沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第16讲二次函数中的角相等问题(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第16讲二次函数中的角相等问题(考点讲与练)(原卷版+解析)，共29页。

对于等角问题，往往有以下解决路径：
1利用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；
2将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；
3利用角平分线的相关性质定理。
【考点剖析】
1．(2023•浦东新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y=−12x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
2．(2023春•静安区期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝1，交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D为此抛物线的顶点，证明：∠CDB＝∠CAB；
（3）在x轴上是否存在一点M，以及抛物线上一点N，使得以M、N、B、C四点构成的四边形为平行四边形？如果有，请直接写出点M的坐标；如果没有，请说明理由．
3．(2023•黄浦区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，直线y=12x+b经过点A，交抛物线的对称轴于点E．
（1）求△ABE的面积；
（2）联结EC，交x轴于点F，联结AC，若S△AEFS△AFC=34，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点P是直线AE上一点，且∠EPB＝∠ECB，求点P的坐标．
4．(2023•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB＝∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
【过关检测】
1.(2023长宁一模24）抛物线与 轴相交于两点 (点在点左侧), 与轴交于点, 其顶点的纵坐标为 4．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 的正切值；
（3）点在线段的延长线上, 且 , 求 的长．
2.(2023黄埔一模24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标
（2）如果，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
3.(2023年松江一模24题）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．
4.(2023年长宁二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；
（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．
5.(2023年杨浦二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
第16讲 二次函数中的角相等问题（核心考点讲与练）
【基础知识】
对于等角问题，往往有以下解决路径：
1利用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；
2将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；
3利用角平分线的相关性质定理。
【考点剖析】
1．(2023•浦东新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y=−12x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
分析：（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出EC，BF的长，进而得出答案；
（3）分别利用①点P在x轴上方，②点P在x轴下方，分别得出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c
得0=36a−12+c3=c，
解得：a=14c=3，
∴抛物线的解析式为：
y=14x2﹣2x+3
=14（x2﹣8x）+3
=14（x﹣4）2﹣1，
∴D（4，﹣1）；
（2）可得点E（3，0），
OE＝OC＝3，∠OEC＝45°，
过点B作BF⊥CD，垂足为点F
在Rt△OEC中，EC=OEcs∠CEO=32，
在Rt△BEF中，BF＝BE•sin∠BEF=322，
同理，EF=322，
∴CF＝32+322=922，
在Rt△CBF中，tan∠BCD=BFCF=13；
（3）设点P（m，−12m+3）
∵∠PEB＝∠BCD，
∴tan∠PEB＝tan∠BCD=13，
①点P在x轴上方
∴−12m+3m−3=13，
解得：m=245，
∴点P（245，35），
②点P在x轴下方
∴12m−3m−3=13，
解得：m＝12，
∴点P（12，﹣3），
综上所述，点P（245，35）或（12，﹣3）．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及锐角三角函数关系的应用，正确分类讨论是解题关键．
2．(2023春•静安区期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝1，交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D为此抛物线的顶点，证明：∠CDB＝∠CAB；
（3）在x轴上是否存在一点M，以及抛物线上一点N，使得以M、N、B、C四点构成的四边形为平行四边形？如果有，请直接写出点M的坐标；如果没有，请说明理由．
分析：（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求出线段CD，BC，BD的长度，证明ABDC是直角三角形，再求出两个角对应的正切值，从而证明两个角相等；
（3）按照对边平行进行讨论，根据对边相等或者对角线互相平分进行计算，也可结合图象判断．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），
且对称轴为直线x＝1，
∴a−b+c=0c=3−b2a=1，
解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4），
∴CD=(1−0)2+(4−3)2=2，
BD=(1−3)2+(4−0)2=25，
CB=32+32=32，
∵BC2+CD2＝（32）2+（2）2＝20，
BD2＝（25）2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠tan∠CDB=BCCD=322=3，
∵tan∠CAB=OCOA=3，
∴∠CDB＝∠CAB；
（3）解：①当BM∥CN时，如图：
∵对称轴为直线x＝1，C （0，3），
∴N（2.3），CN＝2，
∵B（3，0），
∴CN＝BM，
∴BM＝2，
当M点在B点左侧时，M1（1，0），
当M点在B点右侧时，M2（5，0），
∴M1（1，0）或M2（5，0）；
②当CM∥BN时，如图：
CN与BM互相平分，N点和C点纵坐标互为相反数，
可得N点纵坐标为﹣3，
把y＝﹣3代入解析式得：﹣x2+2x+3﹣3，
解得：x1=7+1，x2=−7+1，
所以N1的横坐标为7+1．，N2的横坐标为−7+1，
由平行四边形对角线互相平分可得−7+1+0＝3+xM或7+1+0＝3+xM，
解得xN=−7−2或xN=7−2，
所以M3（7−2，0）或M4（−7−2，0）．
综上所述：M1（1，0）或M2（5，0）或M3（7−2，0）或M4（−7−2，0）．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，用待定系数法求二次函数解析式，坐标系中线段长度及角的正切值的计算，平行四边形的性质，证明△BDC是直角三角形以及利用平行四边形对角线互相平分是解题的关键．
3．(2023•黄浦区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，直线y=12x+b经过点A，交抛物线的对称轴于点E．
（1）求△ABE的面积；
（2）联结EC，交x轴于点F，联结AC，若S△AEFS△AFC=34，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点P是直线AE上一点，且∠EPB＝∠ECB，求点P的坐标．
分析：（1）将A（﹣2，0）代入y=12x+b可得b＝1，由抛物线y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x=−−2a2a=1，在y=12x+1中，令x＝1可得E（1，32），根据A（﹣2，0），B关于对称轴直线x＝1对称，即知B（4，0），从而可得S△ABE=12AB•|yE|=92；
（2）过E作EK⊥y轴于K，由S△AEFS△AFC=34，OF∥EK，可得OKOC=EFCF=34，即得C（0，﹣2），用待定系数法得抛物线的表达式为y=14x2−12x﹣2；
（3）过B作BP∥CE交直线AE于P，以B为圆心，BP为半径作圆与直线AE另一交点为P'，直线AE为y=12x+1，用待定系数法可得直线BC为y=12x﹣2，即知AE∥BC，从而四边形ECBP是平行四边形，有∠ECB＝∠EPB，P是满足题意的点，由平移可得P（5，72），因BP＝BP'，所以∠EP'B＝∠EPB＝∠ECB，P'是满足题意的点，设P'（m，12m+1），可得（5﹣4）2+（72−0）2＝（m﹣4）2+（12m+1）2，即可解得P'（35，1310）．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y=12x+b得：
﹣1+b＝0，
解得b＝1，
∴y=12x+1，
抛物线y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
在y=12x+1中，令x＝1得y=32，
∴E（1，32），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B两点，
∴A（﹣2，0），B关于对称轴直线x＝1对称，
∴B（4，0），
∴AB＝6，
∴S△ABE=12AB•|yE|=12×6×32=92，
答：△ABE的面积是92；
（2）过E作EK⊥y轴于K，如图：
∵S△AEFS△AFC=34，
∴EFCF=34，
∵OF∥EK，
∴OKOC=EFCF=34，
由（1）知E（1，32），
∴OK=32，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
把A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+c得：
4a+4a+c=0c=−2，
解得a=14c=−2，
∴抛物线的表达式为y=14x2−12x﹣2；
（3）过B作BP∥CE交直线AE于P，以B为圆心，BP为半径作圆与直线AE另一交点为P'，如图：
由（1）（2）知直线AE为y=12x+1，C（0，﹣2），B（4，0），
设直线BC为y＝tx﹣2，将B（4，0）代入得：
4t﹣2＝0，
解得t=12，
∴直线BC为y=12x﹣2，
∴AE∥BC，
∵BP∥CE，
∴四边形ECBP是平行四边形，
∴∠ECB＝∠EPB，
∴P是满足题意的点，
由C（0，﹣2）平移至B（4，0）与E（1，32）平移至P方式相同，可得P（5，72），
∵BP＝BP'，
∴∠EP'B＝∠EPB＝∠ECB，
∴P'是满足题意的点，
设P'（m，12m+1），
∵BP＝BP'，
∴（5﹣4）2+（72−0）2＝（m﹣4）2+（12m+1）2，
解得m＝5（与P重合，舍去）或m=35，
∴P'（35，1310），
综上所述，点P的坐标为（5，72）或（35，1310）．
【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形、等腰三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
4．(2023•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB＝∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m＞0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
分析：（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD＝90°即可解决问题．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，由∠PAB＝∠DAC，推出tan∠PAB＝tan∠DAC=PHAH=13．接下来分两种情形，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），
则有−9−3b+c=0c=3，
解得b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4），
∴AD=(−3+1)2+(0−4)2=25，
CD=(0+1)2+(3−4)2=2，
AC=(−3−0)2+(0−3)2=32，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC=CDAC=13．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．
∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设P（a，﹣a2﹣2a+3），可得PH＝|﹣a2﹣2a+3|，AH＝a+3，
∵∠PAB＝∠DAC，
∴tan∠PAB＝tan∠DAC=PHAH=13．
①当a+3＝3（﹣a2﹣2a+3），解得a=23或﹣3（舍弃），
∴P（23，119），
过点P作x轴的平行线与抛物线交于点N，则点N与点P关于直线x＝﹣1对称，
根据对称性可知N（−83，119），
∴平移的距离为103．
②当a+3＝﹣3（﹣a2﹣2a+3），解得a=43或﹣3（舍弃），
∴P（43，−139），
过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，则点Q与点P关于直线x＝﹣1对称，
根据对称性可知Q（−103，−139），
∴平移的距离为143，
综上所述，平移的距离为103或143．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【过关检测】
1.(2023长宁一模24）抛物线与 轴相交于两点 (点在点左侧), 与轴交于点, 其顶点的纵坐标为 4．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 的正切值；
（3）点在线段的延长线上, 且 , 求 的长．
【详解】解：（1）把点代入得：
当时，
顶点的纵坐标为 4．
故抛物线的表达式为
（2）过点B作交于E点，
令
则

故，


（3）过点D作轴，过点A作，



当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题．
2.(2023黄埔一模24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标
（2）如果，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标
【小问1详解】解：∵二次函数y=ax2−3ax−4a，
∴对称轴是 ，
∵A(−1，0)，∵1+1.5=2.5，∴1.5+2.5=4，∴B(4，0)；
【小问2详解】∵二次函数y=ax2−3ax−4a，C在y轴上，∴C的横坐标是0，纵坐标是−4a，
∵y轴平行于对称轴，∴ ，∴，∵ ，∵MD=，
∵M的纵坐标是+∵M的横坐标是对称轴x，∴ ，
∴+=，
解这个方程组得： ，
∴y=ax2−3ax−4a= x2-3×（）x-4×（）=；
【小问3详解】假设F点在如图所示的位置上，连接AC、CF、BF，CF与AB相交于点G，
由（2）可知：AO=1，CO=2，BO=4，∴ ，∴，
∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠BCO=∠CAO，
∵∠CFB=∠BCO，∴∠CAO=∠CFB，∵∠AGC=∠FGB，∴△AGC∽△FGB，
∴ ，
设EF=x，
∵BF2=BE2+EF2= ，AC2=22+12=5，CO2=22=4，
∴= ，
解这个方程组得：x1=5，x2=-5，
∵点F在线段BC的下方，∴x1=5（舍去），∴F（，-5）．
3.(2023年松江一模24题）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．
【小问1详解】解：由y=-x+2可得：
当x=0时，y=2；当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=-x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2；
【小问2详解】①如图1，
∵DE∥OB，∴，∵，∴，
又∵∠ADE=∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE=∠DBC，∴AE∥BC，
∴C点的纵坐标为2，∴2=-x2+x+2，∴x=0或x=2，∴C（2，2），∴t=2；
②如图2，设C（t，-t2+t+2），
过点B作BH⊥CE于点H，∵∠BCH=∠ACE，∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，∴，∴t=，∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
4.(2023年长宁二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；
（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．
【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得
故抛物线的表达式为；
（2）令x=0，y=4
∴C（0，4）
当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4）
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，
则平移后抛物线再过点C时，m＝4；
（3）设点P的坐标为（t，) ，
设直线PA的表达式为y＝kx+b，
代入A、P坐标得，解得，
∴直线PA的表达式为y＝（）x，
令x=0，y=
故点E的坐标为（0，﹣t+4），
而点C（0，4），
∵∠PCE＝∠PEC，
则点P在CE的中垂线上，
由中点公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），
解得t＝1（舍去）或，
故点P的坐标为．
5.(2023年杨浦二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
【详解】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
将A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0），
点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），
则BP的中点为（，），CQ的中点为（，），
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴线段BP的中点即是CQ的中点，
∴，
解得或，
∴Q（3，﹣2）；
（3）设CD与AB交于N，如图：
∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），
∴CQ＝2，BQ＝3，
∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴，即＝，
∴QN＝，
设N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），
∴＝，
∴t＝或t＝，
∵在∠QCB内作射线CD，
∴t＝，N（，﹣），
设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），C（1，0）代入得：
，
解得，
∴CN解析式为y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴Q（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．