2025届新高考数学考点全复习讲义微专题提优讲义6 两曲线的公切线问题

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具体做法为: 设公切线在上的切点, 在上的切点,则.
一、共切点的公切线问题
【例1】已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝ 5 .
解析：依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝2x，h'（x）＝6x－4，∴f（x0）＝ℎ（x0),f'(x0）＝ℎ'(x0),即x02－m=6ln x0－4x0，2x0＝6x0－4，∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5.
点评 求共切点的公切线的一般思路：①设两曲线的公共切点P0（x0，y0）；②列关系式f（x0）＝ℎ（x0),f'(x0）＝ℎ'(x0);③求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f（x）或y＝h（x），求y0；④所求公切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）或y－y0＝h'（x0）（x－x0）.
二、不同切点的公切线问题
【例2】（1）已知曲线f（x）＝x3＋ax＋14在x＝0处的切线与曲线g（x）＝－ln x相切，则a的值为 －e－34 ；
（2）已知f（x）＝ex（e为自然对数的底数），g（x）＝ln x＋2，直线l是f（x）与g（x）的公切线，则直线l的方程为 y＝ex或y＝x＋1 .
解析：（1）由f（x）＝x3＋ax＋14，得f'（x）＝3x2＋a.∵f'（0）＝a，f（0）＝14，∴曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y－14＝ax.设直线y－14＝ax与曲线g（x）＝－ln x相切于点（x0，－ln x0），g'（x）＝－1x，∴－ln x0－14＝ax0 ①，a＝－1x0 ②，将②代入①得ln x0＝34，∴x0＝e34，∴a＝－1e34＝－e－34.
（2）设l与f（x）＝ex的切点为（x1，y1），则y1＝ex1，f'（x）＝ex，所以f'（x1）＝ex1，所以切点为（x1，ex1），切线斜率k＝ex1，所以切线方程为y－ex1＝ex1（x－x1），即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1①，同理设l与g（x）＝ln x＋2的切点为（x2，y2），所以y2＝ln x2＋2，又g'（x）＝1x，所以g'（x2）＝1x2，切点为（x2，ln x2＋2），切线斜率k＝1x2，所以切线方程为y－（ln x2＋2）＝1x2（x－x2），即y＝1x2·x＋ln x2＋1②，由题意知，①与②相同，所以ex1＝1x2⇒x2＝e－x1③，－x1ex1＋ex1＝ln x2+1④，把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x1＋1，即（1－x1）（ex1－1）＝0，解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1.综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
点评 求两曲线不同切点的公切线的一般思路：①分别设出两曲线的切点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；②分别求两曲线的切线方程y1＝h1（x），y2＝h2（x）；③由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程.
三、公切线条数的判断
【例3】曲线y＝－1x（x＜0）与曲线y＝ln x的公切线的条数为 1 .
解析：设（x1，y1）是公切线和曲线y＝－1x的切点，则切线斜率k1＝（－1x）'｜x＝x1＝1x12，切线方程为y＋1x1＝1x12（x－x1），整理得y＝1x12·x－2x1.设（x2，y2）是公切线和曲线y＝ln x的切点，则切线斜率k2＝（ln x）'｜x＝x2＝1x2，切线方程为y－ln x2＝1x2（x－x2），整理得y＝1x2·x＋ln x2－1.令1x12＝1x2，－2x1＝ln x2－1，消去x2得－2x1＝ln x12－1.设t＝－x1＞0，即2ln t－2t－1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f（x）＝2ln x－2x－1在（0，＋∞）上是增函数，f（1）＝－3＜0，f（e）＝1－2e＞0，于是f（x）＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.
点评 两曲线公切线条数的判断方法：①由两曲线公切线的几何特征，构建等量关系式f'（x1）＝g'（x2）＝f（x1)−g（x2）x1－x2；②解上述方程组：当无解时，两曲线不存在公切线；当有一解时，则公切线只有一条；当有两个不同的解时，则公切线有两条.
跟踪训练
1.若直线l与曲线y＝eq \r(x)和圆x2＋y2＝eq \f(1,5)都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq \f(1,2) C．y＝eq \f(1,2)x＋1 D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)
解析:易知直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝kx＋b，则eq \f(|b|,\r(k2＋1))＝eq \f(\r(5),5) ①．设直线l与曲线y＝eq \r(x)的切点坐标为(x0，eq \r(x0))(x0>0)，则y′|x＝x0＝eq \f(1,2)x0－eq \f(1,2)＝k ②，eq \r(x0)＝kx0＋b ③，由②③可得b＝eq \f(1,2)eq \r(x0)，将b＝eq \f(1,2)eq \r(x0)，k＝eq \f(1,2)x0－eq \f(1,2)代入①得x0＝1或x0＝－eq \f(1,5)(舍去)，所以k＝b＝eq \f(1,2)，故直线l的方程y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)．
2.已知函数f（x）＝2x2e2＋ex，g（x）＝3ln x，若直线l与曲线y＝f（x）及y＝g（x）均相切，且切点相同，则公切线l的方程为 y＝3ex .
解析：设切点坐标为（x0，y0），由f（x0）＝g（x0),f'(x0）＝g'(x0),得2x02e2＋ex0=3ln x0，4x0e2－ex02＝3x0，解得x0＝e，所以y0＝3ln x0＝3，故切线方程为y－3＝3e（x－e），即y＝3ex.
3.已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝ax2－x－12（a＞0），若直线y＝2x－b与函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a＝ 32 .
解析：f'（x）＝2x，设直线y＝2x－b与曲线y＝f（x）相切于点（x0，2ln x0），则2x0＝2，所以x0＝1，所以切点为（1，0），所以切线方程为y＝2x－2，与y＝g（x）＝ax2－x－12（a＞0）联立得ax2－3x＋32＝0，所以Δ＝9－4a×32＝0，所以a＝32.
4.已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______．
详解:设公切线与相切于点，与相切于点，
，，公切线斜率；
公切线方程为：或，
整理可得：或，
，即，
，解得：或，
公切线方程为：或.
5.已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______．
详解：由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：；
由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：．
所以，，
消去得，
故或，所以直线l的方程为：或．故答案为：或
6.已知曲线f(x)＝lnx＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，则实数a的取值范围为 ．
解析:设切线与f(x)＝lnx＋1相切于点P(x0，lnx0＋1)，f′(x0)＝eq \f(1,x0)，∴切线方程为y－(lnx0＋1)＝eq \f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq \f(1,x0)x＋lnx0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,x0)x＋ln x0，,y＝x2－x＋a，))得x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x0)))x＋a－lnx0＝0，∴Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x0)))2－4(a－lnx0)＝0，即eq \f(1,x\\al(2,0))＋eq \f(2,x0)＋1－4a＋4lnx0＝0，即4a＝eq \f(1,x\\al(2,0))＋eq \f(2,x0)＋1＋4lnx0有解，令φ(x)＝eq \f(1,x2)＋eq \f(2,x)＋1＋4lnx(x>0)，φ′(x)＝－eq \f(2,x3)－eq \f(2,x2)＋eq \f(4,x)＝eq \f(4x2－2x－2,x3)＝eq \f(2(2x＋1)(x－1),x3)，当x∈(0，1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域为[4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．