浙江省丽水市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省丽水市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数，其中i为虚数单位，则( )
A.0B.1C.2D.
3．已知，则“”是“”成立的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
4．已知直线a，b和平面，则下列判断中正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5．若样本，，，，的平均数为10，方差为20，则样本，，，，的平均数和方差分别为( )
A.16，40B.16，80C.20，40D.20，80
6．已知，，，则( )
A.B.C.D.
7．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，事件“第一次摸出球的标号为奇数”，则( )
A.A与B互斥B.A与B相互独立C.A与C互斥D.A与C相互独立
8．已知函数的定义域为R，的图象关于中心对称，是偶函数，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，，则( )
A.B.
C.D.向量在向量上的投影向量为
10．在中，角A，B，C边分别为a，b，c，，，以下判断正确的是( )
A.若，则的面积为B.若，则
C.若，则D.若有两解，则
11．如图，在矩形中，，E是的中点，沿直线将翻折成（不在平面内），M是的中点，设二面角的大小为.( )
A.若，则
B.直线与所成的角为定值
C.若，则三棱锥的外接球的表面积为
D.设直线与平面所成的角为，则
三、填空题
12．已知函数，则________.
13．已知，，则________.
14．已知，，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的最大值，以及相应x的值.
16．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按照如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，画出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求该样本的中位数；
（3）为进一步了解学生的学习情况，从分数位于的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率.
17．如图，在四棱锥中，，，，平面，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.
18．已知，函数.
（1）若，解不等式；
（2）证明：函数有唯一零点；
（3）设，证明：.
19．设n为正整数，，，记.
（1）当时，若，，求的值；
（2）当时，设集合，设Q是P的子集，且满足：对于Q中的任意两个不同的元素，，.写出一个集合Q，使其元素个数最多；
（3）当时，，，其中A，B，C是锐角的三个内角，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，集合，，
所以.
故选：C
2．答案：B
解析：，.
故选：B.
3．答案：B
解析：当时，和无意义，可知“”是“”的不充分条件；
当时，，可知“”是“”的必要条件；
综上所述：“”是“”的必要不充分条件
本题正确选项：B
4．答案：C
解析：对于A，由，，则a与b可能平行，相交，异面，故A错误；
对于B，由，，则或，故B错误；
对于C，由，，则，故C正确；
对于D，由，，则或或，故D错误.
故选：C.
5．答案：B
解析：因为样本，，，，的平均数为10，方差为20，
所以样本，，，，的平均数，方差为.
故选：B.
6．答案：D
解析：由题得，
，且.
.
所以.
故选：D
7．答案：D
解析：以x、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以为一个基本事件.摸球方式为不放回摸球，则所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共12种，
事件A包含的基本事件有：、、、、、，共6种，
事件B包含的基本事件有：、、、、、，共6种，
事件AB包含的基本事件有：、，共2种，
事件C包含的基本事件有：、、、、、，共6种，
事件AC包含的基本事件有：、、，共3种，
则，根据互斥事件的概念可知A与B不互斥，所以A错误；
，，所以A与B不相互独立，所以B错误；
，根据互斥事件的概念可知A与C不互斥，所以C错误；
，，所以A与C相互独立，
所以D正确.
故选：D
8．答案：D
解析：的图象关于中心对称，则（∗）；
是偶函数，则，
则的图象关于中心对称，则（∗∗）；
令代入（∗）得，，解得，代入（∗∗）得到.
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A选项，因为，，不存在实数使得成立，故A错误；
对于B选项，因为，所以，故B正确；
对于C选项，因为，所以，故C错误；
对于D选项，向量在向量上的投影向量为，故D正确，
故选：BD
10．答案：ACD
解析：A：若，，，则，故A正确；
B：若，，，由正弦定理得，
即，解得，故B错误；
C：若，，，由余弦定理得，
即，整理得，由解得，故C正确；
D：由正弦定理得，则，
由得，若有两个解，则且，
所以，即，解得，故D正确.
故选：ACD
11．答案：BCD
解析：A：，取的中点O，的中点H，连接，，
则，四边形为正方形，所以.
假设，由，平面，
得平面，又平面，所以，
这与“”矛盾，所以假设不成立，故A错误；
B：取的中点F，连接，，则且，
所以四边形是平行四边形，故，
所以为异面直线与的所成角.
由，得，则，所以，
即异面直线与的所成角为定值，故B正确；
C：如图，由选项A的分析知为二面角的平面角，即.
当时，，易知，，
则H为外接圆的圆心.过作于P，过H作，
在上取Q使得，则四边形为矩形，得，，
则为三棱锥外接球的球心，设其半径为R，
则，，
所以，解得，所以，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确；
D：过作平面于点G，作于点K，连接，，，
为二面角的平面角，即，
为直线与平面所成的角，即，
由，，，平面，
知平面，又平面，所以，
所以K为的中点，得，
又，，所以，即，故D正确.
故选：BCD
12．答案：1
解析：由函数，可得，所以.
故答案为：1.
13．答案：
解析：由可得，进而可得，
由于，故，进而可得，
故，
故答案为；
14．答案：
解析：令，，则，，且，，
所以，，又，
所以
，
当且仅当，即，，时等号成立.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）2，
解析：（1），
所以周期；
（2）因为，所以，则，
的最大值为2，此时，即.
16．答案：（1）；
（2）75；
（3）
解析：（1）由频率分布直方图可得：
，
得；
（2）设中位数为该样本的中位数为x，
所以，得；
（3）由分层抽样知，第二组中抽1人，记作a，第三组中抽2人，记作，，第四组中抽3人，记作，，，
这6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点；
2人来自同一组的有，，，共4个样本点，
所以2人来自不同组的的概率.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）
证明：取的中点F，连结，，又E为的中点，
所以，，
又，，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面
所以平面；
（2）过A作直线的垂线，H为垂足，连结，
由三棱锥的体积为，得，解得，
因为平面，所以，
又，平面，平面，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
所以直线在平面上的射影为直线，
所以即为与平面所成角，
在中，，，所以，
所以与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）当时，不等式即为，即，
所以，解得；
（2）因为，所以在定义域内单调递增，
又，，，
所以由零点存在定理得，函数有唯一零点，且零点在内.
（3）由知，，
因为，，
所以
.
19．答案：（1）0；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）因为，，
根据题意，可得
（2）根据题意，当时，对于Q中的任意两个不同的元素，，，满足题意的集合为.
（3）因为，，所以，
又因为A，B，C是锐角的三个内角，所以，所以，
可得，
同理，，
所以
又
所以.