苏科版八年级数学上册必考重难点突破【期中满分冲刺】综合能力拔高卷(考试范围：第1章~第3章)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【期中满分冲刺】综合能力拔高卷(考试范围：第1章~第3章)(原卷版+解析)，共37页。
（考试范围：第1章~第3章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
本卷试题共三个大题，选择题8小题，填空题8小题，简答题10小题；试卷满分120分，应试时间120分钟。
考试范围：苏科版八年级数学上册第1章~第3章
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列冬奥会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处
6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AD，交BC于点E．己知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（ ）
A．1400元B．1500元C．1600元D．1700元
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．下列图形中是全等图形的是__________．（填序号）
10．如图，，若，则______度．
11．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BE边上的点处，若，则∠1＝_______．
12．如图，在中，，点D在BC边上，关于直线AD对称，的角平分线交BC边于点G、连接，当的值等于_______时，为等腰三角形．
13．如图，图①是四边形纸条ABCD，其中，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为 ___________．
14．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于____________．
15．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为___________尺．
16．如图，，，，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论正确的是________．
①；②为等腰三角形；③；④．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-21每小题6分，第22-25每小题8分，第26小题10分）
17．如图，和是对应角，和是对应边．
（1）写出和的其他对应角和对应边；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的长．
18．如图，在直角三角形纸片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD
(1)求△AED的周长；
(2)过点C作△ABC的高，并求出这个高长．
19．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
① 如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
② 如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
20．如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．
(2)在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有 个．
21．如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在∠AOB内部再启动一个方舱式接种点P，请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）．要求同时满足：
①到两条公路OA，OB的距离相等．
②到两村庄C，D的距离相等．
22．如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
23．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
24．在ABC中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)如图1，若ADC是直角三角形，
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且．
①若，求证：DBE≌ACD；
②若ADE是等腰三角形，求CD的长．
25．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）
26．问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【期中满分冲刺】综合能力拔高卷
（考试范围：第1章~第3章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
本卷试题共三个大题，选择题8小题，填空题8小题，简答题10小题；试卷满分120分，应试时间120分钟。
考试范围：苏科版八年级数学上册第1章~第3章
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据“全等形”的定义进行分析判断即可.
A选项中，图形中的三个椭圆不全等，故可以选A；
B选项中，图形中的四个圆是全等的，故不能选B；
C选项中，图形中的两个“到v型图案”是全等的，故不能选C；
D选项中，图形中是三个四边形是全等的，故不能选D.
故选A.
点睛：熟记“全等形”的定义：“两个能够完全重合的图形叫做全等形”是解答本题的关键.
2．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点B关于直线L的对称点C，连接AC交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，所需管道最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．
3．下列冬奥会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可一一判定．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，熟练掌握和运用轴对称图形的识别是解决本题的关键．
4．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
≌，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
≌，
故③符合题意；
④，，，
≌，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使≌的条件有个，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处
【答案】D
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【详解】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，
使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是利用轴对称的性质设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值．
【详解】解：连接PC．
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
∴PA+BP＝AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AD，交BC于点E．己知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的长．
【详解】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．
8．某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（ ）
A．1400元B．1500元C．1600元D．1700元
【答案】B
【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．
【详解】把两地价格看为是两点间的距离，
则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．
∵16002+12002=20002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB是直角，
∵2500＝1600+900，
即AD=AC+CD，
∴A，C，D在一条直线上，
∴∠BCD是直角，
∴BD=＝＝1500，
即B﹣D的机票价格为1500元.
故选B.
【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．下列图形中是全等图形的是__________．（填序号）
【答案】⑤和⑦
【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．
【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形，
故答案为：⑤和⑦．
【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．
10．如图，，若，则______度．
【答案】
【分析】先利用三角形的内角和定理求解 再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．
11．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BE边上的点处，若，则∠1＝_______．
【答案】##36度
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
12．如图，在中，，点D在BC边上，关于直线AD对称，的角平分线交BC边于点G、连接，当的值等于_______时，为等腰三角形．
【答案】10°或25°或40°
【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分别根据GD=GF、DF=GF、DF=DG三种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．
①当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=80°．
∵，
∴，
∴；
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=50°．
∴，
∴；
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=20°，
∴，
∴；
∴当，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．
故答案为：10°或25°或40°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
13．如图，图①是四边形纸条ABCD，其中，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为 ___________．
【答案】108°##108度
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，先求出图②中∠FMB的度数，再根据折叠的性质得到图③中∠BMF和∠EFM的度数，根据平行线的性质即可求出图③中∠CFM的度数，最后用∠CFM-∠EFM即可．
【详解】解：第一次折叠后，
∵∠B′EF＝∠BEF，∠FEM＝24°，
∴∠B′EM＝2∠FEM＝48°，
∵，
∴∠B′EM＝∠FMB＝48°，∠B′EF＝∠EFM＝24°，
第二次折叠后，
∵，
∴∠BMF＝∠FMB″＝48°，∠BMF+∠MFC＝180°，
∴∠MFC＝180°﹣48°＝132°，
∵∠MFC＝∠EFM+EFC，
∴∠EFC＝132°﹣24°＝108°．
故答案为：108°．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
14．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于____________．
【答案】2cm，2cm，2cm
【分析】连接OB，OA，OC，由角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，再证明 结合等面积法进行求解即可．
【详解】解：连接OB，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE＝OF＝OD，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，
∴

由
∴

则OE＝OF＝OD＝2．
即点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2cm，2cm，2cm．
故答案为：2cm，2cm，2cm．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键．
15．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为___________尺．
【答案】
【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得：
则
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
16．如图，，，，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论正确的是________．
①；②为等腰三角形；③；④．
【答案】①③④
【分析】由SAS得△AED≌△AEF，证明△ABF≌△ACD，得出BF=CD；由△AED≌△AEF，得到DE=EF；证明∠EBF=90°，即可解决问题．
【详解】解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=45°=∠DAE，
在△AED与△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
没有条件能证出△AED为等腰三角形，②错误；
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAF=∠DAC；
在△ABF与△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴BF=CD；
∵△AED≌△AEF，
∴DE=EF；
∵BE+BF＞EF，而BF=CD，
∴BE+DC＞DE，③正确；
∵∠EBF=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
即BE2+DC2=DE2，④正确；
综上所述：①③④均正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-21每小题6分，第22-25每小题8分，第26小题10分）
17．如图，和是对应角，和是对应边．
（1）写出和的其他对应角和对应边；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的长．
【答案】（1）其他对应角为和，和；其他对应边为和和；（2）；（3）．
【分析】（1）根据全等三角形的性质，对应角相等，对应边相等，解答即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，运用三角形外角的性质即可解答；
（3）根据全等三角形的性质可得，进一步证明，然后可得．
【详解】（1）其他对应角为：和，和；
其他对应边为：和和；
（2）∵，
∴
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应角相等，对应边相等是解本题的关键．
18．如图，在直角三角形纸片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD
(1)求△AED的周长；
(2)过点C作△ABC的高，并求出这个高长．
【答案】(1)8
(2)画图见解析，
【分析】（1）根据翻折变换的性质可得BE＝BC，DE＝CD，然后求出AE，再求出△ADE的周长＝AC+AE；
【详解】（1）解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴BE＝BC＝8，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝10﹣8＝2，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE，
＝AD+CD+AE，
＝AC+AE，
＝6+2，
＝8，
故△ADE的周长为8；
（2）解：如图所示，CF就是△ABC的高，
，
，
，
【点睛】本题考查了轴对称的性质和等积法求高，解题关键是熟练运用轴对称的性质和等积法解题．
19．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
① 如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
② 如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)90
(2)①α+β=180°；证明见解析；②α=β．
【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；
（2）①易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题；
②易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°即可解题．
【详解】（1）解：∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠DAC+∠CAE=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；
故答案为： 90；
（2）解：①∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=α，∠DAC+∠CAE=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=180°-α，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，
∴α+β=180°；
②作出图形，
∵∠BAD+∠BAE=∠BAC=α，∠BAE+∠CAE=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，
∴α=β．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，三角形内角和定理，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
20．如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．
(2)在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有 个．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据要求利用轴对称的性质作图即可；
（2）根据要求利用轴对称的性质作图即可．
【详解】（1）如图，线段MN即为所作．（答案不唯一）．
（2）如图，与关于直线对称；
如图，与关于直线对称；
如图，与关于直线对称；
如图，与关于直线对称；
综上可知符合条件的三角形共有4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换．掌握轴对称的性质是解题关键．
21．如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在∠AOB内部再启动一个方舱式接种点P，请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）．要求同时满足：
①到两条公路OA，OB的距离相等．
②到两村庄C，D的距离相等．
【答案】见详解
【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线OF，OF交MN于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，属于中考常考题型．
22．如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【答案】74cm
【分析】过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，根据含30度角的直角三角形的性质可得cm, 同理可得，BF＝31cm，然后结合图形即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝×62＝31（cm），
同理可得，BF＝31cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，
∴31+12+31＝74（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
23．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)直角三角形，见解析
(3)125°，或140°，或110°
【分析】（1）根据旋转后，图形不变，，，根据等边三角形的判定定理，即可证明是等边三角形；
（2）根据旋转后，图形不变，，根据是等边三角形，得，得，即可证明的形状；
（3）根据是等腰三角形，依次讨论，，；根据等边对等角，进行讨论，求出的度数，即可．
【详解】（1）∵绕点按顺时针方向旋转得
∴，
∴是等边三角形．
（2）∵是由旋转后得到的
∴
∵是等边三角形
∴
∵
∴
∴是直角三角形．
（3）∵是由旋转后得到的
∴
∴
∵是等边三角形
∴，
∴
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
∵是等腰三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴当为、、时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握旋转后图形大小不变，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．
24．在ABC中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）．
(1)如图1，若ADC是直角三角形，
①当AD⊥BC时，求AD的长；
②当AD⊥AC时，求CD的长．
(2)如图2，点E在AB上（不与点A，B重合），且．
①若，求证：DBE≌ACD；
②若ADE是等腰三角形，求CD的长．
【答案】(1)①6；②
(2)①见解析；②或
【分析】（1）①过A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可知，再由勾股定理计算AD的长即可；②过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H，在和中借助勾股定理计算DH的长，然后由计算AD的长即可；
（2）①由、，可知，即有，然后在根据即可证明△DBE≌△ACD；②由可知，若△ADE是等腰三角形，则或，然后分两种情况讨论，分别计算CD的长即可．
【详解】（1）解：①如图3，过A作AD⊥BC于点D，
∵，，
∴，
∴；
②如图4，过点A作AD⊥AC交BC于点D，过点A作AH⊥BC交BC于点H，
由（1）得，，
由勾股定理可知，，
∴，
解得，
∴；
（2）
①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴△DBE≌△ACD（ASA）；
②∵，
若△ADE是等腰三角形，则或，
当时，则，
∵△DBE≌△ACD，
∴，；
当，如图5，
则，，
在中，，即，
解得，．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质，并运用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
25．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）
【答案】（1）AC＝200海里，海里；（2）巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险，理由见解析．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，再由列式求解即可．
（2），求出DF的长，再与100比较即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，
∴∠BCE=∠EBC=45°，
∴BE=EC，
∴AC=2AE
设AE＝x海里，则AC=2x海里，
在Rt△AEC中，海里，
∴海里，
∴海里，
∴，
解得：x＝100，
∴AC＝2x＝200海里．
∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°
过点D作DF⊥AC于点F，
∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，
∴AD=2AF，DF=FC
设AF＝y，则AD＝2y，
∴，
∵海里
∴y＋y＝200，
解得：，
∴海里；
（2）由（1）得
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【点睛】本题考查的勾股定理的应用−航海问题，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
26．问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】(1)△BCD；
(2)3
(3)或2或或18．
【分析】（1）根据互补三角形的定义即可判断．
（2）根据互补三角形可得BE=FE，BC=FC，在Rt△FDC中用勾股定理可计算出FD的长度，进而得到AF的长，然后设AE=x，则BE=EF=8-x，然后用勾股定理列方程计算即可；
②分四种情形：如图4-1中，当BE=AF时．如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合．如图4-3中，当BE=AF时．如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠A+∠D=180°，
∴则△ABC关于的互补三角形是△BCD，
故答案为：△BCD；
（2）
∵与是关于互补三角形，
∴BE=FE，BC=FC，
在长方形中，，，
∴CD=AB=8，CB=CF=10，
∴DF=,
∴AF=AD-DF=4，
设AE=x，则BE=EF=8-x，
∴，解得,
∴AE=3；
（3）
如图4-1中，当BE=AF时，设AE=x，连接EF．
∵BE=EP=AF，EF=EF，∠EAF=∠FPE=90°，
∴Rt△EAF≌Rt△FPE（HL），
∴PF=AE=x，
在Rt△DCF中，DF=10-（8-x）=2+x，CD=8，CF=10-x，
∴（10-x）2=82+（2+x）2，
解得x=，
∴AE=
如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合，可得AE=BE-AB=10-8=2．
如图4-3中，当BE=AF时，设AE=x，
同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，则有（10+x）2=82+（18-x）2，
解得x=，
∴AE=，
如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，此时AE=AB+BE=AB+BC=18．
综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．