2025届新高考数学考点全复习讲义3.1导数的概念及运算

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1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义.
2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数.
基础知识
1.导数的概念
（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率；
提醒 Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx)−f（x0）Δx叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或y'｜x＝x0，即f'（x0）＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx)−f（x0）Δx；
（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝limΔx→0f（x＋Δx)−f（x）Δx；
提醒 f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0.
（4）复合函数导数：复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝ .
2.导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的 ，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝limΔx→0f（x0＋Δx)−f（x0）Δx＝f'（x0）.
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]'＝ ；
（2）[f（x）g（x）]'＝ ；
（3）［f（x）g（x）］'＝ （g（x）≠0）.
基础知识
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（ ）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（ ）
（3）函数y＝sin π4的导数为y'＝cs π4.（ ）
（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（ ）
2.下列函数的求导正确的是（ ）
A.（x－2）'＝－2xB.（xcs x）'＝cs x－xsin x
C.（ln 10）'＝110D.（e2x）'＝2ex
3.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（ ）
4.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝ .
5.曲线y＝x3＋1在点（－1，a）处的切线方程为 .
常用结论
1.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数.
2.熟记以下结论：（1）（1x）'＝－1x2；
（2）［1f（x）］'＝－f'(x）[f（x）]2（f（x）≠0）；
（3）[af（x）±bg（x）]'＝af'（x）±bg'（x）.
结论运用
1.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝1002t+1，当t＝3时，水面下降的速度为（ ）
A.－20049 cm/s B.20049 cm/s
C.－10049 cm/s D.10049 cm/s
2.观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cs x）'＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝ .
聚焦考点 课堂演练

考点1 导数的基本概念
【例1】设f（x）在x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（ ）
A.limΔx→0f（x0)−f（x0＋Δx）ΔxB.limΔx→0f（x0＋Δx)−f（x0－Δx）2Δx
C.limΔx→0f（x0+2Δx)−f（x0）ΔxD.limΔx→0f（x0)−f（x0－Δx）－Δx
方法技巧
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx)−f（x0）Δx；
（2）求瞬时变化率，即取极限limΔx→0 ΔyΔx，得到f'（x0）.
提醒 函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
跟踪训练
1.某旅游者爬山的高度h（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，关系式是h（t）＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是（ ）
A.500 m/h B.1 000 m/h
C.400 m/h D.1 200 m/h
2.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设f（4)−f（2）4－2＝a，则下列不等式正确的是（ ）
A.a＜f'（2）＜f'（4）B.f'（2）＜a＜f'（4）
C.f'（4）＜f'（2）＜aD.f'（2）＜f'（4）＜a
考点2 导数的运算
【例2】求下列函数的导数：
（1）y＝x（ln x＋cs x）；
（2）y＝sinx＋xx；
（3）y＝xsin（2x＋π2）cs（2x＋π2）.
方法技巧
函数求导应遵循的原则
（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
（2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混；
（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
提醒 当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.
跟踪训练
1.（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A.若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cs（2x＋3）
B.若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1
C.若f（x）＝xex，则f'（x）＝1－xex
D.若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1
2.已知f（x）的导函数为f'（x），f（x）＝x－3ex＋2f'（1）·x，则f'（1）＝ .
考点3 导数的几何意义及应用
考向1 求切线方程
【例3】（1）曲线y＝exx+1在点（1，e2）处的切线方程为（ ）
A.y＝e4x B.y＝e2x
C.y＝e4x＋e4 D.y＝e2x＋3e4
（2）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， .
方法技巧
求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒 注意“过”与“在”的区别，前者P（x0，f（x0））为切点，而后者P（x0，f（x0））不一定为切点.
考向2 求切点坐标
【例4】 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
方法技巧
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
考向3 求参数的值（范围）
【例5】 （2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
变式
本例中条件改为“曲线y＝xln x过点P（1，a）的切线有且只有两条”，则实数a的取值范围是 .
方法技巧
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
提醒 （1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.
跟踪训练
1.函数f（x）＝exsin x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（ ）
A.0 B.1
C.π4 D.π3
2.曲线y＝x3＋m在点A处的切线方程为y＝3x＋2m－2，则切点A的坐标为 .
3.曲线y＝2x在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，则实数a＝ .
第一节 导数的概念及运算
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y＝2t2＋1，那么该物体在t＝3 s时的瞬时速度是（ ）
A.2 m/s B.4 m/s
C.7 m/s D.12 m/s
2.函数f（x）＝2x2－3x，则limΔx→0f（1+Δx)−f（1）Δx＝（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.－3
3.曲线f（x）＝xe2x－1在点P（12，f（12））处的切线方程为（ ）
A.6x－4y－1＝0 B.6x－4y－5＝0
C.4x－2y－1＝0 D.4x－2y－3＝0
4.下列求导运算正确的是（ ）
A.（x＋3x）'＝1＋3x2
B.（2sinxx2）'＝2xcsx+4sinxx3
C.[（3x＋5）3]'＝3（3x＋5）2
D.（2x＋cs x）'＝2xln 2－sin x
5.若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
6.（多选）已知函数f（x）的图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f'（3）＞f'（2）
B.f'（3）＜f'（2）
C.f（3）－f（2）＞f'（3）
D.f（3）－f（2）＜f'（2）
7.（2024·阳江模拟）设函数f（x）＝exx＋a，若f'（1）＝e4，则a＝ .
8.函数f（x）＝ex－e－x＋ax2的导函数为f'（x），若f'（x）是偶函数，则实数a＝ ，此时，曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为 .
9.已知函数f（x）＝x3－ax2＋（23a＋1）x（a∈R），若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为 .
10.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x.
（1）求f'（e）及f（e）的值；
（2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程.
综合应用 B
巩固
11.已知P是曲线y＝－sin x（x∈[0，π]）上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当｜PQ｜取最小值时，点P的横坐标为（ ）
A.π4 B.π2
C.2π3 D.5π6
12.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）＝－2x2＋m，g（x）＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ）
A.2 B.5
C.1 D.0
13.函数f（x）＝x3－3x2的图象上过点（3，0）的切线方程为 .
14.已知函数f（x）＝x－1＋aex（a∈R，e为自然对数的底数）.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）相切，求直线l的方程.
15.已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0.
（1）求a的值；
（2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
基本初等函数
导数
f（x）＝c（c为常数）
f'（x）＝
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）
f'（x）＝
f（x）＝sin x
f'（x）＝
f（x）＝cs x
f'（x）＝
f（x）＝ex
f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f'（x）＝
f（x）＝ln x
f'（x）＝
f（x）＝lgax（a＞0，且a≠1）
f'（x）＝