沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第05讲相似三角形中的“A”字模型(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第05讲相似三角形中的“A”字模型(考点讲与练)(原卷版+解析)，共25页。

【考点剖析】
一．填空题（共2小题）
1．(2023秋•金山区期末）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝ ．
2．(2023秋•嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝ ．
二．解答题（共2小题）
3．(2023春•浦东新区校级期中）一把梯子如图所示，其中四边形AKLB是梯形．已知AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，AB＝0.5m，GH＝0.74m，求CD、EF的长．
4． 如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值．
5．如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2，
BD = 2DC，求AC的长．
4．(2023秋•松江区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当DE⊥BC时，求DE的长；
（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；
（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【过关检测】
1．(2023·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
2．(2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
3．(2023·上海嘉定·二模）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
4．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
第05讲 相似三角形中的“A”字模型（核心考点讲与练）
【基础知识】
【考点剖析】
一．填空题（共2小题）
1．(2023秋•金山区期末）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝ 1 ．
分析：利用A字模型相似三角形进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠ECB，
∴△EAF∽△EBC，
∴EAEB=AFBC，
∴13=AF3，
∴AF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
2．(2023秋•嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝ 52 ．
分析：根据已知∠BCE＝∠A，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E作EF⊥BC，垂足为F，可得△ABC∽△CEF，进而可得CF＝2EF，然后设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，最后再证明A字模型相似△BFE∽△BCD，从而解答即可．
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，AB=25，
∴AC=AC2−BC2=(25)2−22=4，
∵CD：AD＝1：3，
∴CD＝1，
∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，
∴△ABC∽△CEF，
∴ACBC=CFEF=42=2，
∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，
∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，
∴△BFE∽△BCD，
∴BFBC=EFCD，
∴2−2a2=a1，
∴a=12，
∴EF=12，CF＝1，
∴CE=EF2+CF2=(12)2+12=52，
故答案为：52．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A字模型相似是解题的关键．
二．解答题（共2小题）
3．(2023春•浦东新区校级期中）一把梯子如图所示，其中四边形AKLB是梯形．已知AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，AB＝0.5m，GH＝0.74m，求CD、EF的长．
分析：先证明△ACD'∽△AGH'，找到CD'，再利用梯形CGHD的中位线等于两底和的一半，找到EF的值．
【解答】解：延长KA、LB交于点P，过A作AL'∥BL交CD、EF、GH、KL于点D'、F'、H'、L'，
∵AB∥KL，
∴PAAK=PBBL．
又∵AC＝CE＝EG＝GK，BD＝DF＝FH＝HL，
∴PA4AC=PB4BD，
∴PAAC=PBBD．
∴AB∥CD．
同理得AB∥CD∥EF∥GH∥KL．
∴四边形AD'DB，D'F'FD，F'H'HF都为平行四边形边；
即AB＝D'D＝F'F＝H'H＝0.5m；GH＝0.74m，
∴GH'＝0.24m，
∵CD∥AH，
∴△ACD'∽△AGH'，
∴ACAG=CD'GH'，AG＝3AC，
∴CD'=13GH'＝0.24×13=0.08m，
CD＝0.08+0.5＝0.58．
∵EF为梯形CGHD的中位线，
∴EF=12（CDtGH）＝0.66m．
【点评】本题考查了梯形CGHD的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，解题的关键是掌握相似的判定．
4． 如图，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值．
【难度】★★
答案:．
解析：点作交于点．
，；
， ，
，，，
，的值为．
【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．
5．如图，在中，点D在线段BC上，，，AD = 2，
BD = 2DC，求AC的长．
【难度】★★
答案:．
解析：过点作交于点．
， ；
又，
， ，
．
， ．
又， ．
．
【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．
6．(2023秋•松江区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当DE⊥BC时，求DE的长；
（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；
（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．
分析：（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据DEBE=tan∠B=ACBC，即可求得答案；
（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•csB=23x，BD＝2BG=43x，DG＝DF＝BG=23x，AD＝AB﹣BD＝6−43x，根据△CDE∽CBD，得出CDCB=CECD=DEBD，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴AC=AB2−BC2=62−42=25，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
∠CDE=∠BDEDE=DE∠DEC=∠DEB，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵DEBE=tan∠B=ACBC，
∴DE2=254，
∴DE=5；
（2）∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE=12∠CDB=12×90°＝45°，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴tan∠CDE＝tan∠BAC=BCAC=425=255，
综上所述，∠CDE的正切值为1或255；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•csB=23x，
∴BD＝2BG=43x，DG＝DF＝BG=23x，
∴AD＝AB﹣BD＝6−43x，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴CDCB=CECD=DEBD，即CD4=4−xCD=x43x，
解得：CD＝3，x=74，
∴AD＝6−43x＝6−43×74=113，
故这时AD的长为113．
【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
【过关检测】
1．(2023·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
分析：（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．
【详解】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．(2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
答案:（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或
分析：（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
【详解】
解：（1）如图1，
在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，
∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴,
∴AM＝2CF＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴，
∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，
∴CF＝3，
当点M和B点重合时，
AB＝2CF，
∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，
如图2，
当0＜x＜3时，
作EG⊥BC于G，
由（1）知，
EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，
由得，，
∴，
∴y＝
＝
＝；
如图3，
当3＜x＜4.5时，
由得，

∴CN＝，
∴y＝
＝；
（3）如图4，
∵，
∴，
∴CG＝CB＝2，
∴GB＝CB﹣CG＝4，
∴BE＝5，
当BM＝BE＝5时，
9﹣2x＝5，
∴x＝2，
如图5，
当EM＝EB＝5时，
作EH⊥AB于H，
∴BM＝2BH＝2EG＝6，
∴9﹣2x＝6，
∴x=，
如图6，
当EM＝BM时，
作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH＝，cs∠MBH＝cs∠BEG＝，
∴BM＝，
∴9﹣2x＝，
∴x＝，
综上所述：x＝2或或．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．
3．(2023·上海嘉定·二模）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）
分析：（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．
（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（3）延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM=．理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM=∠BCG=30°，
∴tan∠BCM=．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
答案:（1）4；（2）
分析：（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；
（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可．
【详解】解：（1）∵平分，，∴．
在中，，，，∴．
在中，，，，∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
（2）∵点是线段的中点，∴．
∵，
∴
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．