中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题30圆幂定理(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题30圆幂定理(原卷版+解析)，共44页。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角读数。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质与比例线段相关。
相交弦定理模型：如左图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P,则AP•DP=BP•CP
证明：如中图，连接AB、CD
在△APB和△CPD中
∠1=∠2（同弧所对圆周角相等） ∴△APB∽△CPD ∴APCP=BPDP 则AP•DP=BP•CP
∠3=∠4
【进阶】如右图，OP所在直线与⊙O交于M、N两点，r为⊙O的半径，则
AP•DP=BP•CP=MP•NP=(r-OP)( r+OP)= r2−OP2
割线定理模型：若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则AP•BP=CP•DP
?].’=
证明（方法一）：如中图，连接AC、BD
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180° ∴∠1=∠3
在△APC和△DPB中∠1=∠3，∠P=∠P ∴△APC∽△DPB ∴APDP=CPBP 则AP•BP=CP•DP
证明（方法二）：如右图，连接AD、BC
在△PAD和△PCB中∠PAD=∠PCB（∠1=∠2），∠P=∠P ∴△PAD∽△PCB ∴APCP=DPBP 则AP•BP=CP•DP
【进阶】若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PMN，
且割线PMN经过圆心，r为⊙O的半径，则
AP•BP =MP•NP=(OP-r)( OP+r)= OP2-r2
弦切角定理模型：线段AB切⊙O于点B，线段BC、CD为⊙O的弦，则∠1=∠2=12∠3
证明：连接OB、OD，则∠4=∠5
∵线段AB切⊙O于点B ∴∠1+∠4=90°
∵∠3+∠4+∠5=180° ∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2
∴∠2+∠4=90° ∴∠1=∠2 则∠1=∠2=12∠3
切割线定理模型：如右图，线段ADC是⊙O的一条割线，AB是⊙O的一条切线，
切点为点B，则AB2=AD•AC
证明：∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB ∴ABAC=ADAB 则AB2=AD•AC
【能力培优练】
1．如图，PA切⊙O于点，PBC是⊙O的一条割线，且PA=23，BC=2PB，那么PB的长为( )
A．2B． 6C．4D．26
2．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为________．
3．弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；
②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；
试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：
若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
4．圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？
下面是证明的开头：
已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C．
求证：PA2＝PB•PC
证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO，
因为PA切⊙0于点A，
∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．
阅读以上材料，完成下列问题：
(1)补充完成上面的证明过程；
(2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长．
5．在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，则b叫做a和c的比例中项）
(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是圆O外一点，AB是圆O的切线，直线ACD为圆O的割线．
求证：
证明：
(2)已知AC=2，CD=4，则AB的长度是 ．
6．复习巩固
切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
阅读材料
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程
已知：如图2，A是⊙O外一点， ．
求证：
[提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE．
7．阅读下列材料，完成相应任务：
任务：
(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长与⊙O交于点B、C，∠P=∠BAD，BC=8，AP=3BP，连接CD．
①CD与AP的位置关系是 ．
②求BD的长．
8．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系．
如图1，P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于点B（即PA是⊙O的割线），则PT2=PA⋅PB．
下面是切割线定理的证明过程：
证明：如图2，连接TO并延长，交⊙O于点C，连接BC．
∵PT切⊙O于点T，
∴∠CTP=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵CT是⊙O的直径，
……
(1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程；
(2)在图1中，已知AB=6，PB=5，则PT=______，ATTB=______．
9．读下面材料，并完成相应的任务
学习任务：
如图，若线段AB与⊙O相交于C，D两点，且，射线AB，BF为⊙O的两条切线，切点分别为E，F，连接CF．
(1)求证：AE=BF；
(2)若BF=6，CD=2BD，∠FBC=60°，求△BCF的面积．
10．我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过⊙O外一点P作⊙O的两条割线，一条交⊙O于A、B点，另一条交⊙O于C、D点．
求证：PA⋅PB=PC⋅PD．
证明一：连接AD、BC，
∵∠A和∠C为BD所对的圆周角，∴______．
又∵∠P=∠P，∴______，∴______．
即PA⋅PB=PC⋅PD．
研究后发现，如图②，如果连接AC、BD，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接AC、BD，
11．如图，P是⊙O外一点，割线POB与⊙O相交于A、B，切线PC与⊙O相切于C，若PA=2，PC=3，求⊙0的半径．
12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是⊙O外一点，PF是切线，F是切点，PBA是割线，点A，B是它与⊙O的交点，求证：PF2=PA·PB
证明：连接FO并延长交⊙O于C，连接AF，BF，BC，
∵PF是⊙O的切线，∴∠PFC=90°（依据________________________________)
∵CF是⊙O的直径，∴∠CBF=90°（依据_______________________________)
∴∠C+∠CFB=90° ∴∠C=∠PFB
又∵∠C=∠A（依据_____________________________________)
∴∠A=∠PFB
. . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：
已知PT为⊙O的切线，T是切点，PBA是⊙O的割线，交OC于D，为⊙O的直径，OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB的长．
13．阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：APBP=CPDP．
证明：如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，（根据_____________）
∴APDP=@，
∴APBP=CPDP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是O的弦，P是AB上一点，，PA=3cm，OP=15cm，求⊙O的半径．
14．阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，，求⊙O的半径．
15．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．
小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．
16．小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】
在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角∠PAB的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，PA与⊙O相切于点A，AB为直径，当圆心O在AB上时，容易得到∠PAB=90°，所以弦切角∠PAB=∠C=90°，请帮助小高继续解决下面的问题．
(1)如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C，求证：∠PAB=∠C
(2)如图3，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证；∠PAB=∠C
【解决问题】
(3)如图4，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系：______
17．阅读与思考
阅读下面内容并完成任务：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线NM与⊙O相切于点A，AB为⊙O的弦，∠BAM叫弦切角，AB叫做弦切角∠BAM所夹的弧，∠C是AB所对的圆周角，AC为直径时，很容易证明∠BAM=∠C．
小华同学认为这是一种特殊情况，若AC不是直径会如何呢？即在图2中∠BAM=∠C吗？她连接AO并延长，交⊙O于点C'，连接C'B…问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角∠BAM为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角∠BAM为钝角时，能证明∠BAM=∠C（如图4）吗？
任务：
(1)请按照小华的思路，利用图2证明∠BAM=∠C；
(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；
(4)解决问题：如图5，点P为⊙O的弦CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，连接AB，AC，∠P=19°，∠ABP=140°，则∠C=______°
18．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角，
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD．
求证：______．
证明：
(2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝229，求弦CE的长．
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．如图1，P是⊙O外一点，PC是⊙O的切线，PA是⊙O的一条割线，与⊙O的另一个交点为B，则PC2=PA⋅PB．
证明：如图2，连接AC、BC，过点C作⊙O的直径CD，连接AD．
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD，
∴，即∠PCB+∠BCD=90°．
……
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．下面是不完整的证明过程，请补充完整．
已知：P为⊙O外一点，PA与⊙O交于A，B两点，PM与⊙O相切于点M．
求证：PM2=PB⋅PA．
证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交⊙O于点C，连接BC．
∵PM为⊙O的切线，∴_______=90°，∴∠CMB+∠BMP=90°，∵CM为⊙O的直径，∴_______=90°，∴∠CMB+∠MCB=90°，∴∠MCB=_______，∵∠MAB=∠MCB，∴∠BMP=∠MAB．∵∠P=∠P，∴△PBM∽_______．∴PMPA=PBPM，∴PM2=PB⋅PA．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：AP⋅BP=CP⋅DP．
证明：
如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，（根据）
∴APDP=@，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
专题30 圆幂定理
模型的概述：
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角读数。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质与比例线段相关。
相交弦定理模型：如左图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P,则AP•DP=BP•CP
证明：如中图，连接AB、CD
在△APB和△CPD中
∠1=∠2（同弧所对圆周角相等） ∴△APB∽△CPD ∴APCP=BPDP 则AP•DP=BP•CP
∠3=∠4
【进阶】如右图，OP所在直线与⊙O交于M、N两点，r为⊙O的半径，则
AP•DP=BP•CP=MP•NP=(r-OP)( r+OP)= r2−OP2
割线定理模型：若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则AP•BP=CP•DP
?].’=
证明（方法一）：如中图，连接AC、BD
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180° ∴∠1=∠3
在△APC和△DPB中∠1=∠3，∠P=∠P ∴△APC∽△DPB ∴APDP=CPBP 则AP•BP=CP•DP
证明（方法二）：如右图，连接AD、BC
在△PAD和△PCB中∠PAD=∠PCB（∠1=∠2），∠P=∠P ∴△PAD∽△PCB ∴APCP=DPBP 则AP•BP=CP•DP
【进阶】若从圆外一点P引圆的两条割线PAB和PMN，
且割线PMN经过圆心，r为⊙O的半径，则
AP•BP =MP•NP=(OP-r)( OP+r)= OP2-r2
弦切角定理模型：线段AB切⊙O于点B，线段BC、CD为⊙O的弦，则∠1=∠2=12∠3
证明：连接OB、OD，则∠4=∠5
∵线段AB切⊙O于点B ∴∠1+∠4=90°
∵∠3+∠4+∠5=180° ∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2
∴∠2+∠4=90° ∴∠1=∠2 则∠1=∠2=12∠3
切割线定理模型：如右图，线段ADC是⊙O的一条割线，AB是⊙O的一条切线，
切点为点B，则AB2=AD•AC
证明：∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB ∴ABAC=ADAB 则AB2=AD•AC
【能力培优练】
1．如图，PA切⊙O于点，PBC是⊙O的一条割线，且PA=23，BC=2PB，那么PB的长为( )
A．2B． 6C．4D．26
答案:A
分析：设PB=x，则PC=3x，根据切割线定理得PA2=PB•PC，从而可求得PB的长．
【详解】解：设PB=x，则PC=3x，
∵PA2=PB•PC，PA=2，BC=2PB，
∴x•3x=12，
∴x=2．
故选A．
【点睛】此题考查切割线定理的运用．
2．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为________．
答案:22
分析：根据切割线定理直接求出，再将二次根式化简即可.
【详解】解：∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB=2，PC=4，
∴PA2=PB×PC，即PA2=8
∴PA=22.
故答案为22.
【点睛】本题主要考查了切割线定理以及二次根式化简，正确掌握切割线定理是解决问题的关键.
3．弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用．
(1)作图（保留作图痕迹）：
已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，
①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；
②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
③连接PE和PF；
试说明PE是圆O切线的理由．
(2)计算：
若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度．
答案:(1)见解析
(2)证明见解析，
分析：（1）按要求作图，根据MN是OP的中垂线，得到OQ=OP，点O在圆Q上，OQ=EQ=PQ，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得∠OEP=90°，即可证明；
（2）根据切线的性质和圆周角定理的推论可得∠EBO=∠AEP，证得△AEP∽△EBP，所以APEP=EPBP，EP2=APBP，根据OB=4，PB=14，求出AP的长度，代入计算即可．
（1）
作图如下：
连接OE，EQ，
∵以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；
∴QE=QP，
∵MN是OP的中垂线，
∴OQ=OP，点O在圆Q上，
∴OQ=EQ=PQ，
∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ，
∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，
∴2（∠OEQ+∠QEP）=180°，
∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，
∴PE是圆O的切线．
（2）
证明：连接BE，OA，
∵EP是圆O的切线， AB为圆O的直径，
∴∠OEP=90°，∠BEA=90°，
∴∠BEO=∠AEP
∵OE和OB为圆O的半径，
∴∠BEO=∠EBO，
∴∠EBO=∠AEP，
∵∠EPB=∠EPA，
∴△AEP∽△EBP，
∴APEP=EPBP，
∴EP2=APBP．
∵OB=4，PB=14，
∴AB=2OB=8，AP=BP－AB=14－8=6，
∴EP2=6×14=84，
∴．
【点睛】本题考查圆的切线证明以及相似三角形的性质与判定，根据题意证明△AEP∽△EBP是解题的关键．
4．圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？
下面是证明的开头：
已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C．
求证：PA2＝PB•PC
证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO，
因为PA切⊙0于点A，
∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．
阅读以上材料，完成下列问题：
(1)补充完成上面的证明过程；
(2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长．
答案:(1)见解析
(2)DE的长为177
分析：（1）先证△PAB∽△PCA，得PAPC=PBPA，即可得答案；
（2）结合（1）同理可得PA2=PD⋅PE，所以 PB⋅PC=PD⋅PE，然后代入值即可求出 PD 的长，进而可得 DE 的长．
（1）
证明：如图②，连接AB、AC、BO、AO，
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA+∠O=180°，
∴2∠OAB+∠O=180°，
∴∠OAB+12∠O=90°，
∴∠PAB=12∠O，
∵∠C=12∠O ，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴PAPC=PBPA，
∴PA2=PB⋅PC；
（2）
由（1）PA2=PB⋅PC， 同理PA2=PD⋅PE，
∴PB⋅PC=PD⋅PE，
∴PD=PB⋅PCPE=4×4+47=327，
∴DE=PE−PD=7−327=177，
∴DE的长为177．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明△PAB∽△PCA ．
5．在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，则b叫做a和c的比例中项）
(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是圆O外一点，AB是圆O的切线，直线ACD为圆O的割线．
求证：
证明：
(2)已知AC=2，CD=4，则AB的长度是 ．
答案:(1)AB2=AC⋅AD，证明见解析
(2)23
分析：（1）根据比例中项的定义写出“求证”， 连接BO并延长交⊙O于点E，连接BC,BD,CE，先根据圆的切线的性质可得BE⊥AB，再根据圆周角定理可得∠BCE=90°,∠E=∠ADB，从而可得∠ABC=∠ADB，然后根据相似三角形的判定证出△ABC∼△ADB，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）先根据线段和差求出AD=6，再根据（1）的结论即可得．
【详解】（1）求证：AB2=AC⋅AD．
证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点E，连接BC,BD,CE，
是⊙O的切线，
，
∴∠ABC+∠EBC=90°，
由圆周角定理得：∠BCE=90°,∠E=∠ADB，
∴∠ADB+∠EBC=∠E+∠EBC=90°，
∴∠ABC=∠ADB，
在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∼△ADB，
∴ABAD=ACAB，
∴AB2=AC⋅AD．
（2）解：∵AC=2，CD=4，
∴AD=AC+CD=6，
由（1）已证：AB2=AC⋅AD，
∴AB2=2×6=12，
解得AB=23或AB=−23<0（不符题意，舍去），
故答案为：23．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．
6．复习巩固
切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
阅读材料
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程
已知：如图2，A是⊙O外一点， ．
求证：
[提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE．
答案:AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线；AD2=ABAC；证明见解析．
分析：按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABD∽△ADC，即可求解．
【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线．
求证：AD2=ABAC．
故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AD2=ABAC．
证明：连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠ADB+∠BDE=90°，
∵DE是圆的直径，
∴∠DBE=90°=∠E+∠BDE，
∴∠ADB=∠E，
又∵∠E=∠C，
∴∠ADB=∠C，
∵∠BAD=∠DAC，
∴△ABD∽△ADC，
∴ABAD=ADAC，
∴AD2=ABAC．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等以及相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键．
7．阅读下列材料，完成相应任务：
任务：
(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长与⊙O交于点B、C，∠P=∠BAD，BC=8，AP=3BP，连接CD．
①CD与AP的位置关系是 ．
②求BD的长．
答案:(1)见解析
(2)①平行；②BD=325
分析：（1）先根据切线的性质和圆周角定理证得∠PCB=∠BAC，进而证明△PCB∽△PAC，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）根据圆周角定理证得∠P=∠DCB，根据平行线的判定即可得出结论；
（3）连接AC，根据已知和（1）中结论和△PAB∽△PCA求得AP=3，AC=3AB，再利用勾股定理求得AB=4510，然后证明△PAB∽△ADB，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，连接AC、BC，过点C作⊙O的直径CD，连接AD．
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD，
∴，即∠PCB+∠BCD=90°．
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，即∠DAB+∠BAC=90°，
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠PCB=∠BAC，
∵∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC:PA=PB:PC，
∴PC2=PA⋅PB；
（2）解：①∵∠DCB=∠DAB，，
∴∠P=∠DCB，
∴CD∥AP，
故答案为：平行；
②如图3，连接AC，
∵PA与⊙O相切，PC为割线，
∴PA2=PB⋅PC，
∵AP=3BP，
∴PC=9BP，
∴BC=8BP=8，即BP=1，
∴AP=3，
由（1）可知，△PAB∽△PCA，
∴PA:PC=AB:AC=3:9，
∴AC=3AB，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
由勾股定理可知，AB2+AC2=BC2，
∴AB2+3AB2=BC2，即10AB2=82，
∴AB=4510，
由（1）中证明过程可知∠PAB=∠ADB，又∠P=∠BAD，
∴△PAB∽△ADB，
∴AB:DB=PB:AB，即4510:BD=1:4510
∴BD=325．
【点睛】本题考查圆的切线和割线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质探究线段间的数量关系是解答的关键．
8．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系．
如图1，P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于点B（即PA是⊙O的割线），则PT2=PA⋅PB．
下面是切割线定理的证明过程：
证明：如图2，连接TO并延长，交⊙O于点C，连接BC．
∵PT切⊙O于点T，
∴∠CTP=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵CT是⊙O的直径，
……
(1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程；
(2)在图1中，已知AB=6，PB=5，则PT=______，ATTB=______．
答案:(1)见解析
(2)55，555
分析：（1）先证明∠2=∠A，再证明△PBT∽△PTA，即可补充完成证明过程；
（2）根据PT2=PA⋅PB可求出PT的值，根据△PBT∽△PTA可求出ATTB的值．
【详解】（1）证明：如图2，连接TO并延长，交⊙O于点C，连接BC．
∵PT切⊙O于点T，
∴∠CTP=90°．
∴．
∵是⊙O的直径，
∴∠1+∠C=90°，
∴∠2=∠C．
∵∠A=∠C，
∴∠2=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PBT∽△PTA，
∴PBPT=PTPA，
∴PT2=PA⋅PB．
（2）解：∵AB=6，PB=5，
∴PA=11．
∴PT2=PA⋅PB=55，
∴PT=55．
∵△PBT∽△PTA，
∴ATTB=PAPT，
∴ATTB=1155=555．
故答案为：55，555．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，证明△PBT∽△PTA是解答本题的关键．
9．读下面材料，并完成相应的任务
学习任务：
如图，若线段AB与⊙O相交于C，D两点，且，射线AB，BF为⊙O的两条切线，切点分别为E，F，连接CF．
(1)求证：AE=BF；
(2)若BF=6，CD=2BD，∠FBC=60°，求△BCF的面积．
答案:(1)∠CMP；∠CBM；∠BMP；△PMA；见解析
(2)27
分析：阅读材料：连接AM，BM，连接MO并延长交⊙O于点C，连接BC，证△PBM∽△PMA即可得出结论；
（1）由阅读材料得AE2=AC⋅AD，BF2=BD⋅BC，再由AC=BD，证AD=BC，即可得出结论；
（2）由阅读材料得BF2=BD⋅BC，从而求出BC=63，再过点F作FG⊥BC于点G，解Rt△BFG求出FG=32×6=33，最后利用S△BCF=12BC⋅FG计算即可求解．
（1）
阅读材料证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交⊙O于点C，连接BC．
∵PM为⊙O的切线，∴∠CMP=90°，
∴∠CMB+∠BMP=90°，
∵CM为⊙O的直径，
∴∠CBM=90°，
∴∠CMB+∠MCB=90°，
∴∠MCB=∠BMP，
∵∠MAB=∠MCB，
∴∠BMP=∠MAB．
∵∠P=∠P，
∴△PBM∽△PMA．
∴PMPA=PBPM，
∴PM2=PB⋅PA．
故答案为：∠CMP，∠CBM，∠BMP，△PMA．
（1）证明：∵AE，BF为⊙O的两条切线，
∴AE2=AC⋅AD，BF2=BD⋅BC．
∵，
∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC．
∴AE2=BF2，
∴AE=BF．
（2）
解：∵CD=2BD，设BD=m，则CD=2m，BC=3m，
由由阅读材料得，BF2=BD⋅BC，
即3m2=62，解得m=23，
∴BC=63，
如图1，过点F作FG⊥BC于点G，
在Rt△BFG中，FG=FBsinB，
即FG=32×6=33，
∴S△BCF=12BC⋅FG=12×63×33=27．
【点睛】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，本题属阅读材料题，通过阅读，探究出一个结论，再运用结论解决其他问题，属中考试常用考类型．
10．我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过⊙O外一点P作⊙O的两条割线，一条交⊙O于A、B点，另一条交⊙O于C、D点．
求证：PA⋅PB=PC⋅PD．
证明一：连接AD、BC，
∵∠A和∠C为BD所对的圆周角，∴______．
又∵∠P=∠P，∴______，∴______．
即PA⋅PB=PC⋅PD．
研究后发现，如图②，如果连接AC、BD，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接AC、BD，
答案:证明一：∠A=∠C，△ADP∽△CBP，APCP=DPBP；证明二见解析
分析：（1）证明△ADP∽△CBP即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质可得∠PBD=∠ACD，进一步证明△ACP∽△DBP
【详解】解：证明一：连接AD、BC，
∵∠A和∠C为BD所对的圆周角，
∴∠A=∠C．
又∵∠P=∠P，
∴△ADP∽△CBP，
∴APCP=DPBP．
即PA⋅PB=PC⋅PD．
故答案为：∠A=∠C，△ADP∽△CBP，APCP=DPBP，
证明二：连接AC、BD，
∵四边形ABDC为圆内接四边形，
∴，
又∵∠ABD+∠PBD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
又∵∠P=∠P，
∴△ACP∽△DBP，
∴APDP=CPBP，即PA⋅PB=PC⋅PD．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
11．如图，P是⊙O外一点，割线POB与⊙O相交于A、B，切线PC与⊙O相切于C，若PA=2，PC=3，求⊙0的半径．
答案:54
分析：设圆半径为r，根据切割线定理得到PC2=PA•PB，代入得出方程32=2（2+2r），求出方程的解即可．
【详解】解：设圆半径为r 由切割线定理，
得 PC2=PA•PB，
∴32=2（2+2r），
解得r=54，
∴⊙O 的半径54.
【点睛】本题考查了切割线定理的应用，关键是根据题意得出方程，题目比较典型，难度不大．
12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是⊙O外一点，PF是切线，F是切点，PBA是割线，点A，B是它与⊙O的交点，求证：PF2=PA·PB
证明：连接FO并延长交⊙O于C，连接AF，BF，BC，
∵PF是⊙O的切线，∴∠PFC=90°（依据________________________________)
∵CF是⊙O的直径，∴∠CBF=90°（依据_______________________________)
∴∠C+∠CFB=90° ∴∠C=∠PFB
又∵∠C=∠A（依据_____________________________________)
∴∠A=∠PFB
. . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：
已知PT为⊙O的切线，T是切点，PBA是⊙O的割线，交OC于D，为⊙O的直径，OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB的长．
答案:(1)切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等
(2)见解析
(3)20cm
分析：（1）利用圆周角定理推论、切线性质找等角即可解答；
（2）先构造相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例解答即可；
（3）设TD=x,BP=y，如图：连接AC，BT，先证△ADC∼△TDB，再根据相似三角形的性质列式求得x，然后再利用切割线定理求y长度即可．
【详解】（1）证明：连接FO并延长交⊙O与C，连接AF，BF，BC，
∵PF是⊙O的切线，
∴∠PFC=90°（依据：切线的性质定理)
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF=90°（依据：直径所对的圆周角是直角)
∴∠C+∠CFB=90° ∴∠C=∠PFB
又∵∠C=∠A（依据：同弧所对的圆周角相等)
∴∠A=∠PFB
…………
故答案为：切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．
（2）证明：连接FO并延长交⊙O与C，连接AF，BF，BC，
∵PF是⊙O的切线，
∴∠PFC=90°（依据：切线的性质定理)
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF=90°（依据：直径所对的圆周角是直角)
∴∠C+∠CFB=90°
∴∠C=∠PFB
又∵∠C=∠A（依据：同弧所对的圆周角相等)
∴∠A=∠PFB
又∵∠P=∠P
∴△PFB∼△PAF
∴PBPF=PFPA
∴PF2=PA·PB．
（3）解：设TD=x,BP=y，如图：连接AC，BT，
∵∠A=∠CTB,∠CDA=∠BDT
∴△ADC∼△TDB
∴AD:CD=TD:BD，
∴AD·DB=CD·TD，即3×4=8−xx，解得：x=6或（舍去）
由切割线定理PT2=PA·PB，由勾股定理PD2=PT2+TD2可得：PD2=PA·PB+TD2
∴（y+4)2=yy+7+62，解得，
∴PB=20cm.
【点睛】本题综合考查了阅读理解能力、圆周角定理、切线的性质定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质等知识点，从阅读材料中提取有用信息是解答本题的关键．
13．阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：APBP=CPDP．
证明：如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，（根据_____________）
∴APDP=@，
∴APBP=CPDP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是O的弦，P是AB上一点，，PA=3cm，OP=15cm，求⊙O的半径．
答案:(1)有两个角对应相等的两个三角形相似，；
(2)⊙O的半径为6cm．
分析：（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF=r+15cm，PD=r−15cm，根据（1）中结论代入求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，（根据有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴APDP=CPBP，
∴APBP=CPDP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；CPBP；
（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，
设圆O的半径为rcm，而，PA=3cm，OP=15cm，
PF=15+rcm，PD=r−15cm， PB=7cm，
根据（1）中结论得APBP=DPFP，即为3×7=r+15r−15，
∴r2=36，
解得：r=6或r=−6（不符合题意，舍去），
⊙O的半径为6cm．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理，圆周角定理，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
14．阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整．
根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，，求⊙O的半径．
答案:(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；
(2)7cm
分析：（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则PF=5+rcm，PD=r−5cm，根据（1）中结论代入求解即可．
【详解】（1）连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，（有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴APDP=CPBP，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；；
（2）延长OP交圆O于点D，延长PO交圆O于点F，
设圆O的半径为rcm，则PF=5+rcm，PD=r−5cm，
根据（1）中结论得AP·BP=DP·FP，即为4×10−4=r+5r−5，
解得：r=7或r=−7（不符合题意，舍去），
⊙O的半径为7cm．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
15．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．
小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．
答案:（1）见解析；（2）⊙O的半径R为7．
分析：（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△APC∽△DPB，利用相似三角形的性质得AP：DP=CP：BP，变形有AP•BP=CP•DP；由此得到相交弦定理；
（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．
【详解】（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AP•BP=CP•DP．
证明如下：
连结AC，BD，如图1，
∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△APC∽△DPB，
∴AP：DP=CP：BP，
∴AP•BP=CP•DP；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
（2）过P作直径CD，如图2，
∵AB=10，PA=4，OP=5，
∴PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，
由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD，
∴4×6=（R﹣5）×（R+5），
解得R=7（R=﹣7舍去）．
所以⊙O的半径R=7．
【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握相交弦定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.
16．小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】
在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角∠PAB的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，PA与⊙O相切于点A，AB为直径，当圆心O在AB上时，容易得到∠PAB=90°，所以弦切角∠PAB=∠C=90°，请帮助小高继续解决下面的问题．
(1)如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C，求证：∠PAB=∠C
(2)如图3，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证；∠PAB=∠C
【解决问题】
(3)如图4，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系：______
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)∠CBD=12∠CAB
分析：（1）根据切线的性质得∠PAC=90°，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再根据同角的余角相等，可得结论；
（2）作直径AD，连接CD，由（1）同理得，∠PAD=∠ACD，再根据同弧所对的圆周角相等，即可证明结论；
（3）连接AE，由（1）知，∠DBC=∠BAE，再利用等腰三角形的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AC为直径
∴∠B=90°
∵∠CAB+∠C+∠B=180°
∴∠CAB+∠C=90°
∵PA是⊙O的切线
∴∠PAC=90°
∴∠PAC=∠CAB+∠C
即∠PAB+∠CAB=∠CAB+∠C
∴∠PAB=∠C；
（2）证明：如图，过点A作直径AD交⊙O于点D，连接BD，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形
∴∠D+∠C=180°，即
∵PA是⊙O的切线
∴
∴∠PAB=∠PAD+∠DAB=90°+∠DAB
即∠DAB=∠PAB−90°
∵AD为直径
∴∠ABD=90°
∵∠ABD+∠DAB+∠D=180°
∴∠ABD+∠PAB−90°+∠D=180°
即∠PAB=180°−∠D
∴∠PAB=∠C
（3）解：连接AE，
由（1）知，∠DBC=∠BAE
是直径，
∴∠AEB=90°
∵AB=AC
∴∠BAC=2∠BAE
∴∠BAC=2∠CBD
故答案为∠BAC=2∠CBD
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，将一般情况转化为特殊情形是解题的关键．
17．阅读与思考
阅读下面内容并完成任务：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线NM与⊙O相切于点A，AB为⊙O的弦，∠BAM叫弦切角，AB叫做弦切角∠BAM所夹的弧，∠C是AB所对的圆周角，AC为直径时，很容易证明∠BAM=∠C．
小华同学认为这是一种特殊情况，若AC不是直径会如何呢？即在图2中∠BAM=∠C吗？她连接AO并延长，交⊙O于点C'，连接C'B…问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角∠BAM为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角∠BAM为钝角时，能证明∠BAM=∠C（如图4）吗？
任务：
(1)请按照小华的思路，利用图2证明∠BAM=∠C；
(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；
(4)解决问题：如图5，点P为⊙O的弦CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，连接AB，AC，∠P=19°，∠ABP=140°，则∠C=______°
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)转化思想和类比思想
(4)21
分析：（1）连接AO并延长，交⊙O于点C'，连接C'B，则，根据AC'是⊙O的直径，可得∠C'+∠C'AB=90°，再根据切线的性质可得∠C'AB+∠BAM=∠C'AM=90°，即可；
（2）连接AO并延长，交⊙O于点D，连接DB，根据AD是⊙O的直径，可得∠D+∠DAB=90°，再根据切线的性质可得∠DAB+∠BAN=∠DAN=90°，从而得到∠BAN=∠D，再由圆内接四边形的性质，可得∠C+∠D=180°，即可；
（3）上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想；
（4）接AO并延长，交⊙O于点E，连接EB，则∠C=∠E，证明∠BAP=∠C，即可．
【详解】（1）证明：连接AO并延长，交⊙O于点C'，连接C'B，则，
∵AC'是⊙O的直径，
∴∠ABC'=90°，
∴∠C'+∠C'AB=90°，
∵直线NM与⊙O相切于点A，
∴C'A⊥MN，
∴∠C'AB+∠BAM=∠C'AM=90°，
∴∠BAM=∠C'，
∴∠BAM=∠C；
（2）证明：连接AO并延长，交⊙O于点D，连接DB，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D+∠DAB=90°，
∵直线NM与⊙O相切于点A，
∴DA⊥MN，
∴∠DAB+∠BAN=∠DAN=90°，
∴∠BAN=∠D，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠BAN+∠BAM=180°，
∴∠BAM=∠C；
（3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想；
故答案为：思想转化思想和类比思想
（4）解：如图，接AO并延长，交⊙O于点E，连接EB，则∠C=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠EAB=90°，
∵直线AP与⊙O相切于点A，
∴EA⊥AP，
∴∠EAB+∠BAP=∠EAP=90°，
∴∠BAP=∠E，
∴∠BAP=∠C，
∵∠P=19°，∠ABP=140°，
∴∠C=∠BAP=21°．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键．
18．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角，
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，BD，AD．
求证：______．
证明：
(2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝229，求弦CE的长．
答案:(1)∠CAB=12∠AOB=∠ADB，证明见解析
(2)弦CE的长为21
分析：（1）过点O，作，根据垂径定理和圆周角定理可得∠AOE=12∠AOB=∠ADB，根据切线的性质可得∠CAO=∠BAO+∠CAB=90°，即可得∠AOE=∠CAB，进而即可证明∠CAB=12∠AOB=∠ADB；
（2）过点O作OF⊥CD，勾股定理 DE的长，在Rt△OEF中，勾股定理求得EF，进而即可求得的长．
【详解】（1）求证：∠CAB=12∠AOB=∠ADB
证明：如图，过点O作，
∴AE=BE，
∴∠AOE=12∠AOB=∠ADB，
，
∴∠BAO+∠AOE=90°，
∵CA是⊙O的切线，
∴∠CAO=∠BAO+∠CAB=90°，
∴∠AOE=∠CAB，
∴∠CAB=12∠AOB=∠ADB，
（2）如图，过点O作OF⊥CD，
∴EC=2EF
∵AB为⊙O的切线，CD⊥AB，
∴四边形AOFD是矩形，
∴AD=OF=10，
在Rt△ADE中，AD=10,AE=229
∴DE=AE2−AD2=2292−102=4
设圆的半径为r，则AO=DF=r，
在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2
即r2=102+r−42
解得r=292
∴EF=DF−DE=292−4=212
∴EC=2EF=21
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理以及切线的性质是解题的关键．
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．如图1，P是⊙O外一点，PC是⊙O的切线，PA是⊙O的一条割线，与⊙O的另一个交点为B，则PC2=PA⋅PB．
证明：如图2，连接AC、BC，过点C作⊙O的直径CD，连接AD．
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD，
∴，即∠PCB+∠BCD=90°．
……
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．下面是不完整的证明过程，请补充完整．
已知：P为⊙O外一点，PA与⊙O交于A，B两点，PM与⊙O相切于点M．
求证：PM2=PB⋅PA．
证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交⊙O于点C，连接BC．
∵PM为⊙O的切线，∴_______=90°，∴∠CMB+∠BMP=90°，∵CM为⊙O的直径，∴_______=90°，∴∠CMB+∠MCB=90°，∴∠MCB=_______，∵∠MAB=∠MCB，∴∠BMP=∠MAB．∵∠P=∠P，∴△PBM∽_______．∴PMPA=PBPM，∴PM2=PB⋅PA．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．
求证：AP⋅BP=CP⋅DP．
证明：
如图1，连接AC，BD．
∵∠C=∠B，∠A=∠D．
∴△APC∽△DPB，（根据）
∴APDP=@，
∴AP⋅BP=CP⋅DP，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．