高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀同步达标检测题

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知识点一
并集
1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B
2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
3.图示：
知识点二
交集
1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B.
2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
3.图示：
知识点三
并集和交集的性质
知识点四
补集
1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA.
3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.
4.图示：
5.解读：
(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示．
知识点四
集合中元素的个数
考点01 并集运算
【典例1】（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·陕西·高二校联考期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
考点02 根据并集运算结果求集合或参数
【典例3】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（ ）
A．B．或
C．或或D．或或或
【典例4】（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为
【总结提升】
1.A∪B＝B⇔A⊆B
2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．
考点03 交集的运算
【典例5】（2023春·陕西商洛·高二校考期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023春·北京·高二校考期中）已知集合，集合，则集合A∩B=（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
考点04 根据交集运算结果求集合或参数
【典例7】（2023春·湖北黄冈·高一校联考期中）已知集合，，，则（ ）
A．或B．或C．或D．或或
【典例8】（2021秋·高一课时练习）已知集合，．
（1）若，实数的取值范围是 ．
（2）若，实数的取值范围是 ．
（3）若，实数的取值范围是 ．
【典例9】（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
请从①；②；这两个条件中选择一个填入②中横线处，并完成第②问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【总结提升】
利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．
考点05 补集的运算
【典例10】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【典例11】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【总结提升】
两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助图示．
②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
考点06 根据补集的运算结果求集合或参数
【典例12】（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【典例13】【多选题】（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【典例14】（2023春·山东滨州·高二校考期末）已知全集，集合，且，则 ．
【总结提升】
根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
考点07 交集、并集、补集的综合运算
【典例15】（2024·全国·高三专题练习）已知集合或，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例16】（2022秋·广东佛山·高一统考期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点08 根据集合的运算求参数
【典例17】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例18】（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且，求的取值范围．
【总结提升】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
考点09 求集合中元素的个数
【典例19】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【典例20】（2023春·重庆·高二统考期末）设集合，，若，则实数所有取值组成的集合的子集个数为 .
考点10 集合的应用
【典例21】（2020秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）集合论是德国数学家康托尔（G. Cantr）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合A，B，有.2020年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（ ）

A．293B．260C．205D．154
【典例22】（2023·全国·高三专题练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（ ）
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
考点11 集合的新定义问题
【典例23】已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1, x,y∈Z}，B={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【典例24】【多选题】（2023秋·高一课时练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【方法技巧】
解决集合新定义问题的方法
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
一、单选题
1．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知全集，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
5．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）对于集合，我们把集合叫做集合与集合的差集，记作．现已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2022秋·四川·高一统考期中）已知全集，集合，，则 .
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，集合，，若，则实数的取值范围是 .
8.（2023·全国·高三专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ .
9.（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）已知：，且，则实数的取值范围是 .
四、解答题
10．（2023春·新疆伊犁·高一统考期中）已知全集，若集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
11．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知集合，，或.
(1)若，求的取值范围．
(2)若，求的取值范围.
12.（2022秋·全国·高一校联考阶段练习）设集合，．
(1)若，求，；
(2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合．并集
交集
简单性质
A∪A＝A；A∪∅＝A
A∩A＝A；A∩∅＝∅
常用结论
A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；
B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B
A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；
(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A