沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第13讲二次函数中三角形的存在性(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第13讲二次函数中三角形的存在性(考点讲与练)(原卷版+解析)，共17页。
1. 知识内容：
在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：
（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；
（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边
（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：
．
解题思路：
利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）
解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．
【考点剖析】
题型一：二次函数中直角三角形的存在性
1.(2023嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；
（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．
题型二：函数中的等腰三角形分类讨论
2.(2023闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
题型二：函数中的等腰直角三角形分类讨论
3．(2023•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
【过关检测】
1.(2023宝山二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中.
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标.
2．(2023•浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结、，求的正切值；
（3）点在抛物线上，且，求点的坐标．
3．(2023春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，
①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；
②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标．
第13讲 二次函数中三角形的存在性（核心考点讲与练）
【基础知识】
1. 知识内容：
在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：
（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；
（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边
（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：
．
解题思路：
利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）
解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．
【考点剖析】
题型一：二次函数中直角三角形的存在性
1.(2023嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；
（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．
分析：
将点A和点B坐标代入解析式求解可得；
先求出点C坐标，从而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，据此知∠DBO=30°或60°，依据DO=BO•tan∠DBO求出得DO＝或3，从而得出答案；
（3）设P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分点B、点C和点P直角顶点三种情况分别求解可得．
【详解】
依题意得：，
解得：
∴抛物线的表达式是
（2）∵抛物线与轴交点为点
∴点的坐标是，又点的坐标是
∴

∴或
在直角△中，
∴或，∴或.
（3）由抛物线得：对称轴是直线
根据题意：设，又点的坐标是，点的坐标是
∴，，，
①若点为直角顶点，则即：解之得：，
②若点为直角顶点，则即：解之得：，
③若点为直角顶点，则即：解之得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
题型二：函数中的等腰三角形分类讨论
2.(2023闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
整体分析：
（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线顶点坐标；
（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，从而得到结论；
（3）令Q（x，y）且满足，由△ADQ是以AD为底的等腰三角形，得到QD2=QA2，从而得到x-2+2y=0．解方程组，即可得到结论．
满分解答：
解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，
得：，解得：．
∴抛物线的解析式是：，∴顶点坐标D（－1，4）．
（2）令y=0，则，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC中，tan∠OCB=．
∵AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．
又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．
（3）令Q（x，y）且满足，A(－3，0），D（－1，4）．∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即 ，化简得：x-2+2y=0．
由，解得：，，
∴点Q的坐标是（，），（，）．
题型二：函数中的等腰直角三角形分类讨论
3．(2023•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
分析：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y=−12x2+92；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH=12AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y=−12x2+92解得m=12或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，52）．
【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
0=9a+c4=a+c，解得a=−12c=92，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+92；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH=12AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y=−12x2+92的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
0=3k+b4=k+b，解得k=−2b=6，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH=12AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y=−12x2+92得：
﹣m+3=−12（2m﹣3）2+92，
解得m=12或m＝3（与P重合，舍去），
∴m=12，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3=52，
∴C（﹣2，52）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，52）
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．
【过关检测】
1.(2023宝山二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中.
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标.
分析：
（1）将A、C坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得a、b、c的值，求得抛物线解析式;
（2）求出直线BC的解析式为，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;
（3）设点P的坐标，分别以B、C、P为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理得到方程式进行求解.
【详解】
解：（1）根据对称轴x=-1,A（1,0），得出B为(-3,0)
依题意得：，解之得：，
∴抛物线的解析式为.
（2）∵对称轴为，且抛物线经过，∴
∴直线BC的解析式为. ∠CBA=45°
∵直线BD和直线BC的夹角为15º， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°
在△BOD，，BO=3
∴DO=或，∴CD=或.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则即：解之得：，
②若点为直角顶点，则即：解之得：，
③若点为直角顶点，则即：解之得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质是解题的关键.
2．(2023•浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结、，求的正切值；
（3）点在抛物线上，且，求点的坐标．
分析：
（1）将点，坐标代入抛物线即可；
（2）如图1，过点作于，分别证和是等腰直角三角形，可求出，的长，可在中，直接求出的正切值；
（3）此问需分类讨论，当时，过点作轴于点，设，由同角的三角函数值相等可求出的值，由对称性可求出第二种情况．
【解答】
解：（1）将点，代入抛物线中，
得，
解得，，，
抛物线的表达式为；
（2）在中，当时，，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
如图1，过点作于，
则，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
即的正切值为2；
（3）①如图2，当时，过点作轴于点，
设，则，
由（1）知，，
，
，
，
解得，（舍去），，
；
②取点关于轴的对称点，延长交抛物线于，则此时，
设直线的解析式为，将，代入，
得，，
解得，，，
，
联立，，
解得，或，
；
综上所述，点的坐标为或．
3．(2023春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，
①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；
②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标．
分析：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y=−12x2+92；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH=12AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y=−12x2+92解得m=12或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，52）．
【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
9a+c=0a+c=4，解得a=−12c=92，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+92；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH=12AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y=−12x2+92的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
3k+b=0k+b=4，解得k=−2b=6，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH=12AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y=−12x2+92得：
﹣m+3=−12（2m﹣3）2+92，
解得m=12或m＝3（与P重合，舍去），
∴m=12，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3=52，
∴C（﹣2，52）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，52）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．