沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第17讲二次函数中的角的和差倍半问题(考点讲与练)(原卷版+解析)

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利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系
【考点剖析】
1.(2023徐汇一模24题）如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标；
（3）当时，求与的面积之比．
2.(2023年青浦二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．
3．(2023秋•徐汇区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求线段DE的长．
（2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且△BEG与△COE相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且∠DAO+∠DPO＝∠α，tanα＝4时，求点P的坐标．
4．(2023•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
【过关检测】
1.(2023年虹口一模24）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．
（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
（2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式；
（3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长。
2．(2023秋•徐汇区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P坐标．
3．．(2023•奉贤期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
4．(2023长宁期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2．求ct∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．
第17讲 二次函数中的角的和差倍半问题（核心考点讲与练）
【基础知识】
利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系
【考点剖析】
1.(2023徐汇一模24题）如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标；
（3）当时，求与的面积之比．
【小问1详解】解：令，则，或，，
令，则，，
设直线的解析式为，，，，
，，；
【小问2详解】解：，，是直角三角形，
设，①如图1，
当，时，，
，，（舍或，，；
②如图2，
当时，过点作轴交于点，
，，，
，，即，，，
，（舍或，，；
综上所述：点的坐标为，或，；
【小问3详解】解：如图3，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，
，，，，
在中，，，，
，，，
设，则，，
，，，，，
，，，
，．
2.(2023年青浦二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．
解：（1）∵抛物线经过点A（－1，0），对称轴是直线x＝1，
∴……（2分），解得（1分）
∴抛物线的解析式为．
把x＝1代入抛物线的解析式，得y＝4． ∴D（1，4）．（1分）
（2）∵点P为抛物线第三象限上的点，且四边形PBDC为梯形，
∴CD∥BP．（1分）
延长DC交x轴负半轴于点F，过点D作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作x轴的垂线，垂足为点H．
∵C（0，3），D（1，4），
∴GD＝CG＝1．∴∠GDC＝45°．
∵GD∥BF，∴∠DFB＝∠GDC＝45°．
∵CD∥BP，∴∠PBF＝∠DFB＝45°．（1分）
∴∠PBF＝∠HPB，∴PH＝BH．
设点P的坐标为．由题意可知B（3，0）．
得．（1分）
解得，或．（舍）
∴P（－2，－5）（1分）
（3）∵P（－2，－5），
∴在Rt△PHO中，．（1分）
∵，∴．
由（2）可知，，因此，所以点E在点B的右侧．
又∵，∴．（1分）
∵，∴△OPB∽△OEP．（1分）
∴，∴，∴．（1分）
3．(2023秋•徐汇区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求线段DE的长．
（2）联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且△BEG与△COE相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且∠DAO+∠DPO＝∠α，tanα＝4时，求点P的坐标．
分析：（1）根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得；
（2）根据OB＝OC，DE∥y轴，得到∠EOC＝∠BOG＝45°，再由△BEG与△COE相似，点G在抛物线的对称轴上，可以分CEOC=EGBE或CEOC=BEEG'两种情况计算即可；
（3）由D（1，4），则tan∠DOF＝4，得出∠DOF＝∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO＝∠ADO，进而求得△ADP∽△AOD，得出AD2＝AO•AP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标．
【解答】解：由抛物线y＝﹣x2+2x+3可知，C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1，x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
∴顶点x＝1，y＝4，即D（1，4）；
∴DF＝4
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（3，0），C（0，3），
得0=3k+b3=b，
解得k=−1b=3，
∴解析式为；y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴E（1，2），
∴EF＝2，
∴DE＝DF﹣EF＝4﹣2＝2；
（2）如图，连接OE，
∵E（1，2），C（0，3），B（3，0），
∴CO＝3，OE=(1−0)2+(2−0)2=5，CE=(1−0)2+(3−2)2=2，BE=(3−1)2+(0−2)2=22，
∵OB＝OC，DE∥y轴，
∴∠EOC＝∠BOG＝45°，
∵△BEG与△COE相似，点G在抛物线的对称轴上，
∴①若CEOC=EGBE=23，
则EG22=23，即EG=43，
∵2−43=23，
∴G（1，43）；
②若CEOC=BEEG'=23，
则22EG'=23，即EG'＝6，
∵2﹣6＝﹣4，
∴G'（1，﹣4），
∴点G的坐标为（1，43）或（1，﹣4）；
（3）如图2，过点作DF⊥x轴于F，连接OD，
∵D（1，4），
∴tan∠DOF＝4，
又∵tan∠α＝4，
∴∠DOF＝∠α，
∵∠DOF＝∠DAO+∠ADO＝∠α，
∵∠DAO+∠DPO＝∠α，
∴∠DPO＝∠ADO，
∴△ADP∽△AOD，
∴AD2＝AO•AP，
∵AF＝2，DF＝4，
∴AD2＝AF2+DF2＝20，
∴OP＝19，
同理，当点P在原点左侧，OP＝17．
∴点P的坐标为（19，0）或（﹣17，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、对称轴，以及相似三角形的判定及性质，（2）问分类讨论以及（3）问证明出△ADP∽△AOD是本题的关键．
4．(2023•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
分析：（1）将点A和点B坐标代入解析式求解可得；
（2）先求出点C坐标，从而得出OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，据此知∠DBO＝30°或60°，依据DO＝BO•tan∠DBO求出得DO=3或33，从而得出答案；
（3）设P（﹣1，t），知BC2＝18，PB2＝4+t2，PC2＝t2﹣6t+10，再分点B、点C和点P为直角顶点三种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）依题意得：4m+4+n=39m+6+n=0，
解得：m=−1n=3，
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交点为点C，
∴点C的坐标是（0，3），
又点B的坐标是（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，
∴∠DBO＝30°或60°．
在直角△BOD中，DO＝BO•tan∠DBO，
∴DO=3或33，
∴CD=3−3或33−3．
（3）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3得：对称轴是直线x＝﹣1，
根据题意：设P（﹣1，t），
又点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，0），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解之得：t＝﹣2，
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解之得：t1=3+172，t2=3−172．
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或(−1，3+172)或(−1，3−172)．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
【过关检测】
1.(2023年虹口一模24）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．
（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；
（2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式；
（3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长。
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴A（0，3），
∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2+3﹣4a，∴对称轴为直线x＝2，
∵点A与点C关于对称轴对称，∴C（4，3），∴B（2，3﹣4a）；
（2）如图1，过点B作BG⊥y轴交于点G，
∵∠ABC＝90°，∴∠OAB＝45°，∴AG＝BG＝2，
∴B（2，1），∴3﹣4a＝1，∴a＝，∴y＝x2﹣2x+3；
（3）如图2，过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，
∵∠ABC＝2∠BCD，∴∠NBC＝∠CNB，∴∠ONB＝2∠OCB，
∵NB∥y轴，∴∠AOC＝∠ONB，
∵AC＝4，AO＝3，∴tan∠AOC＝，∴tan∠HNB＝，
设HB＝4x，则HN＝3x，∴NB＝5x，∴NB＝CN＝5x，
∴CH＝8x，∴tan∠HCB＝，
∵∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，∴＝，∴a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，∴B（2，﹣1），
∵N是OC的中点，∴N（2，），∴BN＝，ON＝，
∵AO∥BN，∴△AOD∽△BND，
∴＝，即＝，∴OD＝．
2．(2023秋•徐汇区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣1），它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y＝x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上一点，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接写出点P坐标．
分析：（1）由点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1，代入即可；
（2）由于点C是直线y＝x+1和抛物线对称轴x＝1的交点，确定出点C的坐标，再根据△BCD∽△ABC得到BC2＝CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标即可；
（3）设直线DE交y轴于F，连接BF，先证明∠OBF＝∠CBF＝45°，即∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，再证明tan∠DBF=DFBF=322=3，接下来连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，设HD＝x，则GH＝3x，由DF＝4x＝32得x=324，可求G（0，112），此时求出DG解析式，再与抛物线联立即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，
∴4a+2b﹣1＝﹣1，
∴−b2a=1，
∴对称轴为x＝1，
∴B（1，0）；
（2）∵直线y＝x+1与此抛物线的对称轴x＝1交于点C，
∴C（1，2），
∴BC＝2，
∵∠DEB＝45°，∠xBA＝45°，
∴∠BCD＝∠CBA＝135°，
∵∠BDC＝∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC2＝CD×AB，
∴CD＝22，
设点D（m，m+1），
∵C（1，2），
∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2＝（22）2，
∴m＝3或m＝﹣1（舍），
∴D（3，4），
∵点D在抛物线y＝ax2+bx﹣1上，
∴9a+3b﹣1＝4，
∵4a+2b﹣1＝﹣1，
∴a=53，b=−103，
∴抛物线解析式为y=53x2−103x﹣1；
（3）如图，设直线DE交y轴于F，连接BF，
∵直线CD：y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，
∴F（0，1），E（﹣1，0），
∴OF＝1＝OB，OE＝OF＝1，
∴∠OBF＝∠CBF＝45°，∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，
∵∠CFB＝∠OEF+∠OBF，
∴∠CFB＝90°，
∵BF=12+12=2，FD=(3−0)2+(4−1)2=32，
∴tan∠DBF=DFBF=322=3，
∴tan∠PDC＝3，
连接PD交y轴于G，过G作GH⊥DF于H，
∴tan∠PDC=GHHD=3，
设HD＝x，则GH＝3x，
∵∠GFH＝∠OFE＝45°，
∴GH＝FH＝3x，
∴DF＝4x＝32，
解得x=324，
∵GF=GH2+FH2=32x，
∴GF=92，
∴GO=92+1=112，
∴G（0，112），
设直线PD：y＝kx+112，
代入点D（3，4），
得k=−12，
∴直线PD：y=−12x+112，
令y=−12x+112=53x2−103x﹣1，
整理得10x2﹣17x﹣39＝0，
解得x＝3或−1310，
∴P的坐标为（−1310，12320）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了确定抛物线解析式，对称轴的方法，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，解一元二次方程，解本题的关键是判定三角形相似以及将∠PDC＝∠DBC+45°转化为∠PDC＝∠DBF．
3．．(2023•奉贤期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，利用平行证明△ADG∽△ABO，列比例式可以计算OG和DG的长，从而得D（1，32），最后由平移的性质可得m的值；
（3）如图2，作辅助线，构建等腰△ABF，确定点F的坐标，计算BF的解析式，联立抛物线和BF的解析式，方程组的一个解就是点C的坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y=−12x2+bx+c中得：
−12×16+4b+c=0c=2，
解得：b=32c=2，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+32x+2；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG∥OB，
∴△ADG∽△ABO，
∴ADAB=DGOB=AGOA，
∵AD＝3BD，
∴AG＝3OG，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴OG＝1，DG=32，
∵D（1，32），
由平移得：点C的横坐标为1，
当x＝1时，y=−12×1+32×1+2＝3，
∴m＝3−32=32；
（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，
∴点C在AB的上方，
如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，
∴BE∥OA，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，
∴∠FBE＝∠ABE，
∵∠BEF＝∠AEB＝90°，
∴∠F＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∴AE＝EF＝OB＝2，
∴F（4，4），
设BF的解析式为：y＝kx+n，
则4k+n=4n=2，
解得：k=12n=2，
∴BF的解析式为：y=12x+2，
∴y=12x+2y=−12x2+32x+2，
解得x=0y=2或x=2y=3，
∴C（2，3）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题．
4．(2023长宁期末）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2．求ct∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．
分析：（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组，即可得出结论；
（2）①先求出点D坐标，进而求出BC，CD，DB，判断出△BDC是直角三角形，即可得出结论；
②构造出等腰三角形，利用对称性求出点F的坐标，进而求出直线CF的解析式，进而联立抛物线解析式，解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），
∴9a−3b+2=−636a+6b+2=0，
∴a=−13b=53，
∴抛物线的表达式为y=−13x2+53x+2；
（2）①如图1，
由（1）知，抛物线的解析式为y=−13x2+53x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），当x＝2时，y=−13×4+53×2+2＝4，
∴D（2，4），
∵B（6，0），
∴CD2＝（2﹣0）2+（4﹣2）2＝8，BC2＝（6﹣0）2+（0﹣2）2＝40，
DB2＝（6﹣2）2+（0﹣4）2＝32，
∴CD2+BC2＝DB2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，CD＝22，BD＝42，
∴ct∠DCB=CDDB=2242=12；
②如图2，
过点C作CE∥x轴，则∠BCE＝∠CBO，
∵∠DCB＝2∠CBO，
∴∠DCE＝∠BCE，过点B作BE⊥CE，并延长交CD的延长线于F，
∵C（0，2），B（6，0），
∴F（6，4），设直线CF的解析式为y＝kx+2，
∴6k+2＝4，
∴k=13，
∴直线CF的解析式为y=13x+2①，
∵抛物线的解析式为y=−13x2+53x+2②，
联立①②，解得x=0y=2或x=4y=103，
∴D（4，103）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，构造出等腰三角形是解本题的关键．