高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质精品习题

展开

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质精品习题，文件包含专题21等式性质与不等式性质原卷版docx、专题21等式性质与不等式性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页，欢迎下载使用。

知识点一
两个实数比较大小的依据
(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a知识点二
等式的基本性质
性质1 如果a=b，那么b=a；
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c.
性质3 如果a=b，那么a±c=b±c.
性质4 如果a=b，那么ac=bc.
性质5 如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c.
知识点三
不等式的基本性质
知识点四
比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
知识点五
几条常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)(2)a<0(3)a>b>0,0eq \f(b,d).
(4)02．两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)．
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
考点01 用不等式表示不等关系
【典例1】【多选题】（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意直接列不等式即可求解.
【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，
所以，
因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，
所以.
故选：BC.
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x元．方案二：每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x的最大值为元．
【答案】24
【分析】根据条件比较两种方案所付的金额，即可求解.
【详解】由题意可得％，解得．
所以的最大值为元.
故答案为：
【总结提升】
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
考点02 “差比法”比较数或式子的大小
【典例3】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作差法比较出，，从而得到.
【详解】，故，
，故，
综上：
故选：A
【典例4】（2023秋·高一单元测试），和同时成立的条件是．（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据不等式的基本性质得出结果.
【详解】，
因为，即，
所以，所以或，
故所写答案只要满足上述两个不等条件其中一即可，如等.
故答案为：（答案不唯一）.
【规律方法】
差比法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
考点03 “商比法”比较数或式子的大小
【典例5】（2023·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
【典例6】（2023秋·全国·高一随堂练习）若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
【规律方法】
商比法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．强调比较项同号.
考点04 不等式真假判断
【典例7】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如果，给出下列不等式，其中一定成立的是（）
①；②；③；④．
A．②④B．①④C．②③D．①③
【答案】A
【分析】由不等式性质一一判定即可.
【详解】对于①，若，则不正确；
对于②，由，正确；
对于③，若，则不正确；
对于④，易知，正确.
故选：A
【典例8】【多选题】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）若、、，则下列命题正确的是（）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
【答案】BD
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，若且，则，
则，故，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
【总结提升】
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．
2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
考点05 求数或式的范围
【典例9】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
【典例10】（2023·全国·高一专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为，，
所以，
即的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
易知，
而
则，
所以的取值范围是．
【总结提升】
1．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
2．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
考点06 等式性质及其应用
【典例11】（2023·全国·高一课堂例题）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则， .
【答案】
【分析】根据等式的基本性质计算即可..
【详解】根据等式的性质3，等式两边同减，得，
再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得．
故答案为：，
【典例12】（2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.
【答案】.
【分析】根据恒成立，将式子变形为对任意实数m恒成立，即可由且求解.
【详解】由于对任意实数m恒成立，
则对任意实数m恒成立，因此且，
所以，
当，当，
故满足条件的实数对的集合为
1．（2015·浙江·高考真题）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，，所以
，故；同理，
，故.因为，故.故最低费用为.故选B.
2.（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．
【答案】 130. 15.
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
3．（2010·江苏·高考真题）设实数满足，则的最大值是_____ ____
【答案】27
【分析】利用，已知条件结合不等式性质，即可求解.
【详解】,
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：27
一、单选题
1．（2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据特殊值排除选项A、B、C；根据不等式的基本性质判断选项D.
【详解】当时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，所以，即，则，故D正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误，
故选：B.
3．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．
【详解】取，则，故A错误；
取，则，故B错误；
由于，所以，则，故C正确；
取，则，，故D错误.
故选：C．
4．（2023春·广东汕尾·高二汕尾市城区汕尾中学校考期中）已知，则下列命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】对于A，当时，如，时成立，故A错误；
对于B，当，显然，但，故B错误；
对于C，当时，显然，但，故C错误；
对于D，，则，故D正确．
故选：D．
5．（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（）
A．甲B．乙C．一样低D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.
【详解】设两次加油时的单价分别为元和元，且，
则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，
可得，所以乙的平均价格更低.
故选：B.
二、多选题
6．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）下列四个命题中正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确；
对于B，取，则满足，但，故B错误；
对于C，取，则满足，但，故C错误；
对于D，因为，所以，则，所以，故D正确.
故选：AD.
7．（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）下列说法正确的的是（）
A．若．则B．若，则
C．若，．则D．若，，则
【答案】BD
【分析】利用特值可判断A错误，C错误；由不等式的性质可判断B正确；作差比较可判断D正确．
【详解】当时，，故A错误；
因为，所以，所以，故B正确；
当，，，时，，故C错误；
，
又，，所以，所以，故D正确．
故选：BD．
8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）若，则下列说法一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，因为，可得，所以成立，所以A正确；
对于B中，由，因为，可得，而符号不确定，所以和不能确定，所以B错误；
对于C中，由，
因为，可得，，
所以，即，所以C正确；
例如：当时，可得，此时，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知：，则大小关系是．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【详解】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
10．（2023·江苏·高一假期作业）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（填序号）．
【答案】①
【分析】由反证法判断①；利用特值法判断②.
【详解】对于①，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与已知条件a＋b＞2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；
对于②，若a＝－2，b＝－3，则成立，故由②不能推出“a，b中至少有一个大于1”．
故答案为：①.
四、解答题
11．（2023秋·高一课时练习）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？
【答案】（1）；（2）
【分析】由不等式的表示方法解决.
【详解】（1）由题意，直接用不等式表示可得.
（2）由题意，直接用不等式表示可得.
12．（2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【答案】(1)若，，则．
(2)若，，且，则．
【分析】（1）设糖水b克，含糖a克，得到糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为求解；
（2）设淡糖水克，含糖克，得到淡糖水浓度为，设浓糖水克，含糖克，得到浓糖水浓度为，从而混合后的糖水浓度为求解.
【详解】（1）解：设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，
加入m克糖后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若，，则．
（2）设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为，
设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
所提炼出的不等式为：若，，且，则．性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ba
可逆
传递性
a>b，b>c⇒a>c；a同向
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acc的符号
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
同向同正
可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向，
同正
可乘方性
a>b>0，n∈N*⇒an>bn
同正
可开方性
a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
同正
矩形
菱形
圆
总数
A
5
3
10
55
B
12
6
13
125