【答案】
【分析】根据扇形周长可得扇形的弧长，进而可得扇形的圆心角弧度，从而求得弓形面积.
【详解】由题意，扇形的弧长，故，
则扇形的面积，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，该三角形面积为，
故扇形中所含弓形面积为
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f (l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f (π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (180,π)))eq \s\up12(°)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f (1,2)lr＝eq \f (1,2)|α|r2
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)
2π
角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α
知识点一
角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
知识点二
弧度制的定义和公式
1.定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2.公式：
3.特殊角的互化
4.提醒：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
知识点三
重要结论
1.轴线角：
2.象限角：
考点01 周期现象
【典例1】（2021下·高一课时练习）如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ．
【答案】4
【分析】分析运动的过程，先求出半个周期，即可求出整个周期.
【详解】简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间t1=0.5，因过N点后再经过t2=1质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，所以振子从O点经过N点到最大位置，再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2，为半个周期，因此，质点振动的周期是T=2×2=4.
故答案为：4.
【典例2】（2020·高一课时练习）今天是星期三，那么天后的那一天是星期几?天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
【答案】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三；100天后的那一天是星期五.
【解析】根据每周的周期性变化关系即可求解.
【详解】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；
天前的那一天仍然是星期三；
，所以100天后的那一天是星期五.
考点02 任意角的概念
【典例3】（2023上·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
【答案】．
【分析】由角的定义即可求解.
【详解】由角的定义可得．
故答案为：
【典例4】（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
【答案】
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.
故答案为：.
【规律方法】
注意角的形成过程中，射线的旋转方向，分清角的正负.．
考点03 终边相同的角
【典例5】（2023上·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与 终边相同.
故选：B
【典例6】（2023·全国·九年级随堂练习）与角终边相同的角的集合是 ．
【答案】
【分析】终边相同的角相差360°的整数倍.
【详解】由于，故与角终边相同的角的集合是.
故答案为：
考点04 确定终边相同的角
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 .
【答案】/
【分析】根据终边相同角的表示，求得，令，求得，进而得到答案.
【详解】因为角θ的终边与角的终边相同，可得，
所以，
令，解得，所以，
所以在内与角的终边相同的角为.
故答案为：.
【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素.
【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（2）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（3）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得、、，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，适合不等式的元素为、、.
（4）解：因为，
所以，与终边相同的角的集合为，
由，可得，
当时，，
当时，，
当时，.
所以，适合不等式的元素为、、.
【规律方法】
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
考点05 判断角所在象限
【典例9】（2023上·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】由象限角的定义即可求解.
【详解】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角.
故选：D.
【典例10】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据角终边上的点所在象限判断即可.
【详解】因为点在第四象限，
所以角为第四象限角.
故选：D.
【方法技巧】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
考点06 终边在直线上的角
【典例11】终边在直线上的角的集合是 .
【答案】
【解析】终边在直线y＝eq \r(3)x上且在第一象限的角为α＝2kπ＋eq \f (π,3)(k∈Z)，终边在直线y＝eq \r(3)x上且在第三象限的角为β＝2kπ＋π＋eq \f (π,3)＝(2k＋1)π＋eq \f (π,3)(k∈Z)．
则终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为
【典例12】（2023·全国·高一课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先求得在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，从而即可得答案；
（2）求出终边在直线上的角的集合，然后和终边在直线上的角的集合取并集即可得答案.
【详解】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，
因此，终边在直线上的角的集合为
；
（2）同理可得终边在直线上的角的集合为
，
终边在直线上的角的集合为
，
所以终边在直线上和在直线上的角的集合为
.
【规律方法】
求解终边在某条直线上的角的集合的思路
1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
考点07 角的范围及其分布图
【典例13】（2023上·高一课时练习）写出终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合.
【答案】
【分析】根据角的终边落在和图象上的角的集合可确定结果.
【详解】角的终边落在的图象上时，角的集合为；角的终边落在的图象上时，角的集合为；
终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合为.
【典例14】（2023上·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实.
【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为，
因此，阴影部分区域所表示的集合为；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为
.
【方法技巧】
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
考点08 确定已知角终边所在象限
【典例15】（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
【典例16】【多选题】（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答.
【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是；
对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，，是第二象限角，③是；
对于④，，是第二象限角，④是.
故选：CD
考点09 由已知角所在象限确定其它角的范围
【典例17】（2022下·高一单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限B．第一、二象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
【答案】D
【分析】根据给定条件，由的范围求出的范围，再分奇偶作答.
【详解】因为为第二象限角，则，
因此，
而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角，
当为偶数时，为偶数，则为第二象限角，
所以的终边所在的象限是第二、四象限.
故选：D
【典例18】（2023·全国·高三对口高考）①若角与角的终边相同，则与的数量关系为 ；②若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为 ；③若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为 ；④若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为 ；⑤如果是第一象限的角，那么是第 象限的角.
【答案】 一、二、三
【分析】根据角的终边关系写出两个角的数量关系，注意对称性、周期性应用，根据所在象限写出的范围，讨论其所在的象限即可.
【详解】由角与角的终边相同，则，
由角与角的终边关于x轴对称，则，
由角与角的终边关于y轴对称，则，
由角与角的终边在一条直线上，则，
由是第一象限的角，则，
所以，
当，则，在第一象限；
当，则，在第二象限；
当，则，在第三象限；
当，则依次重复出现在上述三个象限内；
所以在第一、二、三象限.
故答案为：，，，，一、二、三.
考点10 确定角的倍、分角所在象限
【典例19】【多选题】（2022下·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上
【答案】BD
【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可
【详解】因为是第二象限角，所以可得．
对于A，，则是第三象限角，所以A错误;
对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确;
对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误;
对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确．
故选：BD．
【典例20】（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)的终边在第二或第四象限
(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上
(3)的终边在第二､第三或第四象限
(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上
【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置.
【详解】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二､第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
考点11 用弧度表示角
【典例21】（2023·全国·高一课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）
【答案】图1；图2
【分析】（1）根据图形数形结合写出角的范围即可；
（2）根据图形数形结合写出角的范围即可；
【详解】（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为．
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
．
【典例22】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)，是第四象限角；
(2)，是第二象限角；
(3)，是第三象限角；
(4)，是第一象限角.
【分析】根据弧度制与角度制的转化和终边相同角的定义即可得到答案.
【详解】（1），是第四象限角；
（2），是第二象限角；
（3），是第三象限角；
（4），是第一象限角.
考点12 两种制度的互化
【典例23】（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）将下列各角度化成弧度，弧度化成角度.
；
；
；
.
【答案】
【分析】根据角度制与弧度制之间的互化即可逐一求解
【详解】
【典例24】（2023·全国·高一随堂练习） rad； °．
【答案】 /
【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行求解即可.
【详解】.
故答案为：；
考点13 扇形弧长、面积、圆心角的计算
【典例25】（2023上·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以该折扇的扇面的面积为.
故选：D
【典例26】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】A
【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，
因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，所以，.
故选：A.
考点14 扇形计算中的最值问题
【典例27】（2022上·广东深圳·高一校考期末）若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
故，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知，
设内切圆的圆心为，因为，故，
过点作⊥于点，
则，在中，，即，
解得.
故选：B
【典例28】（2023下·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，，
由可得，
所以，扇形的面积为，
当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．
因为，则扇形的圆心角，
取线段的中点，由垂径定理可知，
因为，则，
所以，.
故选：A.
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
1.（2015·山东·统考高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是
故选：A
2.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
3.（2020·山东海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】
利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】
设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
一、单选题
1.（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D.
【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，
故与的终边相同的角的集合
即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.
故选：B.
2．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设半径为，则周长，则，扇形面积，故选D．
3．（2014·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
4．（2022上·广东茂名·高一统考期末）我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周四步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长4步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（ ）
A．8平方步B．6平方步C．4平方步D．16平方步
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算作答.
【详解】依题意，扇形的田的弧长4步，其所在圆的半径是2步，
所以这块田的面积是（平方步）.
故选：C
5．（2023下·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答.
【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，，
于是扇形的面积，即当时，，此时，
所以所求圆心角的弧度为.
故选：B
6．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】D
【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案.
【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，当时取等号.
故选：D
二、多选题
7．（2022上·重庆·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．终边落在轴的非负半轴的角的集合为
B．终边在轴的非负半轴上的角的集合是
C．第三象限角的集合为
D．在范围内所有与角终边相同的角为和
【答案】ABD
【分析】ABC：通过写出对应的集合来判断；D：直接按照要求计算角度即可.
【详解】终边落在轴的非负半轴的角的集合为，A正确；
终边在轴的正半轴上的角的集合是，B正确；
第三象限角的集合为，C错误；
在范围内所有与角终边相同的角为和，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
8．（2023·全国·高一随堂练习）在范围内，与角终边相同的是 ，是第 象限角．
【答案】 一
【分析】根据终边相同的角的定义以及象限角的定义可得出结果.
【详解】因为，
所以，在范围内，与角终边相同的是，它是第一象限角.
故答案为：；一.
9.（2023上·高一课时练习）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．
【答案】
【分析】根据时针每小时转，分针每小时转，时针、分针都按顺时针方向旋转，结合角的定义即可求解.
【详解】因为时针每小时转，分针每小时转，
又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，
故时针转过的角度数为，
分针转过的角度数为．
故答案为：；
10．（2022下·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 .
【答案】225
【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：
，
当时，取得最大值，最大值为，
所以扇形面积的最大值为.
故答案为：225.
四、解答题
11．（2023·全国·高一随堂练习）将化成的形式．
【答案】
【分析】根据把角度转化成弧度的方法是：角度的大小求解即可.
【详解】由题意，.
12．（2023·全国·高一随堂练习）已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．）
【答案】
【分析】根据扇形周长可得扇形的弧长，进而可得扇形的圆心角弧度，从而求得弓形面积.
【详解】由题意，扇形的弧长，故，
则扇形的面积，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，该三角形面积为，
故扇形中所含弓形面积为
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f (l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f (π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (180,π)))eq \s\up12(°)
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f (1,2)lr＝eq \f (1,2)|α|r2
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)
2π
角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α
{α|k·360°＋90°<α
{α|k·360°＋180°<α
{α|k·360°＋270°<α
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