中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题29阿基米德折弦定理(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题29阿基米德折弦定理(原卷版+解析)，共44页。

如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。
证明过程：
（方法一：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使AE=BC,连接AM、EM、BM、CM
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC
在△AEM和△CBM中
AM=MC
∠EAM=∠BCM(同弧所对的圆周角相等)
AE=BC
∴△AEM≌△CBM ∴EM=BM
又∵MD⊥BE ∴DE=DB
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法二：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
则EM=BM ∠BEM=∠MBE
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∴∠MAC=∠MCA
∵∠MCA=∠MBA ∴∠AMC=∠EMB 则∠AME=∠BMC
在△AEM和△CBM中
AM=MC
∠AME=∠BMC
EM=BM
∴△AEM≌△CBM ∴AE=BC
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法三：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
延长EM交圆O于点F，连接AF、FC
则EM=BM 而∠BAF=∠BMF ∴∠MBE=∠MEB=∠AEF=∠AFE
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∠MFC=∠MBA
∴∠MEB=∠MFC 则AB∥FC
∴BC=AF=AE则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法四：截长补短法-补短）
延长AB至点E，使BE=BC
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∠MAC=∠MBA
∵∠MBC+∠MAC=180° ∠MBA+∠MBE=180°
∴∠MBC=∠MBE
在△MBC和△MBE中
MB=MB
∠MBC=∠MBE
BE=BC
∴△MBC ≌△MBE ∴MC=ME 而AM=MC ∴AM=ME
又∵MD⊥AE ∴AD=DE
则AD=DE=DB+BE=DB+BC
（方法五：截长补短法-补短）(仅思路)
过点M作BC垂线交BC延长线于点E，并连接AM、BM、CM
∵MD⊥AB ME⊥EC ∴∠MDA=∠MDB=∠MEC=90°
而AM=MC ∠MAB=∠MCB ∴△MAD ≌△MCE ∴MD=ME AD=CE
∴△MDB ≌△MEB ∴BE=DB
则AD=EC=BE+BC=DB+BC
（方法六：截长补短法-补短）(仅思路)
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
延长BC至点F，使AB=BF,则∠BAF=∠BFA，连接AF交圆O于点G,连接CG
∵∠ABC=∠AMC AMMC=ABBF ∴△AMC∽ △ABF ∴∠MAC=∠BAF ∴∠CAG=∠BAM 则BM=CG
又∵∠MAC=∠MBA ∠BAF=∠BFA ∴∠MBE=∠BFA
又∵∠BCG+∠GCF=180°∠BCG+∠BAG=180° ∴∠GCF=∠BAG ∴∠GCF=∠MEB
∴△BME ≌△FGC ∴BE=CF 而AB=BF ∴AE=BC
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
或AB-BC=BF-BC=CF=BE=2DB
（方法七：作辅助圆法）(仅思路)
连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE
在⊙O中，∠ABC=∠AMC
在⊙M中，∠AMC=2∠AEC
∴∠ABC=2∠AEC 又∵∠ABC=∠BCE+∠BEC
∴∠BCE=∠BEC 则BC=BE
∵在⊙M中DM⊥AE ∴AD=DE
则AD=DE=DB+BE=BC+DB
【培优过关练】
1．阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BC>AB)，点M是ABC上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=6，AB=4，则AE的长为( )
A．52B．94C．125D．135
2．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝_____°．
3．阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC>AB．M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN=AB，连接MA，MB，MC，MN．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC
任务：
(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：MC2−MB2=BC⋅AB．
4．阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC>AB，M是ABC的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“补短法”证明CD=AB+BD的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F，使BF=BA，连接MF，AB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】如图③，△ABC内接于⊙O，已知AB=AC=22，D为AC上一点，连接AD，DC，∠ABD=45°，∠CBD=15°，求△ABC的周长．
5．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是弦⊙O的一条折弦），BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD，下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接，，MC和MG.
是弧ABC的中点，
∴MA=MC，
……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3，△ABC内接于⊙O，BC>AB>AC，D是弧ACB的中点，DE⊥BC于点E，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为弧AB上一点，连接DB，∠ACD=45°，AC=6，，求△BDC的周长.
6．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接、、MC和MG．
是ABC的中点，
，
又∵∠A=∠C，，
∴△MAB≅△MCG，
，
又∵MD⊥BC，
∴BD=DG，
即CD=DB+BA．

(1)【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=4，BC=6，点M是ABC的中点，于点D，则BD= ；
(2)【变式探究】如图3，若点M是AC的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半径为5，则AD＝ ．
7．【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、组成折线段．若点P在折线段上，MP=PQ+QN，则称点P是折线段的中点．
(1)如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO=30°，则PB= ；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线段ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC的中点，从M向BC作垂线，垂足为D，求证：D是折弦ABC的中点；
【变式探究】
(3)如图4，若点M是AC的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
(4)如图5，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一定点，点D为⊙O上一动点，且满足∠DAB=45°，若AB=8，BC=10，则AD= ．
8．【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、组成折线段．若点P在折线段上，MP=PQ+QN，则称点P是折线段的中点．
【理解应用】
（1）如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO=30°，则PB=______；
【定理证明】
（2）阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线段ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC的中点，从M向BC作垂线，垂足为D，求证：D是折弦ABC的中点；
【变式探究】
（3）如图4，若点M是AC的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
（4）如图5，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一定点，点D为⊙O上一动点，且满足∠DAB=45°，若AB=8，BC=10，则AD=______________．
9．请阅读下面材料，并完成相应的任务；
阿基米德折弦定理
阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是ABC的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC上一点，∠ABD=15°，于点E，CE=2，连接AD，则△DAB的周长是______．
10．【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是ABC的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
① ，
② ，
③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是ABC的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是AC的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
11．阅读材料，并完成相应任务．
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，点M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．
(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“CD=DB+BA”，于是他在CD上截取CE=AB，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；
(2)如图3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=3，AC=7，则AE的长度为_______．
12．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是ABC的中点，∴MA＝MC，…
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边△ABC内接于⊙O，AB = 8，D为AC上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长．
13．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG
∵M是ABC的中点，
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是AB的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为42+2，BC=2，请求出AC的长．
14．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是ABC的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
专题29 阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。
证明过程：
（方法一：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使AE=BC,连接AM、EM、BM、CM
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC
在△AEM和△CBM中
AM=MC
∠EAM=∠BCM(同弧所对的圆周角相等)
AE=BC
∴△AEM≌△CBM ∴EM=BM
又∵MD⊥BE ∴DE=DB
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法二：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
则EM=BM ∠BEM=∠MBE
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∴∠MAC=∠MCA
∵∠MCA=∠MBA ∴∠AMC=∠EMB 则∠AME=∠BMC
在△AEM和△CBM中
AM=MC
∠AME=∠BMC
EM=BM
∴△AEM≌△CBM ∴AE=BC
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法三：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
延长EM交圆O于点F，连接AF、FC
则EM=BM 而∠BAF=∠BMF ∴∠MBE=∠MEB=∠AEF=∠AFE
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∠MFC=∠MBA
∴∠MEB=∠MFC 则AB∥FC
∴BC=AF=AE则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法四：截长补短法-补短）
延长AB至点E，使BE=BC
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∠MAC=∠MBA
∵∠MBC+∠MAC=180° ∠MBA+∠MBE=180°
∴∠MBC=∠MBE
在△MBC和△MBE中
MB=MB
∠MBC=∠MBE
BE=BC
∴△MBC ≌△MBE ∴MC=ME 而AM=MC ∴AM=ME
又∵MD⊥AE ∴AD=DE
则AD=DE=DB+BE=DB+BC
（方法五：截长补短法-补短）(仅思路)
过点M作BC垂线交BC延长线于点E，并连接AM、BM、CM
∵MD⊥AB ME⊥EC ∴∠MDA=∠MDB=∠MEC=90°
而AM=MC ∠MAB=∠MCB ∴△MAD ≌△MCE ∴MD=ME AD=CE
∴△MDB ≌△MEB ∴BE=DB
则AD=EC=BE+BC=DB+BC
（方法六：截长补短法-补短）(仅思路)
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
延长BC至点F，使AB=BF,则∠BAF=∠BFA，连接AF交圆O于点G,连接CG
∵∠ABC=∠AMC AMMC=ABBF ∴△AMC∽ △ABF ∴∠MAC=∠BAF ∴∠CAG=∠BAM 则BM=CG
又∵∠MAC=∠MBA ∠BAF=∠BFA ∴∠MBE=∠BFA
又∵∠BCG+∠GCF=180°∠BCG+∠BAG=180° ∴∠GCF=∠BAG ∴∠GCF=∠MEB
∴△BME ≌△FGC ∴BE=CF 而AB=BF ∴AE=BC
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
或AB-BC=BF-BC=CF=BE=2DB
（方法七：作辅助圆法）(仅思路)
连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE
在⊙O中，∠ABC=∠AMC
在⊙M中，∠AMC=2∠AEC
∴∠ABC=2∠AEC 又∵∠ABC=∠BCE+∠BEC
∴∠BCE=∠BEC 则BC=BE
∵在⊙M中DM⊥AE ∴AD=DE
则AD=DE=DB+BE=BC+DB
【培优过关练】
1．阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为( )
A．B．C．D．
答案:A
分析：延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，从而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性质列式可求BE的长度，从而可求得AE的长度．
【详解】解：延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，如图，
∵BC为⊙O的直径， MD⊥BC于点D，
∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM
又∠BMF=∠FAB
∴∠BFM=∠FAB
∴∠BFE=∠FAB
∵∠EBF=∠FBA
∴△BFA∽△BEF
∴
即
∴BE=
∴AE=4-=
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理及三角形相似的判定和性质，解题的关键是准确做出辅助线，得出三角形相似．
2．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝_____°．
答案:60°．
分析：连接OA、OC、OE，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E为弧ABC的中点，即,进而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，则∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.
【详解】解：如图2，连接OA、OC、OE，
∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，
∴AD＝7，BD+BC＝7，
∴AD＝BD+BC，
而ED⊥AB，
∴点E为弧ABC的中点，即，
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，
∴∠AOE＝∠COE＝120°，
∴∠CAE＝∠COE＝60°．
故答案为60°．
【点睛】本题是新定义型题，考查了圆周角定理及推论，解本题的关键是掌握题中给出的关于阿基米德折弦定理的内容并进行应用.
3．阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：
(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）首先证明，进而可得，即可得到解答；
（2）由（1）可知，，整理等式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接，
∵是的中点，
∴
在和中，
∴，
∴
∵，
∴
∴ ；
（2）证明：在中，，
在中，，
由（1）可知， ，
∴
；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
下面是运用“补短法”证明的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长．
答案:[定理证明]见解析；[问题解决]
分析：[定理证明] 证明，则，再证明，则，可得；
[问题解决]过点A作交于E，可得为等边三角形，则，根据阿基米德折线定理，，即可求的周长为．
【详解】[定理证明]证明：∵M是的中点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
[问题解决] 解：过点A作交于E，
∵，，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
根据阿基米德折线定理，，
∴的周长为．
【点睛】本题考查圆的综合应用，理解阿基米德折线定理，熟练掌握圆的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
5．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程
证明：如图2，在上截取，连接，，和
是弧的中点，
∴，
……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.
答案:(1)见解析
(2)
(3)
分析：（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可证明结论；
（2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论；
（3）过点作，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．
是的中点，
．
在和中
，
，
，
又，
，
．
（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为
故答案为：．
（3）解：如图所示，过点作，
由阿基米德折弦定理得：，
∵
∴
∴，
∴的周长为
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”是解答本题的关键．
6．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．

(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ．
答案:(1)1
(2)；证明见解析
(3)或
分析：（1）由“问题呈现”结论可求解；
（2）在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，即，
，
，
．
（2）解：．
证明：在上截取，连接、、、，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即．
（3）解：如图，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为5，
，
，
，
，
．
当点在上方时，，同理易得．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键．
7．【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则 ；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】
(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则 ．
答案:(1)3
(2)见解析
(3)
(4)或
分析：（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可；
（2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点；
（3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到；
（4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出．
【详解】（1）解：是的切线，为切点，
，
，
，，
，
，
是折线段的中点，
，
故答案为：3；
（2）证明：在上截取，连接、、、，
点是的中点，
，
，
（SAS），
，
，
，
，
是折弦的中点；
（3）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接、、、，
点是的中点，
，
，
（SAS），
，
，
，
，
；
（4）解：是的直径，
，
，，
，
当点在上时，如图，
，
，
过点作交于点，
，
，
；
当点在上时，如图，，
过点作交于点，
，
，
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键．
8．【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
【理解应用】
（1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则______；
【定理证明】
（2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】
（3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则______________．
答案:（1）3；（2）证明见解析；（3）；（4）或
分析：（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可；
（2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点；
（3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到；
（4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出．
【详解】解：（1）是的切线，为切点，
，
，
，，
，
，
是折线段的中点，
，
故答案为：3；
（2）证明：在上截取，连接、、、，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是折弦的中点；
（3），理由如下：
在上截取，连接、、、，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）是的直径，
，
，，
，
当点在上时，如图5，
，
，
过点作交于点，
，
，
；
当点在上时，如图6，，
过点作交于点，
，
，
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键．
9．请阅读下面材料，并完成相应的任务；
阿基米德折弦定理
阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是的中点，
∴．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为上一点，，于点E，，连接AD，则的周长是______．
答案:（1）见解析；（2）．
分析：（1）先证明，进而得到，再证明，最后由线段的和差解题；
（2）连接CD，由阿基米德折弦定理得，BE=ED+AD，结合题意得到，由勾股定理解得，据此解题．
【详解】证明：（1）是的中点，
在与中，
与中，
；
（2）如图3，连接CD
等边三角形ABC中，AB=BC
由阿基米德折弦定理得，BE=ED+AD
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
① ，
② ，
③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
答案:（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7或．
分析：（问题呈现）根据圆的性质即可求解；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；
（变式探究）证明△MAB≌△MGB（SAS），则MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，则DC＝DG，即可求解；
（实践应用）已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
【详解】（问题呈现）
①相等的弧所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
（变式探究）DB＝CD+BA．
证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB
∴△MAB≌△MGB（SAS）
∴MA＝MG
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
AB+DC＝BG+DG，
即DB＝CD+BA；
（实践应用）
如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．
因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．
已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
则CG1′+AB＝AG1，
所以AG1＝（6+8）＝7．
所以AD1＝7．
如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
所以AD的长为7或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧.
11．阅读材料，并完成相应任务．
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“”，于是他在CD上截取，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；
(2)如图3，在中，，，若，则AE的长度为_______．
答案:(1)见详解
(2)2
分析：（1）正确解读题意，证，即可证明；
（2）根据（1）的思路即可求解；
【详解】（1）解：在中
∵点M是的中点
在和中
（2）如图，在BC上截取，连接MB，MA，MD，MC．
在中
∵
在和中
，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查圆的性质、三角形的全等，掌握相关知识，正确解读题意是解本题的关键．
12．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
答案:(1)见解析
(2)3
(3)8+8
分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE；
（3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=AB=4，
则△BDC的周长=2BE+BC=8+8．
故答案为：8+8．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
13．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG
∵M是的中点，
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为上一点，连接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4+2，BC=2，请求出AC的长．
答案:(1)见解析;(2)4
分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；
（3）根据阿基米德折弦定理得出CE=BD+DE，进而求出CE，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
实践应用
（1）BE=CE+AC；
（2）根据阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE，
∵△BCD的周长为4+2，
∴BD+CD+BC=4+2，
∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2，
∵BC=2，
∴CE=2，
在Rt△ACE中，∠ACD=45°，
∴AC=CE=4．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理解题关键．
14．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
答案:(1)详见解析；（2）2+2．
【详解】试题分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
试题解析：（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
∵，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE==，
则△BDC的周长是2+2．