人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)精品同步达标检测题

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一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用对称性，得到，再利用，对进行赋值，然后可求解.
【详解】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,
,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；
故选：A
2．（2023春·天津宝坻·高二校考阶段练习）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.
【详解】由题意，与有2个交点，
当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：
由图知：时，有2个零点.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性和单调性可得解.
【详解】函数，
那么
可知是偶函数，
当，是递增函数，
成立，等价于，
解得：，
故选:A.
4．（2022·高一单元测试）将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.
【详解】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
5．（2023秋·全国·高一随堂练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135B．149
C．165D．195
【答案】B
【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
6．（2022·高一单元测试）某市家庭煤气的使用量和煤气费（元）满足关系已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：
若五月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（ ）
A．12.5元B．12元C．11.5元D．11元
【答案】A
【分析】根据表格数据列方程组解出未知数，即可求得.
【详解】根据表格可得：，
根据三月和四月的数据可得：，解得：
所以，.
故选：A
二、多选题
7．（2022·全国·高一专题练习）某校学习兴趣小组通过研究发现：形如（，不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数的图象及性质，下列表述正确的是（ ）
A．图象上点的纵坐标不可能为1
B．图象关于点成中心对称
C．图象与x轴无交点
D．函数在区间上单调递减
【答案】ABD
【分析】化简得到，结合反比例函数的性质可得到结果.
【详解】，则函数的图象可由的图象先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，
∴图象上点的纵坐标不可能为1，A正确；图象关于点成中心对称，B正确；图象与轴的交点为，C不正确；函数在区间上单调递减, D正确..
故选：ABD．
8．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市玉林中学校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最大值为1；
B．函数的最小值为0
C．函数的图象与直线有无数个交点
D．函数是增函数
【答案】BC
【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，
对于A：函数，故A错误；
对于B：函数的最小值为0，故B正确；
对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；
对于D：函数不是上的增函数，故D错误；
故选：BC
三、填空题
9．（2022秋·高一课时练习）函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，.给出下列三个结论：①；②函数在内有且仅有个零点；③不等式的解集为.其中，正确结论的序号是 .
【答案】①③
【分析】利用的奇偶性和可求出的周期为，对于①，即可判断；对于②，令求出，再利用周期即可判断；对于③，令，求，观察图像即可得出结论.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
又，所以，即，
所以，函数的周期为.
对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；
对于②，，令，可得，得，
所以，函数在区间上的零点为和.
因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；
对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.
故答案为：①③.
【点睛】本题主要考查了函数的性质，利用函数的奇偶性和周期求区间内零点的个数以及观察图像解不等式.属于较易题.
10．（2022·高一课时练习）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭 元.
【答案】61.6/
【分析】由题可得由小昭一次性付款实际付款，进而可得合并支付比他们分别支付节省的钱，然后可得小敏需要给小昭的钱数.
【详解】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为元，
他们分别支付应付款为元，故节省元，
故小敏需要给小昭元.
故答案为：61.6.
11．（2023·全国·高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为 秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中．）

【答案】
【分析】根据关于的函数关系，令，设出对应的时间为，结合韦达定理求出即可.
【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，
因为，所以，
令，可得，即，
所以，所以.
所以排球能够在抛出点2以上的位置最多停留秒.
故答案为：.
四、解答题
12．（2022·全国·高一专题练习）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1）；（2）分钟.
【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；
(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.
【详解】（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
13．（2022·高一单元测试）2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)万件时最大利润为18万元.
【分析】（1）由题意，结合已知函数写出解析式；
（2）根据二次函数、对勾函数分别求出、上对应的利润最大值，比较它们的大小，即可确定最大年利润及对应的年产量.
【详解】（1）由题设，，
所以.
（2）当时，
故时最大利润为12万元；
当时，
当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；
综上，当万件时最大利润为18万元.
14．（2021·高一单元测试）杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）；（2）万台时最大利润为万元.
【分析】（1）由题意有，即可写出利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式.
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.
【详解】（1）由题意知：，
∴.
（2）由（1）知：，
∴时，单调递增，则；
时，，当且仅当时等号成立.
综上，当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大为万元.
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.
【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.
【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.
2．（2021秋·河南焦作·高一校考阶段练习）设函数，若，则关于的方程的解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题意求得、的值，可得函数的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于的方程的解的个数．
【详解】解：由得，①
由得，②
由①②得，．
所以，
当时，由得方程，解得，；
当时，由得．
所以，方程共有3个解．
故选：C
3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.
【详解】因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为
对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确；
对于②：当时，，故②正确；
对于③：第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，故③错误；
对于④：由题，所以，所以，故④正确；
故选：C
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A．，是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
【答案】ABD
【分析】条件③．即可判定A，由条件①③可得，即可求得即可判断B，由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判断D.
【详解】对于A, 函数，，显然满足条件①②．
对任意，且时，．
函数在区间，上为“正方和谐函数”．故A正确.
对于B，若函数为“正方和谐函数”，
则令，，得，即，
又由对，，，故B正确；
对于C，设，则，所以
，即有，
函数在区间上不一定是单调递增，故C错误；
对于D，①当时，成立，
②当时， ，，
③当时，，，则；
显然，当时，成立；
假设当时，有成立，其中，
那么当时，，
可知对于，总有，其中，
而对于任意，存在正整数，使得，此时
综上可知，满足条件的函数对时总有成立.
故D正确，
故选：ABD
5．（2020·高一单元测试）定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．方程有两正数解和一负数解B．方程最多只有三个解
C．方程可能存在五个解D．方程有且仅有一个解.
【答案】ABCD
【分析】设的零点分别为，则，设的零点为，，根据函数零点的性质依次判断得到答案.
【详解】设的零点分别为，则，设的零点为，.
，即，有一个解为正数，，有一个解为正数，
有一个解为负数，故正确；
，则，根据图像知：函数最多有三个交点，故正确；
，即，可能为一个解，，可能为三个解，可能为一个解，故正确；
，故，故方程有且仅有一个解，正确.
故选：.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的综合应用能力.
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
【答案】10
【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10月份
一月份
二月份
三月份
四月份
用气量
4
5
25
35
煤气费/元
4
4
14
19
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
-6
3
-2.625
-1.459
-0.14
1.3418
0.5793