黑龙江哈尔滨第三中学2023-2024学年高三上学期第四次验收考试数学试题

这是一份黑龙江哈尔滨第三中学2023-2024学年高三上学期第四次验收考试数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．已知，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
3．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（ ）
A．B．C．2D．4
4．若数列满足（且），则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
5．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A．18B．36C．54D．72
7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
8．过椭圆上的任意一点M（不与顶点重合）作椭圆的切线交x轴于点N，O为坐标原点，过N作直线的垂线交直线于点P，则（ ）
A．既没最大值也没最小值B．有最小值没有最大值
C．有最大值没有最小值D．为定值
二、多选题
9．已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．复数，满足，则
B．已知a，b，c，，若，，则
C．复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D．复数z满足，则
10．已知圆锥（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1.若为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ）
A．三角形面积的最大值为2
B．三棱锥体积的最大值
C．四面体外接球表面积的最小值为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11．已知函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象不可能关于y轴对称
C．若最小正周期为，且，则
D．若函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是
三、填空题
12．已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为 .
13．在的展开式中常数项为 .
14．牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为 ；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为 .
四、解答题
15．如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明：
①；②直线，，相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
(2)求点A到平面的距离.
16．已知正项等比数列中，为的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和，求.
17．2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M，N外其他每个路口选择向北和向东的概率均为），直到从n（，2，3，4，5）号出口走出，且从n号出口走出后，会得到一份奖金元.
(1)随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：
根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；
附.
(2)设某位游客获得奖金X元，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？
18．已知，，平面内动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记与的面积分别为和，求的取值范围.
19．若函数的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数的图象的一组“同切点”例如，如图，直线为函数的图象的“自公切线”，，为函数的图象的一组“同切点”.
(1)已知函数在处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；
(2)若，求证：函数，有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，函数，的零点为，求证：为函数的一组同切点.
男性
女性
总计
喜欢走迷宫
14
16
30
不喜欢走迷宫
16
4
20
总计
30
20
50
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
2．A
【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得.
【详解】因为，所以，等价于，
解得.
故选：A
3．D
【分析】由，利用边化角，求解，由面积为，求解，判断选项.
【详解】由，则，
因为sinB>0，,故,
又，所以，
由的面积为，得，解得.
故选：D
4．A
【分析】利用递推数列的性质，找到数列的周期，求出即可.
【详解】因为且，
所以，
所以数列具有周期性，且，所以.
故选：A.
5．C
【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量.
【详解】由题意可知：，
因为，则，
即，可得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
6．B
【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可.
【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：，
若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：，
所以不同的选法总数为: .
故选：B.
7．A
【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项.
【详解】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误;
对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误;
对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误;
利用排除法可以得到，在满足题意，A正确.
故选：A
8．D
【分析】利用导数求得切线斜率以及方程，从而求得点坐标，再结合点到直线的距离公式以及两点之间的距离公式求得，再求乘积即可.
【详解】设，对求导可得：，解得，故方程为：，
即，，又，故方程为：；
令，解得，故；又方程为，故
则，
又，故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数求导求得过点的切线方程，事实上，也可在选填中根据二级结论直接写出方程.
9．AD
【分析】根据共轭复数以及模长公式即可求解A，根据虚数的性质即可求解B，根据复数模长即可根据圆的方程求解C，根据的周期性即可求解D.
【详解】对于A，由于，则，故，故A正确；
对于B，若为虚数，由于虚数不可以比较大小，故B错误，
对于C，设，则，
化简可得，则在复平面内对应中的轨迹为圆，故C错误，
对于D，由得，则，
故，故D正确，
故选：AD．
10．BD
【分析】对于A，判断为钝角，确保取得到，然后由面积公式求解可判断A；对于B，根据可判断B；对于C，利用正弦定理求的外接圆半径，然后可得外接球半径，根据范围可判断C；对于D，作，然后证明平面，可得，可判断D.
【详解】对于A，延迟交底面圆于点，因为，
所以，
在中，由余弦定理得，所以为钝角，
所以，当且仅当时等号成立，
所以三角形面积的最大值为，A错误；
对于B，因为，
所以三棱锥体积为，
当时取得最大值，B正确；
对于C，记四面体外接球半径为，的外接圆半径为，，
因为，为等腰三角形，所以，
因为球心到的距离相等，所以球心在的中垂面上，故球心到平面的距离为，
由正弦定理得，所以,
因为，所以，，
所以四面体外接球表面积，无最小值，C错误；
对于D，作，垂足为，
因为平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
记直线与平面所成角为，则，
又，所以，
当时，取得最大值，D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】代入即可求解A，根据，结合辅助角公式即可求解B，根据二倍角公式即可求解C，根据可得最值点满足，即可列不等式求解D.
【详解】对于A，，由于，所以，A正确，
对于B，，
当时，为偶函数，
其图象关于y轴对称，故B错误，
对于C，最小正周期为，所以，故，
则，
故，即，C正确，
对于D，因为，
令，则，
故
由于在上恰有一个最大值点和一个最小值点，
根据对称可知这两个极值点分别为，
故，解得，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于，利用整体代入法求得的最值点，从而得到关于的不等式，由此得解.
12．
【分析】求出的坐标，求出，根据点O到直线的距离为即可求解.
【详解】因为，，，
所以,
所以，.
所以,
所以.
所以点O到直线的距离为.
故答案为：.
13．81
【分析】
的展开式中通项公式,令，即可得出．
【详解】
的展开式中通项公式：．
的通项公式：．
故的通项为
令，则，；，；，．
因此常数项．
故答案为：．
14． 3 1
【分析】利用给定定义，整理出，求值解决第一空即可，利用求出，进而得到，再确定的最大值即可.
【详解】易知，设切点为，
由切线几何意义得斜率为，故切线方程为，
由给定定义知在该直线上，代入直线得，
当时，易知，故的1次近似值为，
由得，，
，
而函数的零点为，且，
故在上单调递增，且，，
故，由零点存在性定理得，
由题意得，故，而是整数，故，
故答案为：3；1
【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出，求出，得到所要求的参数最值即可．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）选①，易知，从而得平面，再由线面平行的性质定理，即可得；选②，易知与不平行，设，根据点、线、面的位置关系，可证，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可．
【详解】（1）证明：选①，因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以．
选②，因为，是的中点，所以与不平行，
设，则，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又平面平面，所以，
所以直线，，相交于一点．
（2）连接，，
因为与均为正三角形，且是的中点，
所以，，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,0,，,,,，
所以,，故,,，
所以 ,,,,,,，
设平面的法向量为,,，则，
令，则，，所以,1,，
所以点到平面的距离为，
故点与平面的距离为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，进而可求解通项，
（2）根据等比数列求和公式以及裂项求和，结合分组求和即可求解.
【详解】（1）设的公比为，
由且可得：当时，，
当时，，
解得或（舍去），故，
故
（2），
由于，
则数列的前项和
17．(1)能，理由见解析；
(2)分布列见解析，；
(3)400元.
【分析】（1）根据列联表数据算出，对照临界值表即可得出结论；
（2）通过分析到达号门需要向东和向北各走几次即可求出相应概率，从而可得分布列，再由期望公式可得期望；
（3）利用（2）中期望可得每名走迷宫的游客带来的收入期望，然后可解.
【详解】（1）零假设为：假设是否喜欢走迷宫与性别相互独立，
根据表中数据计算得，
所以，根据小概率值的独立性检验，假设不成立，
即喜欢走迷宫与性别有关，此推断犯错误的概率不超过.
男性中喜欢走迷宫的频率为，女性喜欢走迷宫的频率为，
由知，女性喜欢走迷宫频率大约是男性喜欢走迷宫频率的倍.
（2）由题知，的可能取值有，
走到1号门需要向东走1次，向北走5次，或者经过点到达1号门，
走到5号门需要向东走5次，向北走1次，或者经过点到达5号门，
走号门走出需要向东走次，向北走次.
因为每个路口选择向北和向东的概率均为，
所以，，
，，
.
得分布列如下：
所以.
（3）由（2）知，每名走迷宫的游客带来的收入期望为，
所以，100名游客带来的收入期望为元，
即迷宫项目每天收入约为400元.
18．(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）确定向量的坐标，利用，化简即可求曲线的方程；
（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，得韦达定理，根据，利用和差角公式以及斜率公式可得，代入化简即可得即可证得，即可求解定点；
（3）根据，即可根据点线距离得求解.
【详解】（1）设点的坐标为.
由题意，
由，得，
化简得
所求曲线的方程为.
（2）因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、，所以的斜率不为零，
故设直线的方程为
联立方程组，消并整理得，
设，，，，
于是，，，
由于，不妨设直线的斜率为，
则，
所以，即，
进而，
整理得，
将，代入可得，
化简得，
由于，所以，
则直线方程为，
故直线过定点，
（3）由题意可知，则直线方程为，且，
，其中分别为到直线的距离，
所以
代入，，，
由于且，故，
解得或，故，
故.
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为，则直线过定点；若直线方程为(为定值)，则直线过定点
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得.
（3）利用导数说明的单调性，即可得到零点为，则，表示出在处的切线方程，推导出切线恰为即可得证.
【详解】（1）由，则，，
则，
所以函数在处的切线方程为，
即该自公切线方程为.
（2）由恒成立，当且仅当时，
则是上单调递减，可得它至多有一个零点，
令，，
由的图象是连续曲线，且，
因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；
假设的图象存在“自公切线”，则存在且，
使得的图象在与处的切线重合，即，
有，不妨设，
切线，，
有相同截距，即，而，
则，即，
则有，即，令，，
即函数在上单调递增，，因此当时，，
即在上无解，
所以的图象不存在“自公切线”.
（3）由，易知是方程的根，
由，则，则在上单调递减，
则是在上唯一零点，
所以，
由（1）可知在处的切线为，
化简得，
对于，，，
则自公切线为，所以为函数的一组同切点.
【点睛】关键点点睛：对于函数新定义问题关键是准确的理解定义，结合相关数学知识进行推理说明，特别地函数是区间上的可导函数，则曲线在点处的切线方程为：.
2
4
6
8
10