人教B版数学高一必修第一册 第三章 函数 单元测试基础卷

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第三章 函数（基础卷）（时间：120分，满分：150分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知函数．则的值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，将代入，可得，故选：．2．（2023·全国·高一专题练习）的定义域为，则的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由，求出的范围，可求出的定义域，而对于相同的对应关系，的范围和相同，从而可求出的定义域.【详解】因为，所以，所以，所以的定义域为，所以由，得，所以的定义域为，故选：C3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解.【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故当和时，，当和时，，故等价于和，解得，故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由可得的周期为6，则根据周期可转化为，再由可得，将代入函数即可求解.【详解】因为当时，，所以，即，所以，所以．故选：D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知有，即可求取值范围.【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，所以，解得.故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）定义：函数满足（，C为常数），则称为中心对称函数，已知中心对称函数在上的最大值和最小值分别为M，m，则（    ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】变形给定的函数式，再借助奇函数最大值与最小值的关系计算作答.【详解】函数，令，则，函数是R上的奇函数，而，依题意，，又，所以.故选：D7．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.【详解】∵是定义在上的减函数，且，则，解得.故选：A.8．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（    ）A．2个 B．3个C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.【详解】由数表可知，.则，，，又函数的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在上至少各一个零点，因此在区间上的零点至少有3个．故选：B.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．（2023秋·甘肃兰州·高三校考阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AD【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案.【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同，值域相同，故与是同一函数，A正确；对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误；对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为，故二者不是同一函数，C错误；对于D，，与的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一函数，D正确，故选：AD10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（   ）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应【答案】BD【分析】利用函数的图象判断.【详解】由图象知：A.函数的定义域为，故错误；B.函数的值域为，故正确；C. 函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；故选：BD11．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ）A．B．若，则或C．若，则D．，使得【答案】ABD【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递增，且，进而逐项分析各项的正误．【详解】由①，，得为偶函数，②，，当时，都有，所以在上单调递减，故,故A正确；对于B，由,可得或，解得或，故B正确；对于C，由，得，若，则或，解得，故C错误；对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以，，使得，故D正确．故选：ABD12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，，则（    ）A．的图象关于对称B．的图象没有对称中心C．对任意的，的最大值与最小值之和为D．若，则实数的取值范围是【答案】ACD【分析】根据函数的对称性直接可判断ABC，再结合函数的单调性解不等式，可判断D.【详解】由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A正确；因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最大值与最小值之和为，故C正确；由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，故选：ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．（2023秋·高一课时练习）某市年国民生产总值为亿元，计划在今后的年里，平均每年增长，问年该市国民生产总值可达 亿元．（精确到亿元）【答案】【分析】根据已知可建立函数关系式，代入即可.【详解】设该市国民生产总值在年后的第年为亿元，则：第年：，第年：，，第年：，第年：（亿元）．故答案为：.14．（2023·全国·高三对口高考）若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为 .【答案】【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案.【详解】由题意可得函数的图像开口向上，对称轴为，当时，，令，解得或，因为函数的定义域为，值域为，故，故答案为：15．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域 ．【答案】/【分析】先对根式整体换元(注意求新变量的取值范围)，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可.【详解】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．故答案为：.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为 ．【答案】【分析】要使f（x）在R上单调递增，必须满足：f（x）在(－∞，1)上单调递增，f（x）在(1，＋∞)上单调递增；又x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．【详解】要使f（x）在R上单调递增，必须满足三条：第一条：f（x）在(－∞，1)上单调递增；第二条：f（x）在(1，＋∞)上单调递增；第三条：x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．故有解得．故实数a的取值范围为．故答案为：.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.【详解】（1）函数定义域为，对任意都成立，当时，显然不恒成立，不合题意；当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，综上，实数的取值范围为（2）函数值域为，能取遍所有正数，1：，解得，2：， 符合题意实数的取值范围为18．（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)4千克，480元﹒【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可．【详解】（1）依题意，又，∴．（2）当时，，开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为．当时，，当且仅当时，即时等号成立．∵，∴当时，．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．19．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知函数.（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.【答案】（1）图象见解析；（2）单调增区间为；单调减区间是为；（3）.【分析】（1）分段依次作出图象即可；（2）看图写出单调区间即可；（3）作出直线图象，数形结合得到实数的取值范围即可.【详解】解：（1）作图如下：（2）看图可知函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；（3）如图，若函数的图象与直线有4个交点，则需.所以实数的取值范围为.20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式.【答案】(1)(2)增函数；证明见解析(3)【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，，而，解得，.（2）函数在上为增函数；证明如下：任意且，则因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以函数在上为增函数.（3）由题意，不等式可化为，即解不等式，所以，所以，解得所以该不等式的解集为21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，其中m为常数.(1)若函数是奇函数，求m的值；(2)判断函数的单调性并证明；(3)在（1）的条件下，对于任意，不等式恒成立，求实数n的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由奇函数的定义，求m的值；（2）用定义法证明函数的单调性；（3）利用函数奇偶性和单调性解不等式，问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论求最值即可.【详解】（1）函数，定义域为R，若函数是奇函数，，，，解得.（2）在R上单调递减，证明如下，任取，则，由，有，，，所以，即，故在R上单调递减；（3）由（1）（2）可知，函数是奇函数且在R上单调递减，，即，得，即，令，则，当，即时，在上单调递增，，解得，所以；当，即时，，解得当，即时，在上单调递减，，解得与矛盾，所以无解；综上，实数n的取值范围为.22．（2023·全国·高一专题练习）若函数对任意，恒有成立，且．(1)求证：是奇函数；(2)求的值；(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．【答案】(1)证明见解析(2)，(3)最大值为2，最小值为【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数；（2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出；（3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案.【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得，所以，故是奇函数；（2）因为，故令得，即，又是奇函数，所以，令得，令得故；（3）不妨设，中，令得，，因为，又时，，所以，即，所以在R上单调递减，故．x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6