中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题02实数(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题02实数(原卷版+解析)，共32页。


【知识要点】
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
考查题型一 算术平方根的相关计算
【解题思路】了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例1．(2023·四川泸州·中考真题）（ ）
A．B．C．D．2
变式1-1．(2023·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
变式1-2．(2023·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
变式1-3．(2023·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
变式1-4．(2023·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
易错点总结：
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， −a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
【扩展】
考查题型二 平方根的相关计算
【解题思路】了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例2．(2023·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．16
变式2-1．(2023·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9B．9和﹣9C．3D．3和﹣3
变式2-2．(2023·河北石家庄·模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
易错点总结：
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±na；０的偶次方根为０：n0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
考查题型三 立方根的相关计算
【解题思路】了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例3．．(2023·江苏淮安·中考真题）27的立方根为_____．
变式3-1．(2023·湖北荆门·中考真题）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝_____．
变式3-2(2023·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5B．2.6C．2.8D．2.9
变式3-3（选做）．(2023·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
变式3-4．(2023·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式3-5．(2023·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
易错点总结：
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
【扩展】有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
考查题型四 无理数的判断
【解题思路】掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。典例4．(2023·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．2
变式4-1．(2023·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式4-2．(2023·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
变式4-3．(2023·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
易错点总结：
考查题型五 无理数的估值
【解题思路】得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
典例5．(2023·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．5到6之间C．4到5之间D．3到4之间
变式5-1．(2023·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．B．C．D．π
变式5-2．(2023·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．(2023·四川绵阳·中考真题）正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4B．8C．9D．16
变式5-4．(2023·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
变式5-5．(2023·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
变式5-6．(2023·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
变式5-7．(2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
易错点总结：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考查题型六 实数的分类
典例6．(2023·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．(2023·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cs30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式6-2．(2023·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A．B．C．2D．
易错点总结：
考查题型七 实数的性质
【解题思路】熟练掌握实数的相关性质。
典例7(2023·湖北黄石·中考真题）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
变式7-1．(2023·湖北鄂州·中考真题）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9B．+9C．D．﹣
变式7-2．(2023·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．
易错点总结：
考查题型八 实数与数轴
【解题思路】熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。典例8(2023·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
变式8-1．(2023·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A．点AB．点NC．点PD．点Q
变式8-2．(2023·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式8-3．(2023·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A．B．C．D．
变式8-4．(2023·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5B．4C．7D．8
变式8-5．(2023·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
变式8-6．(2023·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
易错点总结：
考查题型九 比较实数的大小
【解题思路】理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。典例9(2023·四川达州·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．-2C．1D．
变式9-1．(2023·四川雅安·中考真题）在﹣，1，，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣B．1C．D．3
变式9-2．(2023·贵州安顺·中考真题）下列实数中，比－5小的数是（ ）
A．－6B．C．0D．
变式9-3．(2023·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
变式9-4．(2023·山东临沂·中考真题）比较大小：______（填写“”或“<”或“＝”）．
易错点总结：
考查题型十 实数的运算
【解题思路】掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。
典例10(2023·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
变式10-1．(2023·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式10-2．(2023·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
变式10-3．(2023·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
变式10-4．(2023·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
变式10-5．(2023·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
变式10-6．(2023·辽宁阜新·中考真题）计算：______．
变式10-7．(2023·湖北黄石·中考真题）计算：____________．
变式10-8．(2023·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
变式10-9．(2023·新疆·中考真题）计算：
变式10-10．(2023·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
易错点总结：
专题02 实数
【热考题型】
【知识要点】
知识点一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
考查题型一 算术平方根的相关计算
【解题思路】了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例1．(2023·四川泸州·中考真题）（ ）
A．B．C．D．2
【详解】解：-2，故选A．
变式1-1．(2023·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
【详解】解：，故选：D．
变式1-2．(2023·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
【详解】解：由题意知，m，n满足，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，∴m=3，n=-2，∴，
故答案为：7．
变式1-3．(2023·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，
当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
变式1-4．(2023·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
【详解】解：∵，∴解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．
平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， −a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
【扩展】
考查题型二 平方根的相关计算
【解题思路】了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例2．(2023·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．16
【详解】∵（±2 ）2=4，∴4的平方根是±2，故选A．
变式2-1．(2023·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9B．9和﹣9C．3D．3和﹣3
【详解】解：∵=9，∴的平方根是，故选D．
变式2-2．(2023·河北石家庄·模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
【详解】∵一个正数的平方根是2a-1和-a+2，∴2a-1-a+2=0．解得：a=-1．
∴2a-1=-3．∴这个正数是9．故选：D．
知识点二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±na；０的偶次方根为０：n0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
考查题型三 立方根的相关计算
【解题思路】了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例3．．(2023·江苏淮安·中考真题）27的立方根为_____．
【详解】解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．
变式3-1．(2023·湖北荆门·中考真题）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝_____．
【详解】解：+cs60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案为：﹣1．
变式3-2(2023·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5B．2.6C．2.8D．2.9
【详解】∵，∴与最接近的是2.6，故选B．
变式3-3（选做）．(2023·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
【详解】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；
B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；
C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；
D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D不符合题意；
故选：B．
变式3-4．(2023·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵，又∵，∴故选：C．
变式3-5．(2023·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且

当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
【扩展】有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
考查题型四 无理数的判断
【解题思路】掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。
典例4．(2023·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．2
【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数，故选： C．
变式4-1．(2023·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【详解】解：在，，，，2022这五个数中无理数为和，共2个．
故选：A．
变式4-2．(2023·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
【详解】解：，是无理数，（恰好是无理数）．故答案为：．
变式4-3．(2023·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
【详解】解：∵2=，∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．
考查题型五 无理数的估值
【解题思路】得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
典例5．(2023·重庆·中考真题）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．5到6之间C．4到5之间D．3到4之间
【详解】解：∵49<54<64，∴，∴，即的值在3到4之间，故选：D．
变式5-1．(2023·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．B．C．D．π
【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间，
A.，故本选项不符合题意；
B. ，故此选项符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项不符合题意；
故选：B
变式5-2．(2023·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜1＜2，∴＜＜1，故选：C．
变式5-3．(2023·四川绵阳·中考真题）正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4B．8C．9D．16
【详解】解：，，，，．
故选：D．
变式5-4．(2023·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【详解】，，，，，
故选：A．
变式5-5．(2023·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
变式5-6．(2023·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【详解】解：∵，是大于1的整数，
∴．∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
变式5-7．(2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
【详解】∵，∴，即，
∵，∴，，∴，故答案为：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考查题型六 实数的分类
典例6．(2023·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，
故选C．
变式6-1．(2023·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cs30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B．
变式6-2．(2023·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（ ）
A．B．C．2D．
【详解】解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数故选D．
考查题型七 实数的性质
【解题思路】熟练掌握实数的相关性质。
典例7(2023·湖北黄石·中考真题）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵>1，∴｜｜＝，故选：B．
变式7-1．(2023·湖北鄂州·中考真题）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9B．+9C．D．﹣
【详解】解：实数9的相反数是-9，故选A．
变式7-2．(2023·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
考查题型八 实数与数轴
【解题思路】熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。
典例8(2023·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【详解】∵数轴上的点A表示的数是−1，∴点A关于原点对称的点表示的数为1，故选：C．
变式8-1．(2023·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A．点AB．点NC．点PD．点Q
【详解】∵，∴观察数轴，点P符合要求，故选：C．
变式8-2．(2023·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】ABC.根据数轴上点a、b的位置可知，，，∴，故AB错误，C正确；根据数轴上点a、b的位置可知，，故D错误．故选：C．
变式8-3．(2023·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A．B．C．D．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得c＜0＜d，
A、，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、，原结论错误，故此选项不符合题意；
C、∵c＜0＜d，且，∴，原结论正确，故此选项符合题意；
D、∵c＜0＜d，且，∴，原结论错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
变式8-4．(2023·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．﹣5B．4C．7D．8
【详解】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．
变式8-5．(2023·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
变式8-6．(2023·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
考查题型九 比较实数的大小
【解题思路】理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。
典例9(2023·四川达州·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．-2C．1D．
【详解】解：∵，∴最小的数是，故选B．
变式9-1．(2023·四川雅安·中考真题）在﹣，1，，3中，比0小的数是（ ）
A．﹣B．1C．D．3
【详解】解：∵﹣<0<<1<3∴在﹣，1，，3中，比0小的数是﹣．故选：A．
变式9-2．(2023·贵州安顺·中考真题）下列实数中，比－5小的数是（ ）
A．－6B．C．0D．
【详解】解：∵．∴比－5小的数是-6．故选A
变式9-3．(2023·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或3
变式9-4．(2023·山东临沂·中考真题）比较大小：______（填写“”或“<”或“＝”）．
【详解】解：，，∵12>13，．故答案为：．
考查题型十 实数的运算
【解题思路】掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。
典例10(2023·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【详解】解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
变式10-1．(2023·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【详解】解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
变式10-2．(2023·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
变式10-3．(2023·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【详解】解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
变式10-4．(2023·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【详解】解：∵输出y的值是2，∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件
故答案为：1
变式10-5．(2023·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【详解】解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
变式10-6．(2023·辽宁阜新·中考真题）计算：______．
【详解】解：原式．故答案为：．
变式10-7．(2023·湖北黄石·中考真题）计算：____________．
【详解】解：原式＝．故答案为：3．
变式10-8．(2023·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【详解】解：原式＝当时，原式
变式10-9．(2023·新疆·中考真题）计算：
【详解】解：原式．
变式10-10．(2023·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．
【提示】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案．
【详解】(1)解：∵，
∴357不是15“和倍数”；
∵，
∴441是9的“和倍数”．
(2)
∵三位数A是12的“和倍数”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数，
∴，
∵为整数，
设（k为整数），
则，
整理得：，
根据得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k为整数，
∴或，
当时，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
当，，时，组成的三位数为或，
∵，
∴不是12的“和倍数”，
∵，
∴不是12的“和倍数”；
当时，，
∵，
∴，
，，，组成的三位数为516或156，
∵，
∴是12的“和倍数”，
∵，
∴是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．