沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第14讲二次函数中的平移问题(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第14讲二次函数中的平移问题(考点讲与练)(原卷版+解析)，共32页。
【基础知识】
一．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
二．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：
针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。
【考点剖析】
1．(2023普陀二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线向左平移个单位，设平移后的抛物线顶点为点．
①求的度数；
②将线段绕点B按逆时针方向旋转150°，点落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
2.(2023宝山二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=13x2+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，已知tan∠CAB=13．
（1）求顶点P和点B的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；
（3）如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．
【过关检测】
1．(2023普陀区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．
（1）求m、n的值和抛物线的表达式；
（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；
（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．
2(2023年金山一模24）已知：抛物线 y  x2  bx  c 经过点 A（0，1）和 B（1，4），顶点为点 P，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 Q.
求抛物线的解析式；
求∠PAQ 的度数；
把抛物线向上或者向下平移，点 B 平移到点 C 的位置，如果 BQ=CP，求平移后的抛物线解析式.

3(2023闵行一模24）. 如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．
（1）用含 的代数式表示顶点 的坐标：
（2）当顶点 在 △AOB 内部， 且 S△AOC=52 时，求抛物线的表达式：
（3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 △AOB 内， 求 的取值范围．
4(2023奉贤一模24）（本题满分 12 分, 第(1)小题满分 4 分, 第(2)小题每小题满分 4 分)
如图 11, 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于点 A(−1,0) 和 点 B(3,0), 与 y 轴交于点 C, 顶点为 D.
(1) 求该抛物线的表达式的顶点 D 的坐标;
(2) 将抛物线沿 y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为 M, 点 C 的对应点为 E.
①如果点 M 落在线段 BC 上, 求 ∠DBE 的度数;
②设直线 ME 与 x 轴正半轴交于点 P, 与线段 BC 交于点 Q, 当 PE=2PQ 时, 求平移后新抛物线的表达式.
图11
5．(2023•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．
6.【2023年静安区二模24】（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为点C．
求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
求∠ABC的正弦值；
将此抛物线向上平移，所得新抛物线
顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
（第24题图）
A
O
x
y
7.【2023年长宁二模24】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；
（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．
8.【2023年奉贤二模】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；
（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．
9.【2023年浦东新区二模24】（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；
（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．
第14讲 二次函数中的平移问题（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
二．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：
针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。
【考点剖析】
1．(2023普陀二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线向左平移个单位，设平移后的抛物线顶点为点．
①求的度数；
②将线段绕点B按逆时针方向旋转150°，点落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
答案:（1），
（2）①；②或
分析：（1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P的坐标；
（2）①连接，则轴，设交点为C，则，根据平移求得点的坐标，进而即可求得的度数，
②根据题意画出图形，过点M作轴于点D，过点N作轴于点E，根据△MNB的面积为1建立方程，即可求得点N的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过、
解得
∴∴
【小问2详解】
∵抛物线向左平移个单位，设平移后的抛物线顶点为点
∴连接，则轴，设交点为C，则
∵∴，在中，
∴
②过点M作轴于点D，过点N作轴于点E，
∵在中，，，
∴，，则
∵将线段绕点B按逆时针方向旋转150°，点落在点M处，
∴
∴在与△BMD中
∴∴，
∵∴∵将抛物线向左平移个单位，平移后的抛物线顶点
∴平移后的抛物线解析式为
设，则
∴，
∵∴
∴
∵∴解得或
∴N的坐标为或
【点评】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，平移问题，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
2.(2023宝山二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=13x2+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，已知tan∠CAB=13．
（1）求顶点P和点B的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；
（3）如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．
分析：（1）根据题意可画出函数图象，由tan∠CAB=13可得OCOA=13，令x＝0可得y＝﹣1，进而可得C（0，﹣1），即OC＝1，由此可得A（3，0），将点A的坐标代入抛物线解析式可求出b的值，化作顶点式可求出点P的坐标；令y＝0，可求出x的值，进而可得出点B的坐标；
（2）根据抛物线的平移可求出新抛物线，令x＝0，可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可求出△APM的面积；
（3）过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴，可得出MQ和PQ的长，进而可得出tan∠MPQ＝tan∠CAB=13，由△PMN与△ABC相似可得，PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，由此可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）根据题意可画出函数图象，
令x＝0可得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），即OC＝1．
在Rt△AOC中，tan∠CAB=13，
∴OCOA=13，
∴OA＝3，
∴A（3，0）．
将点A的坐标代入抛物线解析式可得，13×32+3b﹣1＝0，解得b=−23．
∴抛物线的解析式为：y=13x2−23x﹣1=13（x﹣1）2−43．
∴顶点P（1，−43），
令y＝0，即13（x﹣1）2−43=0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴B（﹣1，0）．
（2）将（1）中抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线y=13（x﹣3）2−43．
令x＝0，则y=53．
∴M（0，53）．
连接AP并延长交y轴于点D，
∴直线AP的解析式为：y=23x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△APM=12（xA﹣xP）•MD=12×（3﹣1）×（53+2）=113．
（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB=13，
∴AB＝4，AC=10．
如图，过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴，
∴MQ＝1，PQ53+43=3，
∴tan∠MPQ=MQPQ=13，PM=10．
∴∠MPQ＝∠CAB，
若△PMN与△ABC相似，则PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，
设N（1，t），则PN＝t+43，
∴10：（t+43）＝4：10或10：（t+43）=10：4，
解得t=76或t=83．
∴N（1，76）或（1，83）．
【点评】本题属于二次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角函数值，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识．第（3）问得出∠MPQ＝∠CAB是解题关键．
【过关检测】
1．(2023普陀区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．
（1）求m、n的值和抛物线的表达式；
（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；
（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．
（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；
（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t的值，则可得出答案．
【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，
解得m＝3，
∴A（3，0），
将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，
解得n＝2，
∴B（﹣3，﹣2），
把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∴DH＝，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACO+∠DCH＝90°，
又∵∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠ACO＝∠CDH，
∴tan∠ACO＝tan∠CDH，
∴，
由（1）可知OA＝3，OC＝2，
∴，
∴CH＝，
∴D（，﹣）；
（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，
则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，
设P（t，t﹣2），
∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），
∵点N在直线y＝﹣x+1上，
∴（t﹣3）+1，
∴t＝3或t＝﹣3，
∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．
2(2023年金山一模24）已知：抛物线 y  x2  bx  c 经过点 A（0，1）和 B（1，4），顶点为点 P，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 Q.
求抛物线的解析式；
求∠PAQ 的度数；
把抛物线向上或者向下平移，点 B 平移到点 C 的位置，如果 BQ=CP，求平移后的抛物线解析式.

解：（1）根据题意………………………………………………………（2分）
解得：，。
∴抛物线的表达式是…………………………………………………（2分）
（2），∴顶点P的坐标是（2，5）.
对称轴是直线x=2，点Q的坐标为（2，0）. …………………………………………（1分）
∴，，；……………………………………………………（1分）
∴，∴∠COM = 90°，…………………………………………………（2分）
（3）根据题意，BC∥PQ.
如果点C在点B的上方, PC∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形，
∴BQ=CP，BC=PQ=5，
即抛物线向上平移5个单位，平移后的抛物线解析式是.…………（2分）
如果点C在点B的下方，四边形BCQP是等腰梯形时BQ=CP，
作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分别为E、F.
根据题意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，
即抛物线向下平移3个单位，平移后的抛物线解析式是……………（2分）.
综上所述，平移后的抛物线解析式是或.
3(2023闵行一模24）. 如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．
（1）用含 的代数式表示顶点 的坐标：
（2）当顶点 在 △AOB 内部， 且 S△AOC=52 时，求抛物线的表达式：
（3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 △AOB 内， 求 的取值范围．
【小问1详解】解：拋物线 ，
∴顶点C的坐标为；
【小问2详解】解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，
∴A（5，0），B（0，5），
∵顶点 C 在 △AOB 内部， 且 S△AOC=52，
∴，
∴a=2，
∴拋物线的表达式为 ；
【小问3详解】解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，
∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 △AOB 内，
∴，
解得：1＜a＜3，
即 的取值范围为1＜a＜3．
4(2023奉贤一模24）（本题满分 12 分, 第(1)小题满分 4 分, 第(2)小题每小题满分 4 分)
如图 11, 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于点 A(−1,0) 和 点 B(3,0), 与 y 轴交于点 C, 顶点为 D.
(1) 求该抛物线的表达式的顶点 D 的坐标;
(2) 将抛物线沿 y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为 M, 点 C 的对应点为 E.
①如果点 M 落在线段 BC 上, 求 ∠DBE 的度数;
②设直线 ME 与 x 轴正半轴交于点 P, 与线段 BC 交于点 Q, 当 PE=2PQ 时, 求平移后新抛物线的表达式.
图11
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）①设直线x＝1交x轴于G，
∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，
∴将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），
∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），
∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，
∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；
②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，
由C（0，3），D（1，4）可知，直线CD与x轴夹角为45°，
∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，
∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，
∴4BH＝3，∴BH＝
∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），
∴平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2﹣．
5．(2023•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．
分析：（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；
（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；
（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．
【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．
∴C（5，3）；
（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，
∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；
（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：
设OC解析式为y＝kx，
∵（5，3），
∴3＝5k，
∴k＝，
∴OC解析式为y＝x，
令x＝2得y＝，即E（2，），
由（1）知b＝﹣4a，
∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴顶点坐标为（2，﹣9a），
抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，
而D（2，3），
∴＜﹣9a＜3，
∴﹣＜a＜﹣．
【点评】本题考查点的平移、二次函数图象等知识，表示顶点坐标列不等式是解题的关键．
6.【2023年静安区二模24】（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为点C．
求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
求∠ABC的正弦值；
将此抛物线向上平移，所得新抛物线
顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
（第24题图）
A
O
x
y
解：（1）∵抛物线经过点A（5，0），∴．（1分）
∴． （1分）
∴抛物线表达式为，顶点C的坐标为（）．（2分）
（2）设抛物线的对称轴与x轴、AB分别相交于点E、F，点E（3，0）．
∵点B（0，5），∴OA=OB=5, AB＝，∠OAB=45°，
∴EF=AE=2，CF=6．（1分）
∴．（2分）
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵BC=，∴．（1分）
∴．∴ ．（1分）
（3）∵，∴Rt△AEC∽Rt△AHB，∴∠ACE=∠A
∵△DCA与△ABC相似，∴或．（1分）
∴或．∴CD=或CD=6．（1分）
∵抛物线和y轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，
∴平移后的抛物线的表达式为或．（1分）
7.【2023年长宁二模24】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；
（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．
答案:（1）；（2）m＝4；（3）
分析：（1）由待定系数法即可求解；
（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；
（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，−t＋4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．
【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得
故抛物线的表达式为；
（2）令x=0，y=4
∴C（0，4）
当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4）
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，
则平移后抛物线再过点C时，m＝4；
（3）设点P的坐标为（t，) ，
设直线PA的表达式为y＝kx+b，
代入A、P坐标得，解得，
∴直线PA的表达式为y＝（）x，
令x=0，y=
故点E的坐标为（0，﹣t+4），
而点C（0，4），
∵∠PCE＝∠PEC，
则点P在CE的中垂线上，
由中点公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），
解得t＝1（舍去）或，
故点P的坐标为．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．
8.【2023年奉贤二模】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；
（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．
答案:（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．
分析：（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；
（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；
（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．
【详解】解：（1）∵B（0，2），
∴OB＝2，
∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，
∴A（4，0），
∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
（2）设直线AB的解析式是y＝mx＋n，
将A（4，0），B（0，2）代入得：
，解得，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x＋2，
∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），
∴C′（1＋m，﹣），
∵C′（1＋m，﹣）在直线AB上，
∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，
∴m＝4；
（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，
∴B′（4，2），
∵A（4，0），
∴直线AB′为x＝4，
点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：
①F在A上方，如图：
过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，
∵B（0，2），A（4，0），
∴tan∠BAO＝，
∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，
∴tan∠ACF＝，即，
而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，
∴△MCG∽△HGA，
∴，
∴MC＝GH，MG＝2AH，
设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，
∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，
解得m＝2.8，n＝0.9，
∴G（28，0.9），
又C，
∴直线GC解析式为：y＝x﹣，
令x＝4得y＝
∴F（4，），
②F在A下方，
延长AC交y轴于D，过C作CF//x轴交直线x＝4于F，
∵A（4，0），C（1，﹣1.5），
∴直线AC解析式为y＝x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∵B（0，2），
∴B，D关于x轴对称，
∴∠BAO＝∠DAO，
若∠ACF＝∠BAO，
则∠ACF＝∠DAO，
∴CF//x轴，
∴F
综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9.【2023年浦东新区二模24】（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；
（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．
分析：（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；
（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．
【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），
得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，
∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．
（2）∵直线与x轴交于点B，
∴点B的坐标是（4，0）．
①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，
此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．
②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，
此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．
（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．
∵DP∥x轴，
∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴P（2，n）．
∵点P在直线BC上，
∴．
∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．
∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．
∴MC∥OB，
∴∠MCP＝∠OBC．
在Rt△OBC中，，
由题意得：OC＝2，，
∴．
即∠MCP的正弦值是．