2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.3三角函数的性质含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.3三角函数的性质含解析答案，共50页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
2．给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
3．设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列函数中是奇函数且最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
7．“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．函数的图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．3或B．2或C．或D．或
11．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
12．函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
13．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
14．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
15．已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A．B．
C．D．
18．若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
20．定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（ ）
A．为偶函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为奇函数
21．函数在的最大值是（ ）
A．2B．0C．1D．
22．当时，的最大值是（ ）
A．2B．C．0D．
23．函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为
24．已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
25．为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度D．向左平行移动 个单位长度
26．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．在上的最小值为D．直线是图象的一条对称轴
27．已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
28．如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
29．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
30．将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
31．已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．已知函数，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．D．
33．已知函数在上有且只有两个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
34．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．1D．
35．已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
36．函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（ ）
A．B．C．D．
37．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
38．关于函数，有下列命题：
①的最小正周期为；②函数的图象关于对称；
③在区间上单调递增；④将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
39．设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8B．6C．4D．2
40．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）
A．B．
C．D．
41．当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
42．下列函数中，其图象关于点对称的是（ ）
A．B．C．D．
43．已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
44．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
45．下列函数中，最小值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
46．已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于对称
C．的图象关于对称
D．在上单调递增
47．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的最小值为
C．的最小正周期可以为D．的图象关于原点对称
48．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．在区间的最小值为
49．已知函数，则（ ）
A．最小正周期为
B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心
D．在上单调
50．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位
D．函数在区间上的取值范围是
51．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的图象关于中心对称
B．当时，将图象向右平移个单位长度后的函数图象关于y轴对称
C．当时，在上单调递减
D．设的周期为T，若时，，为方程的两个不相等实根，则
三、填空题
52．已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为 .
53．函数的值域为 .
54．函数的最大值为 ．
55．已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ．
56．函数的值域是 .
57．将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 .
58．已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ．
59．已知函数，若的图象的一条对称轴是，且在区间上单调递增，则w的取值范围是
60．已知函数（），当时，单调递增，则的取值范围是 ．
61．若函数在的值域为，则的取值范围是
62．已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ．
四、解答题
63．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
64．已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
65．已知函数．
(1)求在上的单调增区间；
(2)若关于x的方程在区间内有两个不同的解，，求实数a的取值范围，并证明．
66．如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”.
(1)已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和；
(2)若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围.
67．已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”.
(1)判断函数是否是“函数”；
(2)设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值；
(3)若函数是“函数”，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
2．A
【分析】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可.
【详解】对于①，，其最小正周期为;
对于②，结合图象，知的最小正周期为．
对于③，的最小正周期．
对于④，的最小正周期．
故选：A．
3．B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
4．D
【解析】利用三角函数周期公式依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，由于函数不是周期函数，故排除A；
对选项B，由于函数，周期为，故排除B；
对选项C，由于函数的周期为，故排除C；
对选项D，由于函数的周期为，故D正确.
故选：D
5．C
【分析】结合二倍角、辅助角及和差角公式对选项进行化简，再计算周期比较即可.
【详解】对于选项A，，∴
选项B：且，∴
对于选项C，，∴
对于选项D，，∴,
故选：C.
6．D
【分析】结合降次公式，二倍角公式对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】由选项A得，
所以该函数为偶函数，且最小正周期为，选项A错误；
对于选项B，，该函数为偶函数，且最小正周期为，选项B错误；
对于选项C，.该函数为偶函数.且最小正周期为，选项C错误；
对于选项D，，该函数是奇函数且最小正周期为,D选项正确.
故选：D
7．A
【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
【详解】若函数的图象关于对称，
则，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
故选：A.
8．C
【分析】利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数对称性得到方程，解出即可.
【详解】，
所以，，解得，
故选：C.
9．C
【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求.
【详解】因为，且，则，
由题意可得：，解得，
又因为直线为函数图象的一条对称轴，
则，解得，
可知，即，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围.
10．A
【分析】根据题意整理可得，其中，，结合正弦函数对称性可得，，分类讨论的奇偶性，结合诱导公式分析求解.
【详解】由题意可知：，
其中，．
因为的图象关于点中心对称，则，
整理可得，则，
解得，，则，
当时，；
当时，；
综上所述：或．
故选：A．
11．D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】，令，
,
故函数的单调递增区间为.
故选：D．
12．D
【分析】由条件列方程求，结合正切函数的性质求的单调递增区间.
【详解】依题意，，且，
即且，
因为，所以，
则，
所以，化简得，
因为，所以时，故，
所以．
由，得，
所以的单调递增区间是．
故选：D．
13．D
【分析】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得.
【详解】对A：，，故不以为周期，故A错误；
对B：，故以为周期，
当时，，由在上单调递减，
且，故在上单调递减，故B错误；
对C：，，故不以为周期，故C错误；
对D：，故以为周期，
当时，，由在上单调递减，
但，故时，，
故在上单调递增，故D正确.
故选：D.
14．C
【分析】利用余弦函数的二倍角公式化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，
在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
故B错；
对于C选项，当时，
则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，
则在上单调递减，故D错.
故选：C.
15．C
【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.
【详解】因为函数的周期为，
所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB，
当时，，
因为在上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
16．B
【分析】根据的最小正周期确定的值，根据函数的对称轴求出，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，
且仅有单调递增区间，
故和的最小正周期相同，均为，
则，即，
又直线是图象的一条对称轴，则，
即，结合，得，
故，令，则，
即的单调递减区间为，
故选：B
17．B
【分析】先化简各选项，由最小正周期的计算公式和奇、偶函数的定义对选项一一判断即可求出答案.
【详解】对于A：最小正周期为，故A错误；
对于B：，最小正周期，且为奇函数，故B正确；
对于C：，最小正周期为的偶函数，故C错误；
对于D：，则，
故为偶函数，故D错误.
故选：B
18．B
【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【详解】由题意可知：为函数的对称轴，
则，则，
对于选项A：令，解得，不合题意；
对于选项B：令，解得，符合题意；
对于选项C：令，解得，不合题意；
对于选项D：令，解得，不合题意；
故选：B.
19．D
【分析】当时，代入可得，由正弦函数性质，可验证充分性，为偶函数时，得到，可验证必要性.
【详解】函数，当时，
，
则为奇函数，所以充分性不成立，
当为偶函数时，，所以必要性不成立，
故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
20．D
【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导B、D，利用反例说明A、C.
【详解】定义在上的函数周期为，所以，
又为奇函数，所以，
即，所以为奇函数，故B错误；
所以，则，
所以，则为奇函数，故D正确；
由，所以，则关于对称，
令，则，满足函数周期为，
且满足为奇函数，
但是为奇函数，故A错误；
令，则，满足函数周期为，
又满足为奇函数，
但是为偶函数，故C错误.
故选：D
21．C
【分析】由已知可得.根据的范围以及余弦函数的单调性，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，所以.
又在上单调递减，
所以，当，即时，函数取得最大值.
故选：C.
22．D
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】原式，
其中锐角由确定，由，得，
所以.
故选：D
23．D
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
因为，
所以为的一个周期，
不妨设，
若时，可得，
因为，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得；
若，可得，
因为，可得，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，
综上可得，函数的最大值为，最小值为.
故选：D.
24．B
【分析】利用正弦型函数的对称性可得，再利用正弦型函数的最小值即可得解.
【详解】由题意可得，则，
又，故，即，
当时，，又的最小值是，
则，故，即的最大值是.
故选：B.
25．A
【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】，
由诱导公式可知：
又
则，即只需把图象向右平移个单位.
故选：A
26．D
【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D.
【详解】对于选项A，由题意，可得，
故A错误；
对于选项B，令，，
所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为，所以，故，
在上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数的对称轴方程为，
化简可得，取，可得，
所以是图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.
27．A
【分析】利用三角恒等变换得到，结合伸缩变换得到，整体法得到，根据极值点个数得到不等式，求出，得到答案.
【详解】因为
，
又将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，
所以．
当时，，
又因为在上恰有一个极值点，
所以，解得.
故选：A．
28．D
【分析】结合图象，以及周期公式，求出，再结合平移伸缩的法则即可求解.
【详解】由图象可知，
则的一个最低点为，
的最小正周期为，则，
，即，
所以，
又因为，所以，
所以，
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，
得的图象，
再将所得曲线向左平移个单位长度，
得，
故，
故选：D.
29．C
【分析】根据图象求出函数的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可．
【详解】由得，，
所以，又，所以，故A错误；
时，，所以，，故B错误；
，令，则，
时，，此时单调递增，单调递减，
故在上单调递减，故C正确；
的图象上的所有点向左平移个单位长度，
得到，图象关于原点对称，故D错误.
故选：C.
30．B
【分析】由图象可得最小正周期，可求，，点的坐标代入函数的解析式，可求解析式，进而利用图象变换可求函数的解析式.
【详解】由图像可得，函数的最小正周期为，
所以，将点的坐标代入函数的解析式，
且函数在附近递增，所以.
则，
得.因为，所以当时，，
因此.
函数的图象向右平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的解析式为.
故选：B.
31．D
【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解即得.
【详解】依题意，，
当时，，若在上有最小值没有最大值，
则，所以.
故选：D
32．C
【分析】由求出的取值，再根据，分是函数的一个对称中心与不是对称中心两种情况讨论，分别求出的最小值，即可得解.
【详解】因为，所以，
则或，
又，，
当是函数的一个对称中心时，，
若，则，
所以，则，又，
所以当时；
若，则，
所以，则，又，
所以当时；
当不是函数的一个对称中心时，因为，
即，
所以，
所以，又，
所以当时，
综上所述：.
故选：C
33．B
【详解】解：函数的零点为满足： ，
当 时，函数的第二个正零点 ，
当 时，函数的第三个正零点 ，
综上可得，实数 的取值范围是 .
本题选择B选项.
点睛：
本题考查三角函数的零点问题，首先求得函数零点的坐标，然后结合题意得到关于 是不等式，求解不等式即可求得最终结果.
34．B
【分析】由题意可得是函数的最小值，是函数的最大值，可知的最小值就是函数的半周期长．
【详解】若对于任意的，都有，
则是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值即为函数的半周期长，
而函数的最小正周期，因此．
故选：B
35．A
【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断.
【详解】一方面，当，时，是奇函数，
是偶函数，故充分性成立，
另一方面，当时，有是奇函数，
是偶函数，
但此时关于的方程没有解，故必要性不成立，
综上所述，在已知 的情况下，
“”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件.
故选：A.
36．A
【分析】根据y轴右边第二个对称中心在内，第三个对称中心不在内可求得，结合可得，再利用平移变换求出，根据三角变换化简可得，然后由二倍角公式可解.
【详解】由得，
因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得，
又，所以，即，所以，
将函数的图象向右平移个单位得到函数，
即，
因为
，
所以.
故选：A
37．B
【分析】首先利用奇偶性的定义来判断是否为偶函数，再利用给定的定义域去掉绝对值符号，再对函数进行单调性分析即可.
【详解】对于A：因为，所以为偶函数，
当时， ，，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B：因为，所以为偶函数，
当时， ，
当时，，
因为在上单调递减，
所以在上单调递增，故B正确；
对于C：因为，所以为偶函数，
当时， ，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，故C错误；
对于D：因为，
所以为非奇非偶函数，故D错误.
故选：B.
38．A
【分析】利用正余弦函数的二倍角公式化简可得，求出周期可判断①；求出可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；根据三角函数图象平移规律可判④．
【详解】，
对于①，的最小正周期为，故正确；
对于②，，所以函数的图象关于对称，
故正确；
对于③，当时，，因为在上单调递减，
所以在区间上单调递减，故错误；
对于④，将函数的图象向右平移个单位长度后得到
的图象，不与函数的图象重合，故错误．
故选：A.
39．C
【分析】利用轴对称求得函数，利用三角函数平移变换得到函数，再利用函数的对称中心计算得到结果.
【详解】由题意得，则.
函数的图象由函数图形向右平移1个单位得到.
由函数的图象与的图象关于点对称，在定义域内有4个交点.
所以函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为
故选：C.
40．B
【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.
【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，，
所以最小正周期满足
所以，
所以有：，
故选：B
41．D
【分析】化简得到，再由，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，可得，所以，
可得，
又因为，
所以
即，
因为，
因为，可得，所以，
则，则，
要使得不等式，即恒成立，
所以，即实数的取值范围为.
故选：D.
42．BCD
【分析】利用三角函数的性质，把代入验证即可判断得解.
【详解】对于A，当时，，A不是；
对于B，当时，，B是；
对于C，当时，，C是；
对于D，当时，，正切值不存在，D是.
故选：BCD
43．AB
【分析】由对称轴和对称中心列出关系式得，利用单调性得到，进而得或或，再注意验证是否符合题意可得答案.
【详解】由题意可得则，
即.因为在上单调，
所以，所以，即，所以，即，
解得.因为，所以或或.
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上不单调，故不符合题意.
故选：AB.
44．BD
【分析】计算，存在使得函数为奇函数，则或，根据为奇函数，即可得解.
【详解】由题意可得，函数，
且，
存在，函数为奇函数，
则或，
当时，所以为奇函数，
可得，
所以,
当时，B满足条件，
当时，D满足条件，AC不满足；
当时，，
此时或，
当且仅当时为奇函数，不符合，不合题意.
故选：BD.
45．BD
【分析】对于A选项，把原式转化为二次型函数来求最值；
对于B选项，需要用到不等式证明中的代换1法即可；
对于C选项，需要把原式中的换成，这样又转化为二次型函数来求最值；
对于D选项，遇到绝对值问题用平方思想，把原式化为即可判断.
【详解】对于A，，其最小值为，故错误；
对于B，
，
当且仅当，时等号成立，故B正确；
对于C．设，，则，
所以，
当时，，故C错误；
对于D，，又，
所以当，即，时，，故D正确．
故选：BD．
46．BCD
【分析】根据平移可得，即可根据诱导公式求解A，代入表达式求解函数值即可求解BC，利用整体法即可求解D.
【详解】，故A错误；
由，故B正确；
由，得C正确；
由，令，得，,
当时，，故D正确.
故选:BCD.
47．ABD
【分析】根据图象平移判断A，根据关于直线对称可得判断B，由周期计算可判断C，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.
【详解】对于A，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，由题可知，解得，又，所以的最小值为，故B正确；
对于C，若最小正周期，则，由B项可知，不存在满足条件的，故C错误；
对于D，因为，代入，得，
所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，
则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D正确．
故选：ABD
48．ACD
【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确.
【详解】由题意得，
由图象可得，
又，所以，
由五点法可得，
所以.
A：由以上解析可得，故A正确；
B：由以上解析可得，故B错误；
C：，故C正确；
D：当时，，
所以最小值为，故D正确；
故选：ACD.
49．BC
【分析】利用二倍角公式化简函数，根据求出最小正周期判断A；利用余弦函数的对称轴方程和对称中心可判断BC；由余弦函数的单调性可判断D.
【详解】，
对于A：的最小正周期为，错误；
对于B：令可得，
所以的图象关于直线对称，正确；
对于C：令可得，且，
所以的图象关于点对称，正确；
对于D：因为，所以，
由在上单调递增，上单调递减可知，
在上单调递增，在单调递减，错误；
故选：BC.
50．ABD
【分析】由图得，点在图象上求得及的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；根据图象平移规律可判断C；根据的范围求得可判断D.
【详解】由图得,，所以，，
所以，因为点在图象上，所以，
所以，因为，所以，可得，故A正确；
对于B，由，
得，所以函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故C错误；
对于D，时，，
所以，函数在区间上的取值范围是，故D正确.
故选：ABD.
51．ABD
【分析】由已知可得结合每个选项条件计算可判断其正确性.
【详解】
对于A：当时，又，
所以的图象关于中心对称，故A正确；
对于B：当时，
将图象向右平移个单位长度后的函数为
所以为偶函数，
所以将图象向右平移个单位长度后的函数图象关于y轴对称，故B正确；
对于C：当时，因为，
所以，所以在上不是单调递减函数，故C错误；
设的周期为T，若时，则，解得，
当时，由
则可得或，
所以，
当时，由
则可得或，
所以，故D正确.
故选：ABD.
52．/
【分析】根据题意，由的一个对称中心为，可得，，再由在上单调递增，得，，由上两式可得答案.
【详解】因为的一个对称中心为，所以，，
即，，①；
又，则，在上单调递增，
所以，，
即，解得，，②；
又，结合①②可得，的最小值为.
故答案为：.
53．
【分析】化简可得，令且，所以函数的值域等价于在区间上的值域，利用二次函数求出在区间上的值域即可.
【详解】由题可得：
，令，则，令，
所以函数的值域等价于在区间上的值域，
由于，所以当时，，，
则函数的值域为，
故答案为：
54．/
【分析】首先求得，设，，得出的单调区间，即可得出最大值．
【详解】，
设，，
令，得或，
所以当时，，
即在和上单调递减，
当时，，
即在上，单调递增，
又因为，，
所以的最大值为，
故答案为：．
55．
【分析】当时，，当时，，在结合正弦函数图像可得到，求出即可.
【详解】当时，，当时，.
因为函数在区间上的值域均为，
而，，所以.
又因为，,
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
56．
【分析】首先分析函数的周期，再分，求出函数的取值范围，即可得到函数的值域.
【详解】因为，
所以是以为周期的周期函数，
当时，
由，则，所以，则；
当时，
由，则，所以，则；
综上可得的值域为.
故答案为：
57．（答案不唯一）
【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数的值.
【详解】将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为，
由题意的图象关于轴对称，
所以，解得，，令，得.
故答案为：（答案不唯一）.
58．
【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围.
【详解】
，
由，，得，
时，，最大时，也最大，
若在区间上只有一个零点和两个最大值点，
则只需，解得．
故答案为：.
59．
【分析】本题首先可以根据正弦函数的图象与性质，利用的图象的一条对称轴是得出，再利用在区间上单调递增得出，最后列出不等式组求得的取值范围．
【详解】函数，，
且的图象的一条对称轴是，
所以，
所以；
又在区间上单调递增，
所以，
所以，
；
综上，的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合思想以及化归思想，本题是基础题．
60．
【分析】利用正弦曲线的单调性列出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围.
【详解】当时，，
因为在上单调递增，
则解得，
又，可得．
故答案为：．
61．
【解析】先根据题意计算出的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得.
【详解】因为，且，
故可得，
因为在区间单调递减，在单调递增，
且，，
故要满足题意，只需
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.
62．
【分析】根据函数的对称轴求出，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知是函数的一条对称轴，
故，解得，，因为，故，
故，令，解得，
原点附近的6个对称中心分别为，
若3个对称中心恰好是，
则，则t不存在，不合题意；
若3个对称中心恰好是，
则，则；
故当时，符合题意．
故t的取值范围为，
故答案为：
63．(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）因为关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图象在有两个交点.

由图象可知符合题意的的取值范围为.
64．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【详解】（1）因为，
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
（2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：，
再将其向右平移，可得：，
即函数，
因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是，
再由函数有且仅有4个零点，则满足，
解得，所以实数的取值范围.
65．(1)和
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，解方程即可得到a的取值范围，然后分与分别讨论，即可证明.
【详解】（1），
由得，
所以增区间为，
而，
故在的单调增区间为和．
（2）由得，
即，其中，．
所以当且仅当，
即满足题意．
故实数a的取值范围为．
当时，，即；
此时，而，
所以，
当时，，即；
此时，而，
所以；
综上，．
66．(1)
(2)
【分析】（1）得到，由，得到，设，即，结合正弦函数的图像与性质，即可求解；
（2）由，根据题意，得到，求得，得到，结合双曲函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数的“4型正余弦生成数对”为，
可得，
又由方程，即，即，
因为，可得，
设，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有2个解，
设其两根为，且，
由对称性可知，解得，则实根之和为.
（2）解：由题意得，其中，
因为在处取最大值，可得，
所以，
即，
可得，
又因为，且在上单调递增，
可得，所以，即的取值范围为.
67．(1)是“函数”，不是“函数”
(2)1
(3)，且
【分析】（1）根据“函数”的定义即可判断是否是“函数”.
（2）根据周期函数的定义，结合“函数”的条件，进行判断和证明即可.
（3）根据“函数”的定义，分别讨论，和时，满足的条件即可.
【详解】（1）函数是函数，设，
则，
所以存在，使得，所以函数是“函数”.
函数，函数的最小正周期为，函数的图象如图所示，
不妨研究函数在这个周期的图象.
设，则，
所以，
所以函数不是“函数”.
（2）因为是以为最小正周期的周期函数，所以.
假设，则，所以，矛盾.
所以必有.
而函数的周期为1，且显然不是函数.
综上所述，的最小值为1.
（3）当函数是“函数”时，
若，则显然不是函数，矛盾.
若，则，
所以在上单调递增，
此时不存在，使得，
同理不存在，使得，
又注意到，即不会出现的情形，
所以此时不是函数.
当时，设，所以，
所以有，其中，
当时，因为，所以，
所以，
当时，，
因为，所以，
所以.
综上所述，，且.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．