2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.4正余弦定理含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.4正余弦定理含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在△ABC中，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等边三角形
4．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形D．钝角三角形
6．在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不能确定
7．在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
8．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形
9．记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．设的内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
12．在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不能确定
17．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A．B．C．D．
18．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ）
A．B．
C．D．
19．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ）

A．B．C．D．
20．为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（ ）
A．7.32米B．7.07米C．27.32米D．30米
21．湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A．B．C．D．
二、多选题
22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则一定是等边三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
23．设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等边三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则是等边三角形
D．若，则是等边三角形
三、填空题
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b= .
25．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 .
26．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则 .
27．在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是 .
28．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，则角= .
29．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角 ．
30．在中，角所对的边分别为，且满足.角= .
31．已知分别为的内角的对边，且.角 .
32．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则角= .
33．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则角 .
34．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若的面积为，则角= .
35．已知中，，，则 .
36．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B= .
37．在中，，则角= .
38．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则 ．
39．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角 .
40．在中，内角的对边分别为，若，且，则 .
41．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，，角B= .
42．内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 .
43．在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ．
44．已知中，，则 ．
45．在中，内角的对边分别为，且，则的面积为 .
46．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为 .
47．在中，，，，则的外接圆半径为 .
48．已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形外接圆的直径为 .
49．已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为 ．
四、解答题
50．在△ABC中，，B＝45°，解这个三角形．
51．在中，，，，求a，c的值．
参考答案：
1．A
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】由正弦定理得，即，解得.
故选：A.
2．D
【分析】根据三角形的三边的比例关系结合余弦定理，可直接求出角B.
【详解】设，则，
由余弦定理得，
又，所以.
故选：D.
3．A
【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论.
【详解】由，利用正弦定理，，
即,因,则或（不合题意舍去），
故△ABC一定是等腰三角形.
故选：A.
4．D
【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案.
【详解】，
即，故，
，
因为，所以，故，
因为，所以，
故为等腰直角三角形.
故选：D
5．D
【分析】运用二倍角公式及余弦定理即可求得结果.
【详解】因为，，
所以，即，
所以，即，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以为钝角三角形.
故选：D.
6．B
【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得到，再求解即可.
【详解】在中，已知
由正弦定理得，
所以即
又，则，则，
所以所以该三角形为等腰三角形.
故选：B.
7．C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理得，而，
整理得，即，而，
则，因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
8．B
【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可得，即，再由两角差的正弦公式化简，可得，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
即，因为，所以，所以，
因为.所以，
所以的形状为顶角为的等腰三角形.
故选：B.
9．A
【分析】利用余弦定理求得，进而利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】由余弦定理得，即，解得，
所以三角形的面积为.
故选：A
10．A
【分析】由余弦定理先求出，结合同角平方关系求出，再由正弦定理求出外接圆半径为，即可得解．
【详解】因为，，，
所以，
所以，
设的外接圆半径为，
则，则的外接圆的面积．
故选：A．
11．C
【分析】对于①，求出顶点到的距离，再与两边比较大小即查得出结论，对于②，求出顶点到的距离，再与两边比较大小即查得出结论，③，利用正弦定理判断即可，对于④，利用等边对等角求出角判断
【详解】对于①，因为，且，所以三角形有两解；
对于②，因为，且，所以三角形一解；
对于③，，所以三角形有一解；
对于④，，，，则，则，所以三角形无解.
所以满足上述条件的三角形有一解的是②③.
故选：C
12．C
【分析】由正弦定理可得，分析可知关于A的方程：在有两解，结合正弦函数图象分析求解.
【详解】由正弦定理可得，
由题意可知：关于A的方程：在有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，

因为它们有两个不同的交点，所以，所以.
故选：C.
13．A
【分析】利用三角形不唯一的条件进行求解即可.
【详解】因为，则，
要使满足条件的三角形不唯一，则，即.
故选：A.
14．D
【分析】由正弦定理求出，由，且，可得的取值范围.
【详解】由正弦定理可得：，所以，所以，
因为满足条件的有两个，所以，即，所以的取值范围是
故选：D
15．B
【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.
【详解】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
16．C
【分析】求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.
【详解】由正弦定理可得可得，
因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.
故选：C.
17．B
【分析】先利用正弦定理得出的长，再利用直角三角形可求答案.
【详解】在中，则，
因为，
且，
则，
在中，则．
故选：B．
18．B
【分析】由图可知，由正弦定理即可求出BC的值.
【详解】由题意知，，
由正弦定理得，
所以.
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.
故选：B.
19．D
【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案.
【详解】如下图，设钟楼的高度为，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故选：D.

20．A
【分析】画出示意图，结合三角函数的定义和正切展开式求解即可.
【详解】
模型可简化为如上图，在中，，
所以，而，
代入上式并化简可得米，
故选：A.
21．B
【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出来雁塔AB的高度即可.
【详解】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.
故选：B.
22．BCD
【分析】对于A：利用正弦定理得到或，即可判断；对于B：由余弦函数的有界性求出，即可判断；对于C：由余弦定理求出，即可判断；对于D：利用三角公式判断出或，即可得到答案.
【详解】对于A：因为，由正弦定理得：，
所以.
因为，为的内角，所以或，
所以或.所以是等腰三角形或直角三角形.错误；
对于B：由余弦函数的有界性可知：若.
因为，所以或.
当时，有且，所以，
所以是等边三角形.
当时，有且，不符合题意.
所以一定是等边三角形.正确；
对于C：因为，由余弦定理得：，
所以，所以，则一定是等腰三角形.正确；
对于D：在中，，所以
.
所以，
所以，即，所以或.
所以一定是钝角三角形，正确.
故选：BCD
23．BCD
【分析】根据正弦定理及三角函数的图象与性质及导数判断函数单调性，即可判断ABCD的真假.
【详解】A，若，
由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
B，若，
由正弦定理可得：，
∴，
∵，∴，
∴是等边三角形，正确．
C，若，
由正弦定理可得：，∴，
∵，∴，
∴是等边三角形，正确．
D，若，∴，
时，是等边三角形；
时，研究函数的单调性，
，时，，
∴函数在上单调递减，因此不成立．
综上可得：是等边三角形，正确．
故选：BCD．
24．
【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.
【详解】解：因为a=2，A=45°，B=60°，，
所以.
故答案为：.
25．或
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】在中，，
则由正弦定理得，，得，
因为，所以或，
当时，，
当时，
故答案为：或
26．/
【分析】根据给定条件，利用同角公式、和角的正弦公式求出，再利用正弦定理求解即得.
【详解】在中，由，，得，
则，
由正弦定理理，所以.
故答案为：
27．
【分析】先确定最大角和最小角，再根据余弦定理求出角B，最后求出即可.
【详解】设A为的最小角，C为的最大角，由余弦定理可得，
因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是.
故答案为：.
28．/
【分析】先应用余弦定理化简求出边长关系，在应用余弦定理求出角即可.
【详解】因为，在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，则，因为，所以.
故答案为：.
29．
【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，化简整理，可得，根据A、B的范围，即可得答案.
【详解】由正弦定理边化角得，
所以，
因为，所以，
所以，又，
所以.
故答案为：
30．
【分析】根据二倍角以及辅助角公式可得，即可由三角函数的性质求解.
【详解】由，得，
即，即.
又，，
故答案为：
31．
【分析】利用余弦定理进行角化边，最后得到，最后利用正切值求解角度即可.
【详解】在中，由余弦定理得，，代入得，
则，即，
即，因为，但时上式不成立，
所以，所以，则.
故答案为：
32．
【分析】根据二倍角公式可得，进而利用正余弦定理边角互化即可求解.
【详解】因为，所以
所以，，
，．，．
故答案为：
33．
【分析】利用边角互化公式将边化成角，化简分析即可求解.
【详解】，由正弦定理得，
代入得，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
34．
【分析】由三角形面积，结合正余弦定理边角互化可得，即可求解.
【详解】由题，，
故，．，
，，．
故答案为：
35．//60°
【分析】根据正弦定理边化角，结合、化简即可求出csA，由此可求A、B.
【详解】∵，
∴根据正弦定理得，，又，
∴，
∴，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴，
∵A是三角形内角，∴，∴.
故答案为：.
36．/
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理，
即，
又因为，
可得，、
所以，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
故答案为：.
37．
【分析】利用正弦定理边角互化得，即可由余弦定理求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，
即，
由余弦定理，
，.
故答案为：
38．
【分析】利用正弦定理进行角换边，再利用余弦定理和同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】由正弦定理知，所以，
则，又，所以.
故答案为：.
39．
【分析】利用正余弦定理边角互化即可求解.
【详解】由正弦定理角化边可知，，
整理为，即，
由于，所以.
故答案为：
40．1
【分析】根据余弦定理得，即可得，进而可求解.
【详解】因为，两边同时乘以得：，
由余弦定理可得，则，所以有，
又，所以，故，
又因为，所以.
故答案为：1
41．
【分析】根据正余弦定理边角互化,结合三角恒等变换即可求解.
【详解】方法一：由可得，
根据正弦定理边化角得：，
即，所以，
因为，所以，又，所以，
又，所以；
方法二：根据余弦定理：得，
即，
因为，所以，
所以，又，得，
故答案为：
42．1
【分析】由正弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，且,
所以，则.
故答案为：1
43．
【分析】用两种方法表示，求得，代入面积公式中计算即可.
【详解】
因为边BC的中线，，所以，，
，
又，
所以，，
.
故答案为：.
44．
【分析】由余弦定理求出，由同角三角函数的平方关系求出，最后由三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理可得：，
解得：，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
45．
【分析】由正弦定理将角化边可得，再由余弦定理得到，即可求出，再由面积公式计算可得.
【详解】由，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以，
所以的面积为.
故答案为：
46．
【分析】由条件结合正弦定理可得，然后可得，然后可得为等边三角形，即可求出答案.
【详解】因为，所以由正弦定理可得
所以，
因为
所以
因为，则，则，
所以为等边三角形，故的面积
故答案为：
47．
【分析】由正弦定理求解．
【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以．
故答案为：1.
48．/
【分析】不妨设中，，，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得.
【详解】不妨设中，，，
由余弦定理，即，
解得，又，
所以，
由正弦定理，
即这个三角形外接圆的直径为.
故答案为：
49．
【分析】利用正弦定理进行边角互化，进而可得面积之比.
【详解】由，
得，
即，
即，
所以的面积与外接圆的面积之比为，
故答案为：.
50．
【分析】由余弦定理可求出，再由余弦定理即可求出，即可求出.
【详解】根据余弦定理得，，
.
又，
.
51．a=3，c=3
【分析】根据余弦定理可得，根据完全平方公式可得，进而求出，与组成方程组，解之即可.
【详解】由余弦定理，得，
有，得，
由，得，
所以，解得，
所以，解得.
所以.