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中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题30正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算(原卷版+解析)
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这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题30正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算(原卷版+解析)，共61页。
【知识要点】
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】
1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n变形的内角为n−2×180°n，外角为3600n，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。
【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值
第一种 正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (图一)
变式 正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）
第二种 正方形 在⊙O中四边形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1: 2 (图三)
变式 正方形内切圆与外切圆半径比为1: 2 （图四）
第三种 正六变形 在⊙O中六边形是正六边形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1: 3 : 2 (图五)
图一 图二 图三 图四 图五
设 QUOTE 的半径为R， QUOTE 圆心角所对弧长为l，
弧长公式： QUOTE ?=???180 l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式： QUOTE
圆锥的侧面积公式：S=12l2πr=πrl (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式： QUOTE （l为母线）
【备注】1）圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
2）扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πR
求阴影部分面积的几种常见方法：1）公式法；2）割补法；3）拼凑法；4）等积变形构造方程法；5）去重法。
考查题型一 与正多边形中心角有关的计算
典例1．(2023·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
变式1-1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．12C．3D．6
变式1-2．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．B．6C．3D．23
变式1-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mmB．22mmC．23mmD．4mm
变式1-4．(2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为______度．
变式1-5．(2023·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角α可以为__________度．（写出一个即可）
变式1-6．(2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于________度．
变式1-7．(2023·湖南株洲·中考真题）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON=________度．
考查题型二 正多边形与圆
典例2．(2023·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3B．32C．332D．3
变式2-1．(2023·四川绵阳·统考中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ）
A．(2−23,3)B．(0,1+23)C．(2−3,3) D．(2−23,2+3)
变式2-2．(2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3B．3，πC．2，4π3D．3，2π
变式2-3．(2023·湖北黄石·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6=6R，则π≈l62R=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A．12sin15°B．12cs15°C．12sin30°D．12cs30°
变式2-4．(2023·四川德阳·统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（−32，−3）B．（32，−332）C．（−3，）D．（−32，−32）
变式2-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及π的值都正确的是（ ）
A．d=8(2−1)sin22.5°，π≈8sin22.5°B．d=4(2−1)sin22.5°，π≈4sin22.5°
C．d=4(2−1)sin22.5°，π≈8sin22.5°D．d=8(2−1)sin22.5°，π≈4sin22.5°
变式2-6．(2023·浙江丽水·统考中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是(−3,3)，则A点的坐标是___________．
变式2-7．(2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
变式2-8．(2023·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．
变式2-9．(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
变式2-10．(2023·上海·统考中考真题）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
变式2-11．(2023·广西梧州·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
变式2-12．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接AM,MN,NA．
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
变式2-13．(2023·湖北随州·统考中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知12aℎ1+ℎ2+ℎ3=S△ABC=3S△OAB，可得ℎ1+ℎ2+ℎ3=_____；（结果用含a的式子表示）
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，ℎ5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5的值．（参考数据：tan36°≈811，tan54°≈118）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC//OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由．
考查题型三 与弧长公式有关的计算
典例3．(2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则BC 的长为（ ）
A．6πB．2πC．32πD．π
变式3-1．(2023·浙江丽水·统考中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为23m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．5π3mB．8π3mC．10π3mD．5π3+2m
变式3-2．(2023·河北·统考中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则AMB的长是（ ）
A．11πcmB．112πcmC．cmD．72πcm
变式3-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路（AB）的长度为（ ）
A．20πmB．30πmC．40πmD．50πm
变式3-4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
变式3-5．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是________（结果保留π）
变式3-6．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
变式3-7．(2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求AD的长（结果保留π）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
考查题型四 与扇形面积有关的计算
典例4．(2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．(2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A．π12B．π24C．10π60D．5π60
变式4-2．(2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．23π−32B．C．43π−23D．43π−3
变式4-3．(2023·广西河池·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
变式4-4．(2023·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5−πB．5−π2C．52−π2D．52−π4
变式4-5．(2023·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−18B．π8−14C．π2−18D．π2−14
变式4-6．(2023·贵州黔西·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°．则图中阴影部分面积是_____．
变式4-7．(2023·山东聊城·统考中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的14，则其侧面展开图圆心角的度数为______________．
变式4-8(2023·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
变式4-9．(2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
变式4-10．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
考查题型五 与圆锥侧面积有关的计算
典例5．(2023·山东济宁·统考中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
变式5-1(2023·山东东营·统考中考真题）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
变式5-2．(2023·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
变式5-3．(2023·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
变式5-4．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
变式5-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为_______（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______．
变式5-6．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
变式5-7．(2023·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Gegebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
专题30 正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算
【考查题型】
【知识要点】
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】
1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n变形的内角为n−2×180°n，外角为3600n，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。
【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值
第一种 正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (图一)
变式 正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）
第二种 正方形 在⊙O中四边形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1: 2 (图三)
变式 正方形内切圆与外切圆半径比为1: 2 （图四）
第三种 正六变形 在⊙O中六边形是正六边形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1: 3 : 2 (图五)
图一 图二 图三 图四 图五
设 QUOTE 的半径为R， QUOTE 圆心角所对弧长为l，
弧长公式： QUOTE ?=???180 l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式： QUOTE
圆锥的侧面积公式： (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式： QUOTE （l为母线）
【备注】1）圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
2）扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πR
求阴影部分面积的几种常见方法：1）公式法；2）割补法；3）拼凑法；4）等积变形构造方程法；5）去重法。
考查题型一 与正多边形中心角有关的计算
典例1．(2023·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
变式1-1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．12C．3D．6
答案:B
分析：根据正n边形的中心角的度数为，列方程即可得到答案．
【详解】解：，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
变式1-2．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A．B．C．3D．
答案:C
分析：连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
变式1-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mmB．C．D．4mm
答案:D
分析：如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
变式1-4．(2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
答案:12
分析：连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
变式1-5．(2023·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可）
答案:60或120或180或240或300（写出一个即可）
分析：如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．
【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角，
，
角可以为或或或或，
故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
变式1-6．(2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于________度．
答案:54
分析：连接OC，OD，利用正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求得∠CPD，然后利用直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD=，
∴∠CPD=∠COD=36º，
∵，
∴∠DGP=90º
∴∠PDG=90º-∠CPD=90º-36º=54º，
故答案为：54º．
【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆心角与圆周角之间的关系是解答的关键．
变式1-7．(2023·湖南株洲·中考真题）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则________度．
答案:80
分析：根据正多边形性质求出中心角，即可求出．
【详解】解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，
∴．
故答案为：80
【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为 ．
考查题型二 正多边形与圆
典例2．(2023·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3B．C．D．3
答案:C
分析：利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．
【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故选 C
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．
变式2-1．(2023·四川绵阳·统考中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ）
A．B．C． D．
答案:A
分析：根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，
根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴，BP=1，
∴点C的纵坐标为1+2=3，
∴点C的坐标为．
故选：A
【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
变式2-2．(2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
答案:D
分析：连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．
【详解】解：连接、，
六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
变式2-3．(2023·湖北黄石·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：求出正十二边形的中心角，利用十二边形周长公式求解即可．
【详解】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，解直角三角形，求出正十二边形的周长是解题的关键．
变式2-4．(2023·四川德阳·统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
答案:A
分析：如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，．
在正六边形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
变式2-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案:C
分析：根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．
【详解】
解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
则BD=，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，
，
则∠BFD=22.5°，
∴外接圆直径d=BF=，
根据题意知周长÷d==，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．
变式2-6．(2023·浙江丽水·统考中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．
答案:
分析：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，
关于O对称，
故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．
变式2-7．(2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
答案:
分析：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而
则
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．
变式2-8．(2023·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．
答案:54
分析：设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．
【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，
∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等边三角形，
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等边△ABC≌等边△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键．
变式2-9．(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
答案:
分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：如图，
设正六边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cs∠BAC=，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB=（mm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键．
变式2-10．(2023·上海·统考中考真题）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
答案:．
分析：由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．
【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，
在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，
∴BG=DI= FH=，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
∴由勾股定理得：AI=，
∴S=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．
变式2-11．(2023·广西梧州·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
答案:
分析：如图，连接 过作于 再求解正六边形的边长为 证明 再求解 再利用三角形的中位线定理可得答案.
【详解】解：如图，连接 过作于
正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为的中点，
同理：
六边形GHKLMN的周长是
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.
变式2-12．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
答案:(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
分析：（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
变式2-13．(2023·湖北随州·统考中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
答案:（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析．
分析：（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题；
（3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题．
【详解】解：（1）直角三角形的面积为：，
直角三角形斜边为：，
设直角三角形斜边上的高为，则
设直角三角形内切圆的半径为，则
，
故答案为：，1；
（2）①边长为的正底边的高为，面积为：
，
故答案为：；
②类比①中方法可知，
设点为正五边形的中心，连接，，
由①得，
过作于，，
故，，
故，从而得到：
．
（3）①是的切线，
过点作
，
是的高，
故答案为：；
②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，
连接，∵，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
考查题型三 与弧长公式有关的计算
典例3．(2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6πB．2πC．πD．π
答案:D
分析：先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．
变式3-1．(2023·浙江丽水·统考中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，
故选：C
【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
变式3-2．(2023·河北·统考中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
答案:A
分析：如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
变式3-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路（）的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度．
【详解】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（）的长度为：，
故选C
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式
变式3-4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
答案:C
分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
由题意得：，
解得，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．
变式3-5．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是________（结果保留）
答案:
分析：如图，连接OD，OE，证明 可得 再证明 可得 再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴
∵与边AB相切于点D，
∴
∴
的长
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键．
变式3-6．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
答案:120°．
分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•2，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得＝2π•2，
解得α＝120，
即侧面展开图扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
【点睛】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意．
变式3-7．(2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
答案:(1)
(2)见解析
分析：（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
【详解】（1）解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
考查题型四 与扇形面积有关的计算
典例4．(2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
变式4-1．(2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，，
∴阴影部分面积为：，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
变式4-2．(2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
变式4-3．(2023·广西河池·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
答案:A
分析：根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
变式4-4．(2023·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，连接, ，
边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
变式4-5．(2023·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于半圆减去四边形的面积和弓形的面积即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
的半径为：
过点，根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
变式4-6．(2023·贵州黔西·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
答案:
分析：证明△OCG≌△OBE，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圆心角，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形边长为4，
∴AC=，
∴OC=
∵，
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．
变式4-7．(2023·山东聊城·统考中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为______________．
答案:120°##120度
分析：根据圆锥的底面积是其表面积的，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
【详解】解：设底面圆的半径为，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．
由题意得，
，
∵个圆锥体的底面积是其表面积的，
∴，
．
由得，
故．
由得：
，
解得．
故答案为：120°．
【点睛】此题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．
变式4-8(2023·山东东营·统考中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；
（2）过点O作于F，利用即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．
变式4-9．(2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
答案:(1)直线与相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积
分析：（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
变式4-10．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
答案:(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2
分析：（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．
【详解】（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
考查题型五 与圆锥侧面积有关的计算
典例5．(2023·山东济宁·统考中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
答案:D
分析：根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解．
【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故选D．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．
变式5-1(2023·山东东营·统考中考真题）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
由题意得：，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．
变式5-2．(2023·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
变式5-3．(2023·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
答案:C
分析：由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：；故A正确；
圆柱的侧面积为：；故B正确；
圆锥的母线为：；故C错误；
圆锥的侧面积为：；故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
变式5-4．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
答案:A
分析：求出圆锥的表面积，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．
【详解】解：如图：
由勾股定理可知：圆锥的母线长，
设底圆半径为r，则由图可知，
圆锥的表面积：，
圆柱的表面积：，
∴组合体的表面积为：，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．
故选：A
【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．
变式5-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，从一个边长是的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为_______（用含的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______．
答案:
分析：先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径，则可得出答案．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
，
∵，这个扇形的面积为：，
设圆锥的底面圆半径为，则直径为：，则:，
解得，
∴．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了正多边形内角和定理，扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键．
变式5-6．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
答案: 216
分析：根据题意可确定，圆锥侧面展开图是半径为8的扇形，并且其弧长即为底面圆的周长，因而求出底面圆的周长即可，另外根据扇形的弧长公式即可直接求出展开之后的圆心角．
【详解】如图，由题意可知，AB=10，AO=8，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，
则该扇形展开后侧面是半径为10的扇形，其弧长即为底面圆的周长，
∴底面的周长为：，
根据弧长公式可得：，解得：，
故答案为：；216．
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开问题，理解圆锥侧面展开图形的性质以及基本定理是解题关键．
变式5-7．(2023·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Gegebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
答案:不认同，理由见详解
分析：根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．
【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，
乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，
∵，
∴，
故不认同小亮的说法．
【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．
【知识要点】
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】
1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n变形的内角为n−2×180°n，外角为3600n，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。
【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值
第一种 正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (图一)
变式 正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）
第二种 正方形 在⊙O中四边形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1: 2 (图三)
变式 正方形内切圆与外切圆半径比为1: 2 （图四）
第三种 正六变形 在⊙O中六边形是正六边形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1: 3 : 2 (图五)
图一 图二 图三 图四 图五
设 QUOTE 的半径为R， QUOTE 圆心角所对弧长为l，
弧长公式： QUOTE ?=???180 l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式： QUOTE
圆锥的侧面积公式：S=12l2πr=πrl (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式： QUOTE （l为母线）
【备注】1）圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
2）扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πR
求阴影部分面积的几种常见方法：1）公式法；2）割补法；3）拼凑法；4）等积变形构造方程法；5）去重法。
考查题型一 与正多边形中心角有关的计算
典例1．(2023·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
变式1-1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．12C．3D．6
变式1-2．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A．B．6C．3D．23
变式1-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mmB．22mmC．23mmD．4mm
变式1-4．(2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为______度．
变式1-5．(2023·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角α可以为__________度．（写出一个即可）
变式1-6．(2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于________度．
变式1-7．(2023·湖南株洲·中考真题）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON=________度．
考查题型二 正多边形与圆
典例2．(2023·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3B．32C．332D．3
变式2-1．(2023·四川绵阳·统考中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ）
A．(2−23,3)B．(0,1+23)C．(2−3,3) D．(2−23,2+3)
变式2-2．(2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（ ）
A．4，π3B．3，πC．2，4π3D．3，2π
变式2-3．(2023·湖北黄石·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6=6R，则π≈l62R=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A．12sin15°B．12cs15°C．12sin30°D．12cs30°
变式2-4．(2023·四川德阳·统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（−32，−3）B．（32，−332）C．（−3，）D．（−32，−32）
变式2-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及π的值都正确的是（ ）
A．d=8(2−1)sin22.5°，π≈8sin22.5°B．d=4(2−1)sin22.5°，π≈4sin22.5°
C．d=4(2−1)sin22.5°，π≈8sin22.5°D．d=8(2−1)sin22.5°，π≈4sin22.5°
变式2-6．(2023·浙江丽水·统考中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是(−3,3)，则A点的坐标是___________．
变式2-7．(2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
变式2-8．(2023·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．
变式2-9．(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
变式2-10．(2023·上海·统考中考真题）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
变式2-11．(2023·广西梧州·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
变式2-12．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接AM,MN,NA．
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
变式2-13．(2023·湖北随州·统考中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知12aℎ1+ℎ2+ℎ3=S△ABC=3S△OAB，可得ℎ1+ℎ2+ℎ3=_____；（结果用含a的式子表示）
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，ℎ5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5的值．（参考数据：tan36°≈811，tan54°≈118）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC//OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由．
考查题型三 与弧长公式有关的计算
典例3．(2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则BC 的长为（ ）
A．6πB．2πC．32πD．π
变式3-1．(2023·浙江丽水·统考中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为23m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．5π3mB．8π3mC．10π3mD．5π3+2m
变式3-2．(2023·河北·统考中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则AMB的长是（ ）
A．11πcmB．112πcmC．cmD．72πcm
变式3-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路（AB）的长度为（ ）
A．20πmB．30πmC．40πmD．50πm
变式3-4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
变式3-5．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是________（结果保留π）
变式3-6．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
变式3-7．(2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求AD的长（结果保留π）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
考查题型四 与扇形面积有关的计算
典例4．(2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．(2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A．π12B．π24C．10π60D．5π60
变式4-2．(2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．23π−32B．C．43π−23D．43π−3
变式4-3．(2023·广西河池·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
变式4-4．(2023·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5−πB．5−π2C．52−π2D．52−π4
变式4-5．(2023·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−18B．π8−14C．π2−18D．π2−14
变式4-6．(2023·贵州黔西·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°．则图中阴影部分面积是_____．
变式4-7．(2023·山东聊城·统考中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的14，则其侧面展开图圆心角的度数为______________．
变式4-8(2023·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
变式4-9．(2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
变式4-10．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
考查题型五 与圆锥侧面积有关的计算
典例5．(2023·山东济宁·统考中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
变式5-1(2023·山东东营·统考中考真题）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．4cmB．8cmC．12cmD．16cm
变式5-2．(2023·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
变式5-3．(2023·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
变式5-4．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
变式5-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为_______（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______．
变式5-6．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
变式5-7．(2023·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Gegebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
专题30 正多边形与圆、与弧长公式、扇形面积、圆锥侧面积有关的计算
【考查题型】
【知识要点】
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】
1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n变形的内角为n−2×180°n，外角为3600n，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。
【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值
第一种 正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，在Rt△BOD中，OD:BD:OB=1: 3 : 2 (图一)
变式 正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）
第二种 正方形 在⊙O中四边形是正方形，在Rt△OAE中，OE:AE:OE=1:1: 2 (图三)
变式 正方形内切圆与外切圆半径比为1: 2 （图四）
第三种 正六变形 在⊙O中六边形是正六边形，在Rt△OAB，AB:OB:OA=1: 3 : 2 (图五)
图一 图二 图三 图四 图五
设 QUOTE 的半径为R， QUOTE 圆心角所对弧长为l，
弧长公式： QUOTE ?=???180 l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式： QUOTE
圆锥的侧面积公式： (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式： QUOTE （l为母线）
【备注】1）圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
2）扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πR
求阴影部分面积的几种常见方法：1）公式法；2）割补法；3）拼凑法；4）等积变形构造方程法；5）去重法。
考查题型一 与正多边形中心角有关的计算
典例1．(2023·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
变式1-1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．12C．3D．6
答案:B
分析：根据正n边形的中心角的度数为，列方程即可得到答案．
【详解】解：，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
变式1-2．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A．B．C．3D．
答案:C
分析：连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
变式1-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mmB．C．D．4mm
答案:D
分析：如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
变式1-4．(2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
答案:12
分析：连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
变式1-5．(2023·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可）
答案:60或120或180或240或300（写出一个即可）
分析：如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．
【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角，
，
角可以为或或或或，
故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
变式1-6．(2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于________度．
答案:54
分析：连接OC，OD，利用正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求得∠CPD，然后利用直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD=，
∴∠CPD=∠COD=36º，
∵，
∴∠DGP=90º
∴∠PDG=90º-∠CPD=90º-36º=54º，
故答案为：54º．
【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆心角与圆周角之间的关系是解答的关键．
变式1-7．(2023·湖南株洲·中考真题）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则________度．
答案:80
分析：根据正多边形性质求出中心角，即可求出．
【详解】解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，
∴．
故答案为：80
【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为 ．
考查题型二 正多边形与圆
典例2．(2023·四川雅安·统考中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3B．C．D．3
答案:C
分析：利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．
【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故选 C
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．
变式2-1．(2023·四川绵阳·统考中考真题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（ ）
A．B．C． D．
答案:A
分析：根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，
根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴，BP=1，
∴点C的纵坐标为1+2=3，
∴点C的坐标为．
故选：A
【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
变式2-2．(2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
答案:D
分析：连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．
【详解】解：连接、，
六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
变式2-3．(2023·湖北黄石·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：求出正十二边形的中心角，利用十二边形周长公式求解即可．
【详解】解：∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，解直角三角形，求出正十二边形的周长是解题的关键．
变式2-4．(2023·四川德阳·统考中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
答案:A
分析：如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，．
在正六边形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
变式2-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案:C
分析：根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．
【详解】
解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
则BD=，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，
，
则∠BFD=22.5°，
∴外接圆直径d=BF=，
根据题意知周长÷d==，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．
变式2-6．(2023·浙江丽水·统考中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．
答案:
分析：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，
关于O对称，
故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．
变式2-7．(2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
答案:
分析：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而
则
故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．
变式2-8．(2023·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．
答案:54
分析：设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．
【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，
∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等边三角形，
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等边△ABC≌等边△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键．
变式2-9．(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．
答案:
分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：如图，
设正六边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cs∠BAC=，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB=（mm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键．
变式2-10．(2023·上海·统考中考真题）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
答案:．
分析：由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．
【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，
在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，
∴BG=DI= FH=，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
∴由勾股定理得：AI=，
∴S=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．
变式2-11．(2023·广西梧州·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
答案:
分析：如图，连接 过作于 再求解正六边形的边长为 证明 再求解 再利用三角形的中位线定理可得答案.
【详解】解：如图，连接 过作于
正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为的中点，
同理：
六边形GHKLMN的周长是
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.
变式2-12．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
答案:(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
分析：（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
变式2-13．(2023·湖北随州·统考中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
答案:（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析．
分析：（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题；
（3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题．
【详解】解：（1）直角三角形的面积为：，
直角三角形斜边为：，
设直角三角形斜边上的高为，则
设直角三角形内切圆的半径为，则
，
故答案为：，1；
（2）①边长为的正底边的高为，面积为：
，
故答案为：；
②类比①中方法可知，
设点为正五边形的中心，连接，，
由①得，
过作于，，
故，，
故，从而得到：
．
（3）①是的切线，
过点作
，
是的高，
故答案为：；
②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，
连接，∵，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
考查题型三 与弧长公式有关的计算
典例3．(2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6πB．2πC．πD．π
答案:D
分析：先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．
变式3-1．(2023·浙江丽水·统考中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，
故选：C
【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
变式3-2．(2023·河北·统考中考真题）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
答案:A
分析：如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
变式3-3．(2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路（）的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度．
【详解】解：∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（）的长度为：，
故选C
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式
变式3-4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
答案:C
分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
由题意得：，
解得，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．
变式3-5．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是________（结果保留）
答案:
分析：如图，连接OD，OE，证明 可得 再证明 可得 再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴
∵与边AB相切于点D，
∴
∴
的长
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键．
变式3-6．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
答案:120°．
分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•2，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得＝2π•2，
解得α＝120，
即侧面展开图扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
【点睛】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意．
变式3-7．(2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
答案:(1)
(2)见解析
分析：（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
【详解】（1）解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
考查题型四 与扇形面积有关的计算
典例4．(2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
变式4-1．(2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，，
∴阴影部分面积为：，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
变式4-2．(2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
变式4-3．(2023·广西河池·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
答案:A
分析：根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
变式4-4．(2023·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，连接, ，
边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
变式4-5．(2023·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于半圆减去四边形的面积和弓形的面积即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
的半径为：
过点，根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
变式4-6．(2023·贵州黔西·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
答案:
分析：证明△OCG≌△OBE，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圆心角，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形边长为4，
∴AC=，
∴OC=
∵，
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．
变式4-7．(2023·山东聊城·统考中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为______________．
答案:120°##120度
分析：根据圆锥的底面积是其表面积的，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
【详解】解：设底面圆的半径为，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．
由题意得，
，
∵个圆锥体的底面积是其表面积的，
∴，
．
由得，
故．
由得：
，
解得．
故答案为：120°．
【点睛】此题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．
变式4-8(2023·山东东营·统考中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；
（2）过点O作于F，利用即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．
变式4-9．(2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
答案:(1)直线与相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积
分析：（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
变式4-10．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
答案:(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2
分析：（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．
【详解】（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
考查题型五 与圆锥侧面积有关的计算
典例5．(2023·山东济宁·统考中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
答案:D
分析：根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解．
【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故选D．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．
变式5-1(2023·山东东营·统考中考真题）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
由题意得：，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．
变式5-2．(2023·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
变式5-3．(2023·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2
答案:C
分析：由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：；故A正确；
圆柱的侧面积为：；故B正确；
圆锥的母线为：；故C错误；
圆锥的侧面积为：；故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
变式5-4．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
答案:A
分析：求出圆锥的表面积，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．
【详解】解：如图：
由勾股定理可知：圆锥的母线长，
设底圆半径为r，则由图可知，
圆锥的表面积：，
圆柱的表面积：，
∴组合体的表面积为：，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．
故选：A
【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．
变式5-5．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，从一个边长是的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为_______（用含的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______．
答案:
分析：先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径，则可得出答案．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
，
∵，这个扇形的面积为：，
设圆锥的底面圆半径为，则直径为：，则:，
解得，
∴．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了正多边形内角和定理，扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键．
变式5-6．(2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
答案: 216
分析：根据题意可确定，圆锥侧面展开图是半径为8的扇形，并且其弧长即为底面圆的周长，因而求出底面圆的周长即可，另外根据扇形的弧长公式即可直接求出展开之后的圆心角．
【详解】如图，由题意可知，AB=10，AO=8，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，
则该扇形展开后侧面是半径为10的扇形，其弧长即为底面圆的周长，
∴底面的周长为：，
根据弧长公式可得：，解得：，
故答案为：；216．
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开问题，理解圆锥侧面展开图形的性质以及基本定理是解题关键．
变式5-7．(2023·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Gegebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
答案:不认同，理由见详解
分析：根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．
【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，
乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，
∵，
∴，
故不认同小亮的说法．
【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．
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