沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第15讲二次函数中相似三角形的存在性(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第15讲二次函数中相似三角形的存在性(考点讲与练)(原卷版+解析)，共39页。
二次函数背景下的相似三角形考点分析：
1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；
2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；
3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；
4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；
5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；
6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。
【考点剖析】
1．(2023春•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D，点C为抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠BAD的正切值；
（3）点P在抛物线上，若∠PAC＝∠BAD，求点P的坐标．
（4）联结BC，延长DB交x轴于点E，点Q是直线y＝x﹣3上的动点，如果△QBC与△AED是相似三角形，求点Q的坐标．
2．(2023春•杨浦区校级月考）已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=−34x+92与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P在对称轴上，且△PAM与△ABD相似，求点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
4．(2023秋•徐汇区期末）如图，抛物线yx2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；
（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．
5．(2023•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
【过关检测】
1.(2023青浦一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
2.(2023嘉定一模24）（12分）(2023秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；
（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．
3（202崇明一模）24. 如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．
4.(2023宝山一模） 已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．(2023静安区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
6.(2023年宝山二模24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；
（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．
7. (2023崇明二模24）（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
第15讲二次函数中相似三角形的存在性（核心考点讲与练）
【基础知识】
二次函数背景下的相似三角形考点分析：
1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；
2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；
3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；
4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；
5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；
6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。
【考点剖析】
1．(2023春•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D，点C为抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠BAD的正切值；
（3）点P在抛物线上，若∠PAC＝∠BAD，求点P的坐标．
（4）联结BC，延长DB交x轴于点E，点Q是直线y＝x﹣3上的动点，如果△QBC与△AED是相似三角形，求点Q的坐标．
分析：（1）用待定系数法即得抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）求出△ABD三边长，可判断△ABD是直角三角形，即可得tan∠BAD=BDAB=13；
（3）过P作PM⊥x轴于M，设P（m，m2﹣2m﹣3），根据∠PAC＝∠BAD，有tan∠PAC=13，分两种情况列方程即可得答案；
（4）可得∠CBA＝∠DAE，即知Q在B上方，①当BCAE=BQAD时，106=2m25，②当BCAD=BQAE时，1025=2m6，分别解方程可得Q坐标为（53，−43）或（3，0）．
【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
9+3b+c=0c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
又∵A（3，0），B（0，﹣3），
∴AD=(3−1)2+(0+4)2=25，
BD=(0−1)2+(−3+4)2=2，
AB=(3−0)2+(0+3)2=32，
∴AB2+BD2＝（32）2+（2）2＝20，AD2＝（25）2＝20，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴tan∠BAD=BDAB=232=13；
（3）过P作PM⊥x轴于M，如图：
设P（m，m2﹣2m﹣3），
①当P在x轴上方时，PM＝m2﹣2m﹣3，AM＝3﹣m，
由（2）知tan∠BAD=13，
又∠PAC＝∠BAD，
∴tan∠PAC=13，
∴PMAM=13，即m2−2m−33−m=13，
解得m＝3（增根，舍去）或m=−43，
∴P（−43，139），
②当P在x轴下方时，P'M'＝﹣m2+2m+3，AM'＝3﹣m，
同理可得−m2+2m+33−m=13，
解得m＝3（舍去）或m=−23，
∴P'（−23，−119），
综上所述，P的坐标为（−43，139）或（−23，−119）；
（4）如图：
由y＝x2﹣2x﹣3可得C（﹣1，0），
又A（3，0），B（0，﹣3），
∴tan∠CBO=OCOB=13=tan∠BAD，∠OBA＝45°＝∠OAB，
∴∠CBA＝∠DAE，
∵△QBC与△AED是相似三角形，
∴Q在B上方，且BCAE=BQAD或BCAD=BQAE，
由B（0，﹣3），D（1，﹣4）得直线BD解析式为y＝﹣x﹣3，令y＝0得x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
∵A（3，0），D（1，﹣4），
∴AE＝6，AD＝25，
设Q（m，m﹣3），
∵B（0，﹣3），C（﹣1，0），
∴BC=10，BQ=m2+(m−3+3)2=2m，
①当BCAE=BQAD时，
∴106=2m25，
解得m=53，
∴Q（53，−43），
②当BCAD=BQAE时，
1025=2m6，
解得m＝3，
∴Q（3，0），
综上所述，Q坐标为（53，−43）或（3，0）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定，勾股定理的应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
2．(2023春•杨浦区校级月考）已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=−34x+92与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P在对称轴上，且△PAM与△ABD相似，求点P的坐标．
分析：（1）由已知可得，BC上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线y=−34x+92与上，代入后求解可以得出答案；
（2）由A、D两点坐标，用待定系数法即可得出答案；
（3）由题目可知∠B＝90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，而∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况，分类画出图形即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3），
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3，
∵y=−34x+92与BC边相交于点D，
∴−34x+92=3，
解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，3）；
（2）∵若抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，
∴36a+6b=04a+2b=3，
解得：a=−38b=94，
∴抛物线的解析式y=−38x2+94x；
（3）如图：
抛物线y=−38x2+94x的对称轴为x＝3，设对称轴x＝3与x轴交于点P1，
∴BA∥MP1，
∴∠BAD＝∠AMP1．
①∵∠AP1M＝∠ABD＝90°，
∴△ABD∽△MP1A，
∴P1（3，0），
②当∠MAP2＝∠ABD＝90°时，△ABD∽△MAP2，
∴∠AP2M＝∠ADB，
∵AP1＝AB＝3，∠AP1P2＝∠ABD＝90°，
∴△AP1P2≌△ABD（AAS），
∴P1P2＝BD＝4，
∵点P2在第四象限，
∴P2（3，﹣4）．
答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，矩形性质及应用，相似三角形判定与性质等相关知识，解题的关键是根据已知画出图形及分类讨论思想的应用．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
分析：（1）由待定系数法可求出抛物线的解析式，当x＝0时，可求出点C的坐标；
（2）证出∠BCD＝90°．由锐角三角函数的定义可得出答案；
（3）证出∠ACB＝∠DBO．分两种情况，由相似三角形的判定与性质可得出BP的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
当x＝0时，y＝﹣3．
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4）．
∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），
∴BC=32，DC=2，BD=25．
∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．
∴∠BCD＝90°．
∴tan∠CBD=DCBC=232=13．
（3）∵tan∠ACO=AOOC=13，
∴∠ACO＝∠CBD．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．
即：∠ACB＝∠DBO．
∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．
（i）当ACCB=DBBP时，
∴1032=25BP．
∴BP＝6．
∴P（﹣3，0）．
（ii）当ACCB=BPDB时，
∴1032=BP25．
∴BP=103．
∴P（−13，0）．
综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（−13，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4．(2023秋•徐汇区期末）如图，抛物线y=−43x2+103x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；
（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．
分析：（1）求出A、B点的坐标，用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）由题意可知△BED是直角三角形，设C（t，0），分两种情况讨论①当∠BED＝90°，时，BE∥AC，此时E（t，2），由此可求t=52；②当∠EBD＝90°时，过点E作EQ⊥y轴交于点Q，可证明△ABO∽△BEQ，则AOBQ=BOEQ，可求E（t，2+32t），再由E点在抛物线上，则可求t=118，进而求C点坐标；
（3）作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，则有∠BQO＝∠BED，在Rt△BOQ中，BQ2＝4+（3﹣BQ）2，求出BQ=136，QO=56，则tan∠BQO＝tan∠BEG=125，设C（t，0），则D（t，−23t+2），E（t，−43t2+103t+2），则有125=t−43t2+103t，求出t=3516，即可求S△BDES△CDA=2t23−t=1225104．
【解答】解：（1）令y＝0，则−43x2+103x+2＝0，
∴x=−12或x＝3，
∴A（3，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴b=23k+b=0，
∴k=−23b=2，
∴y=−23x+2，
∵y=−43x2+103x+2=−43（x−54）2+4912，
∴M（54，4912）；
（2）∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝90°，
∴△BED是直角三角形，
设C（t，0），
如图1，当∠BED＝90°，时，BE∥AC，
∴E（t，2），
∴−43t2+103t+2＝2，
∴t＝0（舍）或t=52，
∴C（52，0）；
如图2，当∠EBD＝90°时，
过点E作EQ⊥y轴交于点Q，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠QBE＝90°，
∴∠QBE＝∠BAO，
∴△ABO∽△BEQ，
∴AOBQ=BOEQ，即3BQ=2t，
∴BQ=32t，
∴E（t，2+32t），
∴2+32t=−43t2+103t+2，
∴t＝0（舍）或t=118，
∴C（118，0）；
综上所述：C点的坐标为（118，0）或（52，0）；
（3）如图3，作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，
∴BQ＝AQ，
∴∠BQA＝∠QAB，
∵∠BED＝2∠OAB，
∴∠BQO＝∠BED，
在Rt△BOQ中，BQ2＝BO2+OQ2，
∴BQ2＝4+（3﹣BQ）2，
∴BQ=136，
∴QO=56，
∴tan∠BQO=125，
∴tan∠BEG=125，
设C（t，0），则D（t，−23t+2），E（t，−43t2+103t+2），
∵BG＝t，DE=−43t2+4t，AC＝3﹣t，DC=−23t+2，EG=−43t2+103t，
∴125=t−43t2+103t，
∴t=3516，
∴S△BDE=12ED•BG，
S△CDA=12AC•CD，
∴S△BDES△CDA=(−43t2+4t)t(3−t)(−23t+2)=2t23−t=1225104．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质与判定，分类讨论，数形结合是解题的关键．
5．(2023•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
分析：（1）将A（5，0）代入y＝x2+bx+5可得表达式，配方即得顶点坐标；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；
（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）将A（5，0）代入y＝x2+bx+5得：
0＝25+5b+5，解得b＝﹣6，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点C的坐标为（3，﹣4）；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，如图：
抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴交于B（0，5），
设BC解析式为y＝mx+n，
将B（0，5），C（3，﹣4）代入得：
5=n−4=3m+n，解得m=−3n=5，
∴BC解析式为y＝﹣3x+5，
令y＝0得x=53，
∴F（53，0），
∴AF＝OA﹣OF=103，
∵B（0，5），A（5，0），
∴OA＝OB＝5，AB＝52，∠BAO＝45°，
∴AE＝AF•cs45°=523=EF，
∴BE＝AB﹣AE=1023，
∴BF=BE2+EF2=5103，
∴sin∠ABC=EFBF=5235103=55；
（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设D（3，m），则平移后的新抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2+m，
且CD＝m﹣（﹣4）＝m+4，AD=m2+4，AC=(5−3)2+(0+4)2=25，AB＝52，BC＝310，
若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，但AC对应边不能是AC，
故分三种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图：
ABDC=BCCA=ACAD，即52m+4=31025=25m2+4，
解得：m=−23，
∴D（3，m），
∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）2−23=x2﹣6x+253，
②若△ABC∽△DAC，
则ABAD=ACCD=BCAC，即52m2+4=25m+4=31025，无解，
③若△ABC∽△ACD，如图：
ABAC=ACAD=BCCD，即5225=25m2+4=310m+4，
解得m＝2，
∴D（3，2），
∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）2+2＝x2﹣6x+11；
综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+253或y＝x2﹣6x+11．
【点评】本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，难度较大，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．
【过关检测】
1.(2023青浦一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
当x＝0时，y＝﹣3．
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4）．
∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），
∴BC＝，DC＝，BD＝．
∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．
∴∠BCD＝90°．
∴tan∠CBD＝．
（3）∵tan∠ACO＝，
∴∠ACO＝∠CBD．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．
即：∠ACB＝∠DBO．
∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．
（i）当时，
∴．
∴BP＝6．
∴P（﹣3，0）．
（ii）当时，
∴．
∴BP＝．
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）．
2.(2023嘉定一模24）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；
（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图像与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
∵BC//x轴，
∴点B的纵坐标是﹣2，
∵点A、B两点在直线y＝x上，点A的横坐标是2，
∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣4，﹣2），
∵这个二次函数的图像也经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），
∴，
解这个方程组，得 a＝，b＝1，
∴二次函数的解析式是y＝+x﹣2；
（2）根据（1）得，二次函数y＝+x﹣2图像的对称轴是直线x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣2），
∴OB＝2，BD＝2，
∵BC//x轴，
∴∠OBD＝∠BOE，
∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有可能以下两种：
①当时，△BOD∽△OBE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去，
②当时，△BOD∽△OEB，
∴，
∴OE＝10，
又点E在x轴的负半轴上，
∴点E的坐标为 （﹣10，0）；
（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，
根据（1）得，二次函数的解析式是y＝+x﹣2的顶点坐标为M（﹣2，﹣3），
设直线AM的解析式为y＝kx+m，
，
解得k＝1，m＝﹣1，
∴直线AM的解析式为y＝x﹣1，
设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，
则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），
∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，
∵∠OQP＝∠HOC，
∴∠HOC＝45°，
∵点C的坐标为（0，﹣2），
∴CQ＝1，
∴HC＝HQ＝，
又MQ＝2，
∴MH＝MQ﹣HQ＝，
∴tan∠AMC＝．
3（202崇明一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
（3）如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．
【小问1详解】解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+3，
∵y=−x2+x+3=−(x-)2+，
∴此抛物线对称轴为x=，
顶点坐标为(，)；
【小问2详解】解：设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（4，0），B（0，3）代入得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=，
∵M（m，0），MN⊥x轴，
∴N（m，−m2+m+3），P（m，），
∴NP=−m2+3m，OB=3，
∵NP∥OB，且以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
∴NP= OB，即−m2+3m=3，
整理得：m2-4m+4=0，
解得：m=2；
【小问3详解】∵A（4，0），B（0，3），P（m，），
∴AB=5，BP=，
而NP=−m2+3m，
∵PN∥OB，
∴∠BPN=∠ABO，
当时，△BPN∽△OBA，
即，
整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，
此时M点的坐标为（，0）；
当时，△BPN∽△ABO，
即，
整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，
此时M点的坐标为（3，0）；
综上所述，点M的坐标为（，0）或（3，0）．
4.(2023宝山一模） 已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【小问1详解】解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
【小问2详解】解：如图所示：
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴△AOC~△DCB；
【小问3详解】解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
5．(2023静安区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
分析：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；
（3）求出P点坐标（，0），设C（t，0），当∠ABC＝∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，
∴4+2b＝0，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，
∴m＝3，
∴B（﹣1，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2；
（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），
∴AD＝，AB＝2，BC＝3，
∵AB2＝AD2+BC2，
∴△ABD是直角三角形，
∴tan∠ABD＝＝；
（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝﹣2x+1，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0），
设C（t，0），
如图1，当∠ABC＝∠APB时，△ABC∽△APB，
∴∠ACB＝∠ABP
过B点作BQ⊥x轴交于点Q，
∴tan∠BCQ＝＝，
∴CQ＝9，
∴CO＝10，
∴C（﹣10，0）；
当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，
此时C（，0）；
综上所述：C点坐标为（﹣10，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．
6.(2023年宝山二模24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；
（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；
∴＝2，
∴D（﹣3，2）；
（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，
∴E（﹣2，3），
∴S△ODE＝9﹣﹣＝；
（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），
∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，
∴∠ABC＝∠OCD＝45°，
∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，
∴分两种情况讨论：
①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，
∴，
∴，
∴PC＝2，
∴P（0，1），
②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，
∴，
∴，
∴PC＝9，
∴P（0，8）．
∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．
7. (2023崇明二模24）（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴﹣4a＝﹣4，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．
（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，
∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4
整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得m＝2，
∴D（2，﹣6）．
（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，
∵DF∥AE，D（2，﹣6）
∴F（1，﹣6），
∴DF＝1，
∴AE＝1，
∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．
如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，
∵点D与点F到x轴的距离相等，
∴点F的纵坐标为6，
当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，
解得x＝﹣2或5，
∴F（﹣2，6）或（5，6），
设E（n，0），则有＝或＝，
解得n＝1或8，
∴E（1，0）或（8，0），
，综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．