人教版小升初数学衔接精编讲义【复习进阶篇】专题05《综合与探究》(原卷版+解析)

这是一份人教版小升初数学衔接精编讲义【复习进阶篇】专题05《综合与探究》(原卷版+解析)，共29页。

姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共4小题，满分8分，每小题2分）
1．（2分）(2023•喀喇沁旗）通过圆柱、圆锥相互倒沙子或水的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系。描述说法错误的是（ ）
A．准备好等底、等高的圆柱、圆锥形容器
B．圆锥的体积是和它等底等高圆柱的体积的
C．把圆柱装满水，再往圆锥里倒，正好倒了三次
D．不用等底等高的圆柱和圆锥形容器就可以
2．（2分）(2023•商丘）图中，由图形甲到图形乙，所进行的变换是（ ）
A．先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6格
B．先向右平移8格，再绕点O顺时针旋转90°
C．先绕点O逆时针旋转90°，再向右平移6格
D．先向右平移8格，再绕点O逆时针旋转90°
3．（2分）(2023•金水区）把一条绳子对折后，从它对折后的中间剪断，就成了3段．如图一，把一条绳子对折后再对折，从第二次对折后的中间剪断，就成了5段，如图二，把一条绳子对折3次后，从它第3次对折后的中间剪断，就成了9段，如图三，如果从它第4次对折后的中间剪断，那么这条绳子会被剪成（ ）段．
A．8B．12C．15D．17
4．（2分）(2023秋•江苏月考）长度为1m的绳子，第一次截去一半，然后将剩下的再截去一半，如此下去，若最后余下的绳子长不足1cm，则至少需截（ ）次．
A．5B．6C．7D．8
二．填空题（共7小题，满分15分）
5．（2分）(2023春•海淀区月考）昊昊背对着小雪，让小雪按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小雪准确说出了中间一堆牌的张数．聪明的同学，你认为中间的一堆这时候有 张．
6．（2分）（2017•白银）如图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以把圆分成（2+2）块，3条直线最多可以把圆分成（2+2+3）块．以此类推，4条直线最多可以把圆分成 块，n条直线最多可以把圆分成 块．
7．（2分）（2014•海沧区）将图中的直角三角形以6厘米的直角边为轴旋转一周，可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是 立方厘米．
8．（2分）(2023•宁波模拟）有甲、乙两堆小球，甲堆小球比乙堆多，而且甲堆球数比130多，但不超过200，从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中；第二次，从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中；…，如此继续下去，挪动五次以后，发现甲、乙两堆的小球一样多．那么，甲堆原有小球 只．
9．（2分）(2023春•无锡期末）如图中，指针逆时针旋转90°，从指向A旋转到指向 ；指针顺时针旋转90°，从指向D旋转到指向 ．
10．(2023秋•方城县期末）如图，在一个长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是 厘米，面积是 平方厘米，剩下部分的面积是 平方厘米．
11．（2分）（2017•长沙）已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝6cm，则图甲中的图形面积是 ，图乙中的a与b的值分别是 ．
三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）
12．（2分）（2016春•江苏校级期末）火车在在铁轨上沿着直线行驶，可以看作平移 ．（判断对错）
13．（2分）作△ABO关于直线X的轴对称图形，再绕点B逆时针旋转90度，然后向左平移2格得到图1． （判断对错）
14．（2分）(2023秋•环江县期末）用圆规画一个周长是78.5厘米的圆，圆规两脚间的距离应为25厘米． （判断对错）
15．（2分）（2010•灵武市）当圆规两脚间的距离为2厘米，所画成圆的半径是2厘米． （判断对错）．
四．应用题（共2小题，满分10分，每小题5分）
16．（5分）(2023秋•佳木斯期末）画一个直径为3厘米的圆，标出圆心、半径，并求出这个圆中圆心角是120°的扇形弧长。
17．（5分）（2017•长治）地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
五．操作题（共7小题，满分28分，每小题4分）
18．（4分）分别画出将图形向上平移3格和向左平移8格后的图形。
19．（4分）画一画
房子向右平移5个格子，小船向下平移4个格子，再向左平移5个格子。
20．（4分）(2023•郓城县模拟）把下面的圆向右平移3个格，在向上平移2个格，画出平移后的图形。
21．（4分）(2023春•东川区期中）（1）画出三角形向右平移5格后的图形；
（2）画出三角形绕O点逆时针方向旋转90°后的图形；
（3）画出三角形按2：1放大后的图形．
22．（4分）(2023•北京模拟）（1）将下图中三角形先向右平移5格，再向下平移6格．
（2）将下图中梯形沿A点顺时针旋转90度．
23．（4分）(2023春•芦溪县期末）（1）画出图形A绕点O顺时针旋转90°后得到图形B．
（2）把图形B向右平移9格，得到图形C．
24．（4分）(2023•芜湖模拟）（1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形B；再将图形B向右平移5格得到图形C；最后绕图形C的顶角顶点顺时针旋转90°得到图形D．
（2）画出图形A按2：1的比放大后的图形．
六．解答题（共6小题，满分31分）
25．（5分）(2023•宁波模拟）如图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只“马”。众所周知，“马”是走“日”字的。请问：这只“马”能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
26．（5分）(2023•深圳模拟）画出小鱼先向左平移6格，再向下平移4格后的图形．
27．（5分）(2023秋•河口县期末）动手操作：先画一个边长是4厘米的正方形，然后在正方形里面画一个最大的圆，并求出这个圆的面积．
28．（5分）(2023•南阳）如图每个小方格的边长表示1厘米，请按要求操作。
（1）画出三角形ABC向下平移3格后的图形。
（2）画出三角形ABC绕A点逆时针旋转90度后的图形。
（3）画出三角形ABC按2：1放大后的图形。
（4）三角形ABC与放大后的图形的周长比是 ，面积比是 。
（5）如果以三角形ABC的直角边AC为轴旋转一周，会形成一个圆锥，这个圆锥的体积是 立方厘米。
29．（5分）(2023•宁津县）图中每个小方格表示1平方厘米．
（1）把图中的三角形绕A点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．旋转后，B点的位置用数对表示是（ ， ）．
（2）按2：1的比画出三角形放大后的图形．放大后三角形的面积是 平方厘米．
30．（6分）(2023•江都区）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。如，在“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头的质量；又如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形……
（1）如图1有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。
这时，三角形的面积相当于圆的面积。
①观察这个三角形，底相当于圆的 ，高相当于圆的 。
②如果圆的半径是r，三角形的面积：S＝a×h÷2
那么圆的面积：S＝ × ÷2＝
（2）你还能用转化的数学思想来解决以下数学问题吗？如图2，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 。
A. B. C. D.
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
人教版数学小升初数学衔接讲义（复习进阶）
专题05 综合与探究
试卷满分：100分 考试时间：100分钟
一．选择题（共4小题，满分8分，每小题2分）
1．（2分）(2023•喀喇沁旗）通过圆柱、圆锥相互倒沙子或水的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系。描述说法错误的是（ ）
A．准备好等底、等高的圆柱、圆锥形容器
B．圆锥的体积是和它等底等高圆柱的体积的
C．把圆柱装满水，再往圆锥里倒，正好倒了三次
D．不用等底等高的圆柱和圆锥形容器就可以
【思路引导】实验准备：等底登高的圆柱圆锥形的容器一组；不等底等高的圆柱圆锥形容器一组，水或沙子。
实验操作：
1、把圆柱形容器倒满水，再往圆锥里倒，正好倒了三次。
2、将圆锥里装满沙子，往圆柱里倒，则也需要三次正好倒满。
实验结论：通过实验可以发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的三倍，圆锥的体积是圆柱体积的。
【解答】研究探索圆柱圆锥体积之间的关系必须有等底等高这个前提条件。
故选：D。
2．（2分）(2023•商丘）图中，由图形甲到图形乙，所进行的变换是（ ）
A．先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6格
B．先向右平移8格，再绕点O顺时针旋转90°
C．先绕点O逆时针旋转90°，再向右平移6格
D．先向右平移8格，再绕点O逆时针旋转90°
【思路引导】观察此图可知，此图形状、大小没变，只是位置发生了变化，由旋转平移的性质可知此图是通过旋转、平移得到，以O为中心，甲先顺时针旋转90°，再向右平移6个格得到的乙．
【完整解答】根据分析可得，
图中，由图形甲到图形乙，所进行的变换是，先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6格．
故选：A．
3．（2分）(2023•金水区）把一条绳子对折后，从它对折后的中间剪断，就成了3段．如图一，把一条绳子对折后再对折，从第二次对折后的中间剪断，就成了5段，如图二，把一条绳子对折3次后，从它第3次对折后的中间剪断，就成了9段，如图三，如果从它第4次对折后的中间剪断，那么这条绳子会被剪成（ ）段．
A．8B．12C．15D．17
【思路引导】分析可得：将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段，有21+1＝3（段）；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，有22+1＝5（段）；将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段，有23+1＝9（段）；依此类推，将一根绳子对折4次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（24+1）段．
【完整解答】因为对折1次从中间剪断，有21+1＝3（段）；
对折2次从中间剪断，有22+1＝5（段）；
对折3次从中间剪断，有23+1＝9（段）；
对折4次从中间剪断，有24+1＝17（段）．
答：如果从它第4次对折后的中间剪断，那么这条绳子会被剪成17段．
故选：D。
4．（2分）(2023秋•江苏月考）长度为1m的绳子，第一次截去一半，然后将剩下的再截去一半，如此下去，若最后余下的绳子长不足1cm，则至少需截（ ）次．
A．5B．6C．7D．8
【思路引导】由于截去一次还剩下米，截去两次还剩下（）2米，截去3次还剩下（）3米，…，截去n次还剩下（）n米，然后根据最后余下的绳子长不足1cm＝0.01m，确定n的值即可．
【完整解答】根据题意可得，
由于截去一次还剩下米，截去两次还剩下（）2米，截去3次还剩下（）3米，…，截去n次还剩下（）n米，
1cm＝0.01m
（）7＜0.01＜（）6，
所以，若最后余下的绳子长不足1cm，则至少需截7次．
答：若最后余下的绳子长不足1cm，则至少需截7次．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分15分）
5．（2分）(2023春•海淀区月考）昊昊背对着小雪，让小雪按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小雪准确说出了中间一堆牌的张数．聪明的同学，你认为中间的一堆这时候有 3 张．
【思路引导】设每堆牌原来各有a张，按照操作步骤，求出中间的一堆最后的张数即可．
【完整解答】设每堆牌原来各有a张，第二步、三步操作后：
左边一堆还有：a﹣1张；
中间一堆有：a+1+1＝a+2张；
第四步操作：
中间的张数：
（a+2）﹣（a﹣1），
＝a+2﹣a+1，
＝a﹣a+2+1，
＝3（张）；
故答案为：3．
6．（2分）（2017•白银）如图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以把圆分成（2+2）块，3条直线最多可以把圆分成（2+2+3）块．以此类推，4条直线最多可以把圆分成 11 块，n条直线最多可以把圆分成 1+ 块．
【思路引导】根据已知的一条直线、2条直线、3条直线把这个圆分成的情况，归纳总结出规律，再依照规律进行解答即可解决问题．
【完整解答】1条直线分平面为2（块）
2条直线分平面为2+2＝4（块）
3条直线分平面为2+2+3＝7（块）
依此类推，4条直线最多可以把圆分成2+2+3+4＝11（块），
…，
则n条直线最多可以把圆分成2+2+3+4+5+…+n＝1+（块）
答：4条直线最多可以把圆分成 11块，n条直线最多可以把圆分成1+块．
故答案为：11；1+．
7．（2分）（2014•海沧区）将图中的直角三角形以6厘米的直角边为轴旋转一周，可以得到一个立体图形，这个立体图形的体积是 401.92 立方厘米．
【思路引导】以6cm的直角边为轴旋转一周，可以得到一个高是6厘米，底面半径是8厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h即可求出这个圆锥的体积．
【完整解答】×3.14×82×6
＝3.14×64×2
＝401.92（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是 401.92立方厘米．
故答案为：401.92．
8．（2分）(2023•宁波模拟）有甲、乙两堆小球，甲堆小球比乙堆多，而且甲堆球数比130多，但不超过200，从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中；第二次，从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中；…，如此继续下去，挪动五次以后，发现甲、乙两堆的小球一样多．那么，甲堆原有小球 172 只．
【思路引导】先列表找出甲乙两堆球移动5次后的情况，再根据最后相等找出原来甲乙两堆球的比例关系．然后根据甲堆球的范围130﹣﹣200之间进行求解．
【完整解答】设甲乙原有小球数为a和b，五次挪动的情况如下表：
故有11a﹣21b＝22b﹣10a，于是21a＝43b，即a：b＝43：21．
注意到小球个数是整数，且130＜a≤200，且a+b应为偶数（否则不能平分）．
于是有a：b＝86：42＝172：84，所以a＝172．
故答案为：172．
9．（2分）(2023春•无锡期末）如图中，指针逆时针旋转90°，从指向A旋转到指向 ；指针顺时针旋转90°，从指向D旋转到指向 C ．
【思路引导】旋转作图步骤：
（1）明确题目要求：弄清旋转中心、旋转方向和旋转角；
（2）分析所作图形：找出构成图形的关键点；
（3）找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；
（4）作出新图形：顺次连接作出的各点．
据此画图，然后判断指针指向的位置即可．
【完整解答】画图如下：
如图中，指针逆时针旋转90°，从指向A旋转到指向B；指针顺时针旋转90°，从指向D旋转到指向C．
故答案为：B，C．
10．(2023秋•方城县期末）如图，在一个长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是 18.84 厘米，面积是 28.26 平方厘米，剩下部分的面积是 19.74 平方厘米．
【思路引导】在这个长方形内所画的圆的直径是这个长方形的宽，即所画圆的直径是6厘米，圆心在过宽中点的直线上，半径等于厘米．根据圆的周长计算公式“C＝πd”即可求出这个圆的周长；根据圆的面积计算公式“S＝πr2”即可求出这个圆的面积；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”求出长方形的面积减去圆的面积就是剩下部分的面积．
【完整解答】在一个长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆（下图）：
3.14×6＝18.84（厘米）
3.14×（）2
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
8×6﹣28.26
＝48﹣28.26
＝19.74（平方厘米）
答：这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米，剩下部分的面积是19.74平方厘米．
故答案为：18.84，28.26，19.74．
11．（2分）（2017•长沙）已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝6cm，则图甲中的图形面积是 60平方厘米 ，图乙中的a与b的值分别是 24平方厘米，17秒 ．
【思路引导】根据图例知：图中P点的运动与相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系用图乙来表示，从图中可知，当P运动4秒是到达C点中，这是BC的长度就是2×4厘米，P从C点运动到D点用了6﹣4秒，CD的长度就是（6﹣4）×2厘米，P点从D运动到E用了9﹣6秒，DE和长度就是（9﹣6）×2厘米，EF和长度就是AB﹣CD，AF的长度就是BC+DE．据此解答．
【完整解答】根据以上分析知：
BC的长度是：
2×4＝8（厘米），
CD的长度是：
（6﹣4）×2，
＝2×2，
＝4（厘米），
DE的长度是：
（9﹣6）×2，
＝3×2，
＝6（厘米），
EF＝AB﹣CD＝6﹣4＝2（厘米），
AF＝BC+DE＝8+6＝14（厘米），
图甲的面积是：
6×8+6×2，
＝48+12，
＝60（平方厘米），
a的值是：
×AB×BC，
＝×6×8，
＝24（平方厘米），
b的值是：
9+2÷2+14÷2，
＝9+1+7，
＝17（秒）．
答：甲中的图形面积是60平方厘米，图乙中的a与b的值分别是24平方厘米，17秒．
故答案为：60平方厘米，24平方厘米，17秒．
三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）
12．（2分）（2016春•江苏校级期末）火车在在铁轨上沿着直线行驶，可以看作平移 √ ．（判断对错）
【思路引导】旋转就是围绕着一个中心转动，运动方向发生改变；平移就是直直地移动，移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，据此解答即可．
【完整解答】车在在铁轨上沿着直线行驶，可以看作平移，说法正确；
故答案为：√．
13．（2分）作△ABO关于直线X的轴对称图形，再绕点B逆时针旋转90度，然后向左平移2格得到图1． × （判断对错）
【思路引导】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出三角形ABO的对称点，依次连结即可得到三角形ABO的轴对称图形三角形A′B′O′；
根据旋转的特征，三角形ABO绕点B逆时针旋转90°后，点B的位置不动，其余各部分均绕此点按相同相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的三角形A″B″O″；根据平移的特征，把三角形A″B″O″的各顶点分别向左平移2个单位，依次连结即可得到左平移2格后的图形三角形A′″B′″D′″，看是否与图1重合，重合答案正确，否则不正确．
【完整解答】作△ABO关于直线X的轴对称图形（图中红色部分），再绕点B逆时针旋转90度（图中绿色部分），然后向左平移2格（图中蓝色部分）：
三角形A′″B′″D′″与图形1并不重合，因此答错错误．
故答案为：×．
14．（2分）(2023秋•环江县期末）用圆规画一个周长是78.5厘米的圆，圆规两脚间的距离应为25厘米． × （判断对错）
【思路引导】圆规两脚之间的距离即所画圆的半径．根据圆周长计算公式“C＝2πr”，周长78.5厘米的圆半径是78.5÷3.14÷2＝12.5（厘米），即用圆规画一个周长是78.5厘米的圆，圆规两脚间的距离应为12.5厘米．
【完整解答】78.5÷3.14÷2＝12.5（厘米），即用圆规画一个周长是78.5厘米的圆，圆规两脚间的距离应为12.5厘米
原题说法错误．
故答案为：×．
15．（2分）（2010•灵武市）当圆规两脚间的距离为2厘米，所画成圆的半径是2厘米． √ （判断对错）．
【思路引导】根据圆的画法：用圆规画圆，圆规两脚张开的距离即所画圆的半径；据此解答即可．
【完整解答】因为用圆规画圆，圆规两脚张开的距离是所画圆的半径；所以题干的说法是正确的．
故答案为：√．
四．应用题（共2小题，满分10分，每小题5分）
16．（5分）(2023秋•佳木斯期末）画一个直径为3厘米的圆，标出圆心、半径，并求出这个圆中圆心角是120°的扇形弧长。
【思路引导】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以3÷2＝1.5厘米为半径，即可画出这个圆，因为圆周角为360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为120°的扇形即可，再根据L＝求出弧长。
【完整解答】3÷2＝1.5（厘米）
以点O为圆心，以1.5厘米为半径，画圆和扇形如下：
L＝
＝3.14（厘米）
答：圆心角是120°的扇形弧长是3.14厘米。
17．（5分）（2017•长治）地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
【思路引导】由题意可知，1、9、15、31这四个数为奇数，这四堆石子共有1+9+15+31＝56个，由于56÷4＝14个，14是一个偶数，1和3都为奇数，根据数和的奇偶性可知，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，即因为每操作一次改变一次奇偶性，即：第奇次操作后每堆数量是偶数，第偶次操作后每堆数量是奇数；所以，需要奇数次操作后才有可能每堆数量相等；又因为，它们除以3的余数分别是1，0，0，1，结果都是2；而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果，所以，要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作，在本题中，4堆都要改变，所以需偶数次操作矛盾，所以结果是不可能的．
【完整解答】因为总数为1+9+15+31＝56，
56÷4＝14，
14是一个偶数；
1和3都为奇数，根据数和的奇偶性可知，每操作一次改变一次奇偶性，即：
第奇次操作后每堆数量是偶数，第偶次操作后每堆数量是奇数
所以，需要奇数次操作后才有可能每堆数量相等；
又它们除以3的余数分别是1，0，0，1，结果都是2；
而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果，
所以，要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作，
在本题中，4堆都要改变，所以需偶数次操作矛盾，所以结果是不可能的．
五．操作题（共7小题，满分28分，每小题4分）
18．（4分）分别画出将图形向上平移3格和向左平移8格后的图形。
【思路引导】根据平移的特征，把图中梯形的各顶点分别向右平移3格，依次连接、涂色即可得到平移后的图形；用同样的方法即可把梯形向左平移8格。
【完整解答】分别画出将图形向上平移3格（图中绿色部分）和向左平移8格（图中蓝色部分）后的图形。
19．（4分）画一画
房子向右平移5个格子，小船向下平移4个格子，再向左平移5个格子。
【思路引导】根据平移的特征，把图中“房子”的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到平移后的图形；用同样的方法即可把图中“小船”小船向下平移4个格子，再向左平移5个格子。
【完整解答】把房子向右平移5个格子（图中红色部分），小船向下平移4个格子（图中灰色部分），再向左平移5个格子（图中绿色部分）。
20．（4分）(2023•郓城县模拟）把下面的圆向右平移3个格，在向上平移2个格，画出平移后的图形。
【思路引导】根据平移的特征，把这个圆心的圆心向右平移3个格，在向上平移2个格，以平移后的圆心为圆心，以这个圆的半径为半径画圆，即可得到平移后的圆。
【完整解答】把下面的圆向右平移3个格，在向上平移2个格，画出平移后的图形（图中红色部分）。
21．（4分）(2023春•东川区期中）（1）画出三角形向右平移5格后的图形；
（2）画出三角形绕O点逆时针方向旋转90°后的图形；
（3）画出三角形按2：1放大后的图形．
【思路引导】（1）根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移5格，依次连结即可得到向右平移5格后的图形．
（2）根据旋转的特征，三角形绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．
（3）图中三角形是两直角边分别为2格、3格的直角三角形，根据图形放大与缩小的意义，按2：1放大后的图形是两直角边分别为4格、6格的直角三角形（直角三角形两直角边即可确定其形状）．
【完整解答】（1）画出三角形向右平移5格后的图形（图中红色部分）：
（2）画出三角形绕O点逆时针方向旋转90°后的图形（图中绿色部分）：
（3）画出三角形按2：1放大后的图形（图中蓝色部分）：
22．（4分）(2023•北京模拟）（1）将下图中三角形先向右平移5格，再向下平移6格．
（2）将下图中梯形沿A点顺时针旋转90度．
【思路引导】（1）根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移5格，再向下平移6格，依次连结即可得到平移后的图形．
（2）根据旋转的特征，梯形绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．
【完整解答】（1）将下图中三角形先向右平移5格（图中灰色部分），再向下平移6格（图中红色部分）．
（2）将下图中梯形沿A点顺时针旋转90度（图中绿色部分）：
23．（4分）(2023春•芦溪县期末）（1）画出图形A绕点O顺时针旋转90°后得到图形B．
（2）把图形B向右平移9格，得到图形C．
【思路引导】根据旋转的特征，图A绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形B．
根据平移的特征，把图B的各顶点分别向右平移9格，依次连结即可得到向右平移9格后的图形C．
【完整解答】（1）画出图形A绕点O顺时针旋转90°后得到图形B（图中绿色部分）：
（2）把图形B向右平移9格，得到图形C（图中蓝色部分）：
24．（4分）(2023•芜湖模拟）（1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形B；再将图形B向右平移5格得到图形C；最后绕图形C的顶角顶点顺时针旋转90°得到图形D．
（2）画出图形A按2：1的比放大后的图形．
【思路引导】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出图形A的关键对称点，依次连结即可得到图形B；再根据平移的特征，把图形B的各顶点分别向右平移5格，依次连结即可得到向右平移5格后的图形又C；再根据旋转的特征，图形C绕顶角顶点顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形D．
（2）根据图形放大与缩小的意义，把图形A的各这均放大到原来的2倍，所得到的图形就是图形A按2：1放大后的图形．
【完整解答】（1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形B（红色部分）；再将图形B向右平移5格得到图形C（黄色部分）；最后绕图形C的顶角顶点顺时针旋转90°得到图形D（绿色部分）：
（2）画出图形A按2：1的比放大后的图形（蓝色部分：
六．解答题（共6小题，满分31分）
25．（5分）(2023•宁波模拟）如图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只“马”。众所周知，“马”是走“日”字的。请问：这只“马”能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
【思路引导】如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上〇和●，图中共有22个O和23个●。因为“马”走“日”字，每步只能从〇跳到●，或由●跳到〇，所以“马”从某点跳到同色的点（指〇到〇或●到●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在“马”在〇点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22＝45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。
【完整解答】棋盘上共有点：23+22＝45（个），
马从起点出发走遍半张棋盘，则起点与最后一步同色，
所以不可能从最后一步跳回起点。
答：不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。
26．（5分）(2023•深圳模拟）画出小鱼先向左平移6格，再向下平移4格后的图形．
【思路引导】根据平移的特征，把图中“小鱼”的各顶点分别向左平移6格，依次连结即得到向左平移6格后的图形；用同样的方向即可再把平移后的图形向下平移4格．
【完整解答】画出小鱼先向左平移6格（图中红色部分），再向下平移4格（图中绿色部分）后的图形：
27．（5分）(2023秋•河口县期末）动手操作：先画一个边长是4厘米的正方形，然后在正方形里面画一个最大的圆，并求出这个圆的面积．
【思路引导】画出一个边长是4厘米的正方形，在正方形内画一个内切圆（圆心在这个正方形对角线的交点上，以正方形的边长为直径画圆），这个圆就是最大的圆，其直径是4厘米，再根据圆的面积公式：S＝πr2，解答即可求出圆的面积．
【完整解答】由分析作图如下：
圆的面积：3.14×（4÷2）2
＝3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
答：圆的面积是12.56平方厘米．
28．（5分）(2023•南阳）如图每个小方格的边长表示1厘米，请按要求操作。
（1）画出三角形ABC向下平移3格后的图形。
（2）画出三角形ABC绕A点逆时针旋转90度后的图形。
（3）画出三角形ABC按2：1放大后的图形。
（4）三角形ABC与放大后的图形的周长比是 1：2 ，面积比是 1：4 。
（5）如果以三角形ABC的直角边AC为轴旋转一周，会形成一个圆锥，这个圆锥的体积是 12.53 立方厘米。
【思路引导】（1）根据平移的特征，把三角形ABC的各顶点分别向下平移3格，依次连结即可得到平移后的图形。
（2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
（3）三角形ABC是两直角边为2格、3格的直角三角形，根据图形放大与缩小的意义，按2：1放大后的图形对应的直角边分别是（2×2）格、（3×2）格的直角三角形。
（4）三角形ABC与放大后的图形的周长比是1：2，1：2的前、后项平方的比，就是面积的比（也可分别求出原三角形面积、放大后三角形的面积，再根据比的意义写出它们面积的比，并化成最简整数比）。
（5）三角形ABC的直角边AC为轴旋转一周，会形成一个底面半径为2厘米，高为3厘米的圆锥，根据圆锥体积计算公式“V＝πr2h”即可求出这圆锥的体积。
【完整解答】（1）画出三角形ABC向下平移3格后的图形（下图中红色部分）。
（2）画出三角形ABC绕A点逆时针旋转90度后的图形（下图中绿色部分）。
（3）画出三角形ABC按2：1放大后的图形（下图中蓝色部分）。
（4）三角形ABC与放大后的图形的周长比是1：2；面积比是12：22＝1：4。
（5）3.14×22×3×
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是12.53立方厘米。
故答案为：1：2，1：4。
29．（5分）(2023•宁津县）图中每个小方格表示1平方厘米．
（1）把图中的三角形绕A点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．旋转后，B点的位置用数对表示是（ 5 ， 4 ）．
（2）按2：1的比画出三角形放大后的图形．放大后三角形的面积是 12 平方厘米．
【思路引导】（1）根据图形旋转的特征，图形旋转后形状和大小不变，只是位置变化了．首先明确旋转中心、方向、角度；描出旋转后的对应点，用直线顺次连接各点即可；再用数对表示B点的位置；
（2）按2：1的比画出三角形放大后的图形，放大后两条直角边的长度分别是4厘米、6厘米；利用三角形的面积公式解答即可．
【完整解答】（1）作图如下：旋转后，B点的位置用数对表示是5，4；
（2）6×4÷2＝12（平方厘米）；
答：旋转后，B点的位置用数对表示是5，4；放大后三角形的面积是12平方厘米．
故答案为：5，4；12．
30．（6分）(2023•江都区）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。如，在“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头的质量；又如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形……
（1）如图1有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。
这时，三角形的面积相当于圆的面积。
①观察这个三角形，底相当于圆的 周长 ，高相当于圆的 半径 。
②如果圆的半径是r，三角形的面积：S＝a×h÷2
那么圆的面积：S＝ 2πr × r ÷2＝ πr2
（2）你还能用转化的数学思想来解决以下数学问题吗？如图2，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 。
A. B. C. D.
【思路引导】（1）圆在转化成三角形的时，形状发生了变化，面积没有变，三角形的面积等于圆的面积，观察三角形，底相当于圆的周长，高相当于圆的半径。三角形的面积＝底×高÷2⇒圆的面积：s＝2.
（2）瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，为底面积×10+底面积×（16﹣14），也就是底面积×12；水的体积为底面积×10，由于水与容器的底面积相等，所有容积比＝。
【完整解答】（1）三角形的面积＝圆的面积
底×高÷2
圆的周长×半径÷2＝2πr×r÷2＝πr2
（圆的周长公式是2πr）
（2）瓶子的容积：底面积×10+底面积×（16﹣14）＝底面积×12。
水的体积：底面积×10。
水与容器的底面积相等，所有容积比＝。开始
1
2
3
4
5
甲
a
a﹣b
2a﹣2b
3a﹣5b
6a﹣10b
11a﹣21b
乙
b
2b
3b﹣a
6b﹣2a
11b﹣5a
﹣10a+22b