沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第08讲锐角的三角比(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第08讲锐角的三角比(考点讲与练)(原卷版+解析)，共23页。

一．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边=ac．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA＝∠A的邻边除以斜边=bc．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
二．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【考点剖析】
一．锐角三角函数的定义（共5小题）
1．(2023秋•松江区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
2．(2023秋•永定区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB等于 ．
3．(2023春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB=34B．ctB=43C．sinB=45D．csB=45
4．(2023秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝ ．
5．(2023秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sinA的值是 ．
二．特殊角的三角函数值（共7小题）
6．(2023春•徐汇区校级期中）30°的 值等于33．
7．(2023秋•杨浦区期末）计算：cs245°﹣tan30°sin60°＝ ．
8．(2023秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝ ．
9．(2023秋•徐汇区期末）计算：sin60°+3tan30°⋅cs60°1−2ct45°+ct30°．
10．(2023秋•普陀区期末）计算：4sin260°−2sin30°−ct45°tan60°−2cs45°．
11．(2023秋•黄浦区期末）计算：tan30°2cs30°+ct245°﹣sin245°．
12．(2023秋•静安区期末）计算：tan45°sin60°⋅ct30°−(sin30°−1)2+2cs245°．
【过关检测】
一．选择题（共2小题）
1．(2023秋•闵行区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函数值为35的是（ ）
A．sinAB．csAC．tanAD．ctA
2．(2023秋•松江区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
二．填空题（共6小题）
3．(2023春•徐汇区校级期中）30°的 值等于33．
4．(2023秋•宝山区期末）计算：sin230°+cs245°＝ ．
5．(2023秋•浦东新区校级期末）计算：3ct60°+2sin45°＝ ．
6．(2023秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝ ．
7．(2023秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝ ．
8．(2023秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝ ．
9.（青浦2020一模16）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB=3，AC=4，那么ct∠AOE=______．

10．（虹口2020一模18）如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF翻折，使BF的对应线段B’F经过顶点A，交对角线BD于点P，当⊥AB时，AP的长为 ．

11.（闵行2020期末13）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么=______.
12．（虹口2020一模17）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上一动点，正方形 DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB的值为 ．
三．解答题（共13小题）
13．(2023•徐汇区校级模拟）计算：
（1）sin260°﹣tan30°•cs30°+tan45°； （2）2sin30°2sin60°−tan45°−32cs60°．
14．(2023•闵行区校级一模）计算：3tan30°−1cs60°+8cs45°+(1−tan60°)2
15．(2023秋•金山区期末）计算：sin45°−tan45°cs260°+2cs30°•sin60°．
16．(2023秋•长宁区期末）计算：ct30°−2sin60°−tan45°sin30°+cs245°．
17．(2023•宝山区模拟）计算：|2sin45°﹣tan45°|+cs30°−tan60°⋅cs45°ct30°．
18．(2023•灌云县模拟）计算：
（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45° （2）cs230°1+sin30°+tan260°
19．(2023秋•宝山区期中）求2sin60°−tan45°3ct60°+2cs60°⋅ct45°的值．
20．（2008秋•虹口区期末）求值：2cs230°−sin30°tan260°−4sin45°−4ct45°⋅cs45°
21.（静安2020一模19）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cs60°．
22.(2023育才10月考21）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．
23.（浦东四署2019期中21）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8．点D是AB边上一点，过点D作DE // BC，交边AC于E．过点C作CF // AB，交DE的延长线于点F．
（1）如果，求线段EF的长；
（2）求∠CFE正弦值．
24.（嘉定2020一模25）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB=∠APC（如图10），∠APB+∠BAC=180°，
求证：△PAB∽△PCA：
如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；
当∠BAC=45°，△ABC为等腰三角形时，求tan∠PBC的值.
25．（虹口2020一模25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF．过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．
（1）当点D在BC的延长线上时（如图13），如果CD=2，求tan∠FBC；
（2）当点D在BC的延长线上时（如图13），设，，求y关于x的函数
关系式（不写函数的定义域）；
（3）如果AG =8，求DE的长．
第08讲 锐角的三角比（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边=ac．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA＝∠A的邻边除以斜边=bc．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
二．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【考点剖析】
一．锐角三角函数的定义（共5小题）
1．(2023秋•松江区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
分析：根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则csA=ACAB=bc，
∴b＝ccsA，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
2．(2023秋•永定区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB等于 34 ．
分析：根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，
则sinB=ACAB=68=34，
故答案为：34．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键．
3．(2023春•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB=34B．ctB=43C．sinB=45D．csB=45
分析：根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC=AB2−AC2=52−42=3，
tanB=ACBC=43，
ctB=1tanB=34，
sinB=ACAB=45，
csB=BCAB=35，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握ctB=1tanB是解题的关键．
4．(2023秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝ 16 ．
分析：根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，
∴AB=BCcsB=414=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
5．(2023秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACBC=34，那么sinA的值是 45 ．
分析：根据题意设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：由于在Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC=34，
可设AC＝3k，则BC＝4k，
由勾股定理可得，AB=AC2+BC2=5k，
∴sinA=BCAB=45，
故答案为：45．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．
二．特殊角的三角函数值（共7小题）
6．(2023春•徐汇区校级期中）30°的 正切 值等于33．
分析：直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：30°的正切值等于33．
故答案为：正切．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
7．(2023秋•杨浦区期末）计算：cs245°﹣tan30°sin60°＝ 0 ．
分析：原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：cs245°﹣tan30°sin60°=12−33×32=12−12=0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．(2023秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝ 60° ．
分析：根据∠B的正弦值即可判断．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，
那么sinB=ACAB=32，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
9．(2023秋•徐汇区期末）计算：sin60°+3tan30°⋅cs60°1−2ct45°+ct30°．
分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：sin60°+3tan30°⋅cs60°1−2ct45°+ct30°
=32+3×33×121−2×1+3
=32+323−1
=33−1
=3+32．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
10．(2023秋•普陀区期末）计算：4sin260°−2sin30°−ct45°tan60°−2cs45°．
分析：原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式=4×(32)2−2×12−13−2×22
=4×34−1−13−2
=3−1−13−2
=13−2
=3+2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．(2023秋•黄浦区期末）计算：tan30°2cs30°+ct245°﹣sin245°．
分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：tan30°2cs30°+ct245°﹣sin245°
=332×32+1﹣（22）2
=13+1−12
=56．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．(2023秋•静安区期末）计算：tan45°sin60°⋅ct30°−(sin30°−1)2+2cs245°．
分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：tan45°sin60°⋅ct30°−(sin30°−1)2+2cs245°
=132×3−|12−1|+2×（22）2
=23−12+1
=76．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共2小题）
1．(2023秋•闵行区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函数值为35的是（ ）
A．sinAB．csAC．tanAD．ctA
分析：根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，
∴csA=ACAB=35，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别是解题的关键．
2．(2023秋•松江区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanAB．b＝cctAC．b＝csinAD．b＝ccsA
分析：根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则csA=ACAB=bc，
∴b＝ccsA，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
3．(2023春•徐汇区校级期中）30°的 正切 值等于33．
分析：直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：30°的正切值等于33．
故答案为：正切．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
4．(2023秋•宝山区期末）计算：sin230°+cs245°＝ 34 ．
分析：由特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（12）2+（22）2
=14+24
=34，
故答案为：34．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
5．(2023秋•浦东新区校级期末）计算：3ct60°+2sin45°＝ 3+2 ．
分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
【解答】解：3ct60°+2sin45°
＝3×33+2×22
=3+2，
故答案为：3+2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．(2023秋•青浦区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝ 6 ．
分析：根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，
∴BC＝ACtan∠A＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
7．(2023秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，那么AB＝ 16 ．
分析：根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，csB=14，BC＝4，
∴AB=BCcsB=414=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
8．(2023秋•黄浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，那么∠B＝ 60° ．
分析：根据∠B的正弦值即可判断．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果ACAB=32，
那么sinB=ACAB=32，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．
9.（青浦2020一模16）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB=3，AC=4，那么ct∠AOE=______．

答案:；
解析：解：如图，连接BD，在菱形ABCD中，O是AC的中点，∴O也是对角线的交点，且AC与BD垂直平分，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴，∴，在中，，,∴，∴ct∠AOE=
.
10．（虹口2020一模18）如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=，AB=9，AD=6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF翻折，使BF的对应线段B’F经过顶点A，交对角线BD于点P，当⊥AB时，AP的长为 ．

答案:；
解析：解：如图所示，若⊥AB，则，所以，设AF=4k，BF=5k,所以AB=3k=9，所以k=3，故AF=12，BF=15，又AD//BC，所以，所以，解得.
11.（闵行2020期末13）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么=______.
答案:
解析：解：由题意，得BD=BE=，，故答案为.
12．（虹口2020一模17）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上一动点，正方形 DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB的值为 ．
答案:；
解析：解：设正方形DEFG的边长为x，则由DE//AC，得，所以BE=2x，所以BF=3x，所以在Rt△GFB中，tan∠DGB=.
三．解答题（共13小题）
13．(2023•徐汇区校级模拟）计算：
（1）sin260°﹣tan30°•cs30°+tan45°；
（2）2sin30°2sin60°−tan45°−32cs60°．
分析：（1）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．
（2）代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：（1）原式=(32)2−33×32+1
=34−12+1
=54．
（2）原式=2×122×32−1−32×12
=13−1−34
=3+12−34
=32−14
【点评】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．
14．(2023•闵行区校级一模）计算：3tan30°−1cs60°+8cs45°+(1−tan60°)2
分析：代入特殊角的三角函数值即可．
【解答】解：原式＝3×33−112+8×22+(1−3)2
=3−2+2+3−1
＝23−1．
【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．
15．(2023秋•金山区期末）计算：sin45°−tan45°cs260°+2cs30°•sin60°．
分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：sin45°−tan45°cs260°+2cs30°•sin60°
=22−1(12)2+2×32×32
＝22−4+32
＝22−52．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．(2023秋•长宁区期末）计算：ct30°−2sin60°−tan45°sin30°+cs245°．
分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：ct30°−2sin60°−tan45°sin30°+cs245°
=3−2×32−112+(22)2
=3−（3−1）
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．(2023•宝山区模拟）计算：|2sin45°﹣tan45°|+cs30°−tan60°⋅cs45°ct30°．
分析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：原式＝|2×22−1|+32−3×223
=2−1+1−22
=2−12．
【点评】此题主要考查了特殊家的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．(2023•灌云县模拟）计算：
（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
（2）cs230°1+sin30°+tan260°
分析：（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解答】解：（1）原式=2×12+3×12−4×1
=1+32−4
=−32；
（2）原式=(32)21+12+（3）2
=3432+3
=72．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
19．(2023秋•宝山区期中）求2sin60°−tan45°3ct60°+2cs60°⋅ct45°的值．
分析：把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=2×32−13×33+2×12×1
=3−13+1
＝2−3．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
20．（2008秋•虹口区期末）求值：2cs230°−sin30°tan260°−4sin45°−4ct45°⋅cs45°
分析：分别把cs30°=32，sin30°=12，ct45°＝1，cs45°＝sin45°=22，tan60°=3代入原式计算即可．
【解答】解：原式=2×(32)2−12(3)2−4×22−4×1×22
=32−123−22−22
=13−22−22
＝3+22−22
＝3
【点评】此题比较简单，只要熟知特殊角度的三角函数值即可．
21.（静安2020一模19）先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cs60°．
答案:；
解析：解：原式＝＝． 当x=sin45°=，y=cs60°=时，原式＝．
22.(2023育才10月考21）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．
答案:；
解析：解：∵CD⊥AB，∴且，∴sin∠A=sin∠BCD，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=BD•AD=4∴CD=2，∴．
23.（浦东四署2019期中21）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8．点D是AB边上一点，过点D作DE // BC，交边AC于E．过点C作CF // AB，交DE的延长线于点F．
（1）如果，求线段EF的长；
（2）求∠CFE正弦值．
答案:（1）4；（2）；
解析：解：（1）∵ DE // BC，∴ ． 又∵ BC = 6，∴ DE = 2． ∵ DF // BC，CF // AB，∴ 四边形BCFD是平行四边形． ∴ DF = BC = 6．∴ EF = DF – DE = 4．（2）∵ 四边形BCFD是平行四边形， ∴ ∠B =∠F． 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8，利用勾股定理，得． ∴ ．∴ ．
24.（嘉定2020一模25）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB=∠APC（如图10），∠APB+∠BAC=180°，
求证：△PAB∽△PCA：
如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值；
当∠BAC=45°，△ABC为等腰三角形时，求tan∠PBC的值.
答案:（1）见解析；（2）4；（3）2或或1；
解析：（1）∵∠APB+∠PBA+∠PBA=180°，∠APB+∠BAC=180°， ∴∠BAC=∠PAB+∠PBA
∴∠PBA=∠PAC ∵∠APB=∠APC ∴△PAB∽△PCA；（2）∵△PAB∽△PCA ∴ ∴；∵∠APB=120°， ∴∠BAC=60°，∵∠ABC=90°，∴， ∴；

（3）∵∠BAC=45° ∴∠APB=135°=∠APC∴∠BPC=90°，tan∠BPC=，∵∠BAC=45°，△ABC是等腰三角形，∴BA=BC，CA=CB ,AB=AC ，∴tan∠PBC=2或或1.

25．（虹口2020一模25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF．过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．
（1）当点D在BC的延长线上时（如图13），如果CD=2，求tan∠FBC；
（2）当点D在BC的延长线上时（如图13），设，，求y关于x的函数
关系式（不写函数的定义域）；
（3）如果AG =8，求DE的长．
答案:
解析：（1）在Rt△BED中，∠EDB+∠EBD=90°,同理∠ADC+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠EBD即∠DAC=∠FBC，由sin∠ABC=可得tan∠ABC= ,在Rt△ABC中，AC=,
又∵CD=2,在Rt△ACD中，,∴,（2）∵AG∥BD, ∴,∴, ∴ ,∴,∵, ∴,∴, ∴,∴,由sin∠ABC=可得tan∠ABC=, ∴,∴,即;（3）①当点D在BC的延长线上时， ∵AG∥CB，∴，, ∴FC=1， ∴,∴，∴,②当点D在边BC上时，∵AG∥CB， ∴ ∴，∴FC=3,∴, ，；综上，.