2025届新高考数学考点全复习讲义3.2导数与函数的单调性

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1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
基础知识
函数的单调性与导数的关系
提醒 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
基础自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（ × ）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（ √ ）
（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（ × ）
2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是（ ）
A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增
B.在区间（1，3）上f（x）单调递减
C.在区间（4，5）上f（x）单调递增
D.在区间（3，5）上f（x）单调递增
解析：C 在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单调递增.
3.函数f（x）＝cs x－x在（0，π）上的单调性为（ ）
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
解析：D 因为在区间（0，π）内，f'（x）＝－sin x－1＜0恒成立，所以f（x）在（0，π）上单调递减，故选D.
4.若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2] B.（－∞，－1]
C.[2，＋∞） D.[1，＋∞）
解析：D 因为f（x）＝kx－ln x，所以f'（x）＝k－1x.因为f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，所以当x＞1时，f'（x）＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间（1，＋∞）上恒成立.因为x＞1，所以0＜1x＜1，所以k≥1.
5.函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为 （12，＋∞） .
解析：由y＝4x2＋1x（x≠0），得y'＝8x－1x2，令y'＞0，即8x－1x2＞0，解得x＞12，∴函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为（12，＋∞）.
常用结论
1.若可导函数f（x）在（a，b）上单调递增，则当x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若可导函数f（x）在（a，b）上单调递减，则当x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立.
2.若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.
结论运用
1.已知f（x）是定义在（a，b）内的可导函数，则“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A 由结论1知选A.
2.若函数f（x）＝ex＋ax－12x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 （－∞，－1） .
解析：函数f（x）的定义域是R，则f'（x）＝ex＋a－x.由结论2，若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.
聚焦考点 课堂演练

考点1 证明（判断）函数的单调性
【例1】已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.
当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln1a.
当x∈（－∞，ln1a）时，f'（x）＜0；当x∈（ln1a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln1a）上单调递减，在（ln1a，＋∞）上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln1a）上单调递减，在（ln1a，＋∞）上单调递增.
方法技巧
讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
跟踪训练
已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性.
解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝ax＋4x＝4x2＋ax.
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝－a2，
由f'（x）≤0，得0＜x≤－a2；由f'（x）≥0，得x≥－a2.
则函数f（x）在（0，－a2］上单调递减，在［－a2，＋∞）上单调递增.
综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＜0时，函数f（x）在（0，－a2］上单调递减，在［－a2，＋∞）上单调递增.
考点2 求函数的单调区间
【例2】（1）函数f（x）＝3lnx2＋92x＋x的单调递减区间为 （0，32） ；
（2）已知定义在区间（0，π）上的函数f（x）＝x＋2cs x，则f（x）的单调递增区间为 （0，π6），（5π6，π） .
解析：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝32x－92x2＋1＝（2x－3)(x+3）2x2，当x∈（0，32）时，f'（x）＜0，当x∈（32，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，32）.
（2）f'（x）＝1－2sin x，x∈（0，π）.令f'（x）＝0，得x＝π6或x＝5π6，当0＜x＜π6或5π6＜x＜π时，f'（x）＞0，当π6＜x＜5π6时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，π6）和（5π6，π）上单调递增，在（π6，5π6）上单调递减.
方法技巧
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间；
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.
跟踪训练
已知函数f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的单调区间.
解：函数f（x）＝ex－ax－a的定义域为R，
求导得f'（x）＝ex－a，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，即f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，令f'（x）＝ex－a＞0，解得x＞ln a，令f'（x）＝ex－a＜0，解得x＜ln a，
即f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增，
所以当a≤0时，f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a），单调递增区间为（ln a，＋∞）.
考点3 函数单调性的简单应用
考向1 比较大小
【例3】已知a＝4ln4，b＝3ln3，c＝e，则下列大小关系正确的是（ ）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
解析：C 由题，c＝eln e.令f（x）＝xlnx（x≥e），则f'（x）＝lnx－1ln2x，因为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝xlnx在[e，＋∞）上单调递增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C.
方法技巧
利用导数比较大小的策略
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
考向2 解不等式
【例4】函数f（x）＝ex－e－x＋sin x，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C.（0，π） D.（－π，0）
解析：A 对函数f（x）求导得f'（x）＝ex＋e－x＋cs x，因为ex＋1ex≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cs x≤1，所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上是增函数，又因为f（0）＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f（x）＞0的解集为（0，＋∞）.
方法技巧
解函数不等式，如果直接求解比较烦琐时，可以通过导数研究函数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确定不等式的解集.
考向3 已知函数单调性求参数
【例5】（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
解析：C 法一 由题意，得f'（x）＝aex－1x，∴f'（x）＝aex－1x≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥1xex在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝1xex，x∈（1，2），则g'（x）＝－1+xx2ex＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝1e＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－1x.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－1x≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜1a≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴1a≤e，即a≥1e＝e－1，故选C.
变式
若本例条件变为：函数g（x）＝2x＋ln x－ax在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围为 （－10，－3） .
解析：g'（x）＝2x2＋x＋ax2，∵函数g（x）在区间[1，2]上不单调，∴g'（x）＝0在区间（1，2）内有解，则a＝－2x2－x＝－2（x＋14）2＋18在（1，2）内有解，易知函数y＝－2x2－x在（1，2）上单调递减，∴y＝－2x2－x在（1，2）上的值域为（－10，－3），因此实数a的取值范围为（－10，－3）.
方法技巧
根据函数单调性求参数的一般思路
（1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
（2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值.
提醒 当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题.
跟踪训练
1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.f（b）＞f（c）＞f（a）
B.f（b）＞f（c）＝f（e）
C.f（c）＞f（b）＞f（a）
D.f（e）＞f（d）＞f（c）
解析：D 由f'（x）图象可知f（x）图象大致如图，由图可知f（a）＞f（b），f（b）＜f（c）＜f（d）＜f（e），故仅有D选项是正确的.故选D.
2.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cs x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，13）
C.（13，＋∞） D.（1，＋∞）
解析：D 根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cs x，此时有f'（x）＝ex＋sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1）＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）.
第二节 导数与函数的单调性
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
解析：D 利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.
2.下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（ ）
A.f（x）＝sin 2x B.f（x）＝xex
C.f（x）＝x3－x D.f（x）＝－x＋ln x
解析：B 由于x＞0，对于A选项，f'（x）＝2cs 2x，f'（π3）＝－1＜0，不符合题意；对于B选项，f'（x）＝（x＋1）ex＞0，符合题意；对于C选项，f'（x）＝3x2－1，f'（13）＝－23＜0，不符合题意；对于D选项，f'（x）＝－1＋1x，f'（2）＝－12＜0，不符合题意.故选B.
3.函数f（x）＝ln x－ax（a＞0）的单调递增区间为（ ）
A.（0，1a） B.（1a，＋∞）
C.（－∞，1a） D.（－∞，a）
解析：A 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x－a，令f'（x）＝1x－a＞0，得0＜x＜1a，所以f（x）的单调递增区间为（0，1a）.
4.已知函数f（x）＝3x＋2cs x.若a＝f（32），b＝f（2），c＝f（lg27），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
解析：D 由题意，得f'（x）＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）是增函数.因为2＞1，所以32＞3.又lg24＜lg27＜lg28，即2＜lg27＜3，所以2＜lg27＜32，所以f（2）＜f（lg27）＜f（32），即b＜c＜a.
5.若函数f（x）＝－x2＋4x＋bln x在区间（0，＋∞）上是减函数，则实数b的取值范围是（ ）
A.[－1，＋∞） B.（－∞，－1]
C.（－∞，－2] D.[－2，＋∞）
解析：C ∵函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴f'（x）≤0在（0，＋∞）上恒成立，∴f'（x）＝－2x＋4＋bx≤0，即b≤2x2－4x在（0，＋∞）上恒成立，∵2x2－4x＝2（x－1）2－2≥－2，∴b≤－2.
6.（多选）如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有x1f（x1)−x2f（x2）x1－x2＞0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（ ）
A.f（x）＝ex B.f（x）＝x2
C.f（x）＝ln x D.f（x）＝sin x
解析：ACD 依题意，函数g（x）＝xf（x）为定义域上的增函数.对于A，g（x）＝xex，g'（x）＝（x＋1）ex，当x∈（－∞，－1）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（－∞，－1）上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g（x）＝x3在R上是增函数，故B中函数为“F函数”；对于C，g（x）＝xln x，g'（x）＝1＋ln x，当x∈（0，1e）时，g'（x）＜0，故C中函数不是“F函数”；对于D，g（x）＝xsin x，g'（x）＝sin x＋xcs x，当x∈（－π2，0）时，g'（x）＜0，故D中函数不是“F函数”.
7.请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）：
（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
（3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝ x－2（x≠0）（答案不唯一） .
解析：设f（x）＝x－2（x≠0），因为f（－x）＝x－2＝f（x）（x≠0），所以f（x）是偶函数；x＞0时，f'（x）＝－2x－3＜0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；f（x）＝x－2＞0，f（x）的值域是（0，＋∞）.
8.已知函数f（x）＝x33＋ax22＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是 （－∞，0）∪（4，＋∞） .
解析：由函数f（x）＝x33＋ax22＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）.
9.已知函数f（x）＝－12x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是 [0，1） .
解析：由题意，f（x）＝－12x2－3x＋4ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－x－3＋4x＝－x2+3x－4x，当f'（x）＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不单调，且（t，t＋2）⊆（0，＋∞），∴t<110.已知函数f（x）＝8x－sinxcs3x，x∈（0，π2），讨论f（x）的单调性.
解：f（x）＝8x－sinxcs3x（0＜x＜π2），
则f'（x）＝8cs4x－cs2x－3sin2xcs4x＝8cs4x+2cs2x－3cs4x＝（4cs2x+3)(2cs2x－1）cs4x.
令f'（x）＞0，则cs x＞22或cs x＜－22.
又0＜x＜π2，所以0＜x＜π4.
令f'（x）＜0，则－22＜cs x＜22.
又0＜x＜π2，所以π4＜x＜π2.所以f（x）在（0，π4）上单调递增，在（π4，π2）上单调递减.
综合应用 B
巩固
11.已知函数f（x）＝13ax3＋x2＋x＋4，则“a≥0”是“∀x∈R，f（x）是增函数”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C 因为f（x）＝13ax3＋x2＋x＋4，所以f'（x）＝ax2＋2x＋1.由∀x∈R，f（x）是增函数，得∀x∈R，f'（x）≥0恒成立，当a＝0时，显然不成立，当a≠0时，a>0，4－4a≤0，解得a≥1.当a≥1时，∀x∈R，f（x）是增函数，所以“∀x∈R，f（x）是增函数”的充要条件是“a≥1”.因为“a≥0”是“a≥1”的必要不充分条件，所以“a≥0”是“∀x∈R，f（x）是增函数”的必要不充分条件，故选C.
12.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf'（x）≥0的解集为 ［0，12］∪[2，＋∞） .
解析：由题中f（x）的图象特征可得，在（－∞，12］和[2，＋∞）上f'（x）≥0，在（12，2）上f'（x）＜0，所以xf'（x）≥0⇔x≥0，f'(x）≥0或x≤0，f'(x）≤0⇔0≤x≤12或x≥2，所以xf'（x）≥0的解集为［0，12］∪[2，＋∞）.
13.已知函数f（x）＝ln x－12ax2－2x（a≠0）.
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
解：（1）f（x）＝ln x－12ax2－2x，x∈（0，＋∞），
所以f'（x）＝1x－ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，
所以当x∈（0，＋∞）时，1x－ax－2＜0有解.
即a＞1x2－2x有解，
设G（x）＝1x2－2x，
所以只要a＞G（x）min即可.
而G（x）＝1x－12－1，
所以G（x）min＝－1.
所以a＞－1.
又a≠0，即a的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）.
（2）由f（x）在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，f'（x）＝1x－ax－2≤0恒成立，
即a≥1x2－2x恒成立.
所以a≥G（x）max，
而G（x）＝1x－12－1，
因为x∈[1，4]，
所以1x∈14，1，
所以G（x）max＝－716（此时x＝4），
所以a≥－716，
又a≠0，即a的取值范围是－716，0∪（0，＋∞）.
14.如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增，且函数y＝f（x）x在区间I上单调递减，那么称函数y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数f（x）＝12x2－x＋32是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为 [1，3 ] .
解析：因为函数f（x）＝12x2－x＋32的对称轴为x＝1，所以函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，又当x≥1时，f（x）x＝12x－1＋32x，令g（x）＝12x－1＋32x（x≥1），则g'（x）＝12－32x2＝x2－32x2，由g'（x）≤0得1≤x≤3，即函数f（x）x＝12x－1＋32x在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，3 ].
15.已知函数f（x）＝exln（1＋x）.
（1）设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
（2）证明：对任意的s，t∈（0，＋∞），有f（s＋t）＞f（s）＋f（t）.
解：（1）由题得g（x）＝f'（x）＝ex·ln（1＋x）＋ex·11+x＝ex·［ln（1＋x）＋11+x］，x∈[0，＋∞），
则g'（x）＝ex·［ln（1＋x）＋21+x－1（1+x）2］＝ex·［ln（1＋x）＋2x+1（1+x）2］＝ex·［ln（1＋x）＋11+x＋x（1+x）2］.
由于x∈[0，＋∞），
故ln（1＋x）≥0，11+x＞0，x（1+x）2≥0，
所以对任意x∈[0，＋∞），g'（x）＞0恒成立，
故g（x）在[0，＋∞）上单调递增.
（2）证明：设函数F（x）＝f（x＋t）－f（x）（x＞0），
F'（x）＝f'（x＋t）－f'（x）＝g（x＋t）－g（x）.
因为t＞0，
所以x＋t＞x＞0.
因为g（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以g（x＋t）＞g（x），
即g（x＋t）－g（x）＞0，
F'（x）＞0，所以F（x）在（0，＋∞）上单调递增.
又因为s＞0，
所以F（s）＞F（0），
即f（s＋t）－f（s）＞f（t）－f（0）.
又f（0）＝0，
所以f（s＋t）＞f（s）＋f（t
条件
恒有
结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导
f'（x）＞0
f（x）在区间（a，b）上 单调递增
f'（x）＜0
f（x）在区间（a，b）上 单调递减
f'（x）＝0
f（x）在区间（a，b）上是 常数函数