人教版小升初数学衔接精编讲义【整合提优篇】专题09《数学思考》(原卷版+解析)

这是一份人教版小升初数学衔接精编讲义【整合提优篇】专题09《数学思考》(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了根据规律算一算，个白色小正方形，用小棒按照如图方式摆图形，(2023春•姜堰区期中）算式等内容，欢迎下载使用。

试卷满分：100分 考试时间：100分钟
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）(2023秋•澄江市期末）已知1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，……那么1+3+5+7+9+11＝（ ）
A．52B．62C．72
2．（2分）(2023秋•海安市期末）根据规律算一算：
2+4＝2×3
2+4+6＝3×4
2+4+6+8＝4×5
……
2+4+6+……+20＝（ ）
A．7×8B．8×9C．9×10D．10×11
3．（2分）(2023•北京模拟）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆…依此规律，第10个图形中小圆的个数为（ ）
A．136B．114C．112D．106
4．（2分）如图，照这样画下去第10个图形有10个黑色小正方形，（ ）个白色小正方形．
A．18B．48C．53D．33
5．（2分）（2012•淮安校级自主招生）将整数1，2，3，…，按如图所示的方式排列．这样，第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，…．则第16次转弯的是（ ）
A．71B．72C．73D．74
二．填空题（共8小题，满分20分）
6．(2023•东安县模拟）相同的小棒按如图所示方式摆图形。
摆第6个图形需要 根小棒，摆n个需要 根小棒。76根小棒摆出的图形有 个这样的六边形。
7．（2分）(2023秋•陕州区期末）用小棒按照如图方式摆图形。
（1）想一想，摆出第6幅图需要 根小棒。
（2）照这样摆n个正六边形需要 根小棒。
8．(2023秋•二七区期末）数形结合是学习数学的重要方法之一请你仔细看图，再填一填。
那么+…＝ 。
9．(2023春•姜堰区期中）算式：1×2×3＝6；2×3×4＝24；3×4×5＝60；4×5×6＝120……
上面每组算式都是连续三个数的乘积，通过观察发现：三个连续自然数（0除外）的乘积一定是1、 、 和6的倍数。
请你完成上面的填空，再写出上面发现的理由： 。
10．（2分）(2023秋•英山县期末）如图，摆一个正六边形需要六根小棒，摆两个正六边形需要11根小棒，按这样摆下去，摆10个正六边形需要 根小棒，摆n个正六边形需要 根小棒。
11．(2023秋•相城区期末）用小棒摆图形，按照这样的规律摆下去，第4个图形用了 根，第10个图形用了 根，第 个图形用了98根。
12．（2分）(2023秋•白山期末）已知下列等式：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102……由此规律知，第6个等式是 。
13．（2分）(2023•保定模拟）自然数1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和（每次每个数只能用一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数．如果把它们从小到大排列起来是：1、3、4、9、10、12、…，第60个数是 ．
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）(2023•河南模拟）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒． ．（判断对错）
15．（2分）（2013•陇川县校级模拟）2、5、8、11、14…第20位是偶数． ．
16．（2分）(2023秋•和平区期末）如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。 （判断对错）
17．（2分）(2023•湘潭）若一列数为：2，4，6，8，10，……96，98，100，则这列数的和是2550． （判断对错）
18．（2分）(2023秋•雅安期末）把下面括号里的数重新进行有规律的排列，至少有3种不同的排列方式。
（，，，，，，，，，，，…） （判断对错）
四．应用题（共4小题，满分20分，每小题5分）
19．（5分）(2023秋•歙县校级期末）
像这样继续摆下去，第5个图形有多少根小棒？（要求列式计算并回答）
20．（5分）(2023秋•盐城月考）盐渎公园要铺设一条人行道，人行道长160米，宽1.6米，现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）．
（1）请算算铺设这条人行道一共需多少块地砖？
（2）铺设这条人行道共需要多少块红色地砖？
21．（5分）（2015•徐州）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．
（1）若把4张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐 人；若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐 人．
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
22．（5分）(2023•武汉模拟）一串数：，，，，，，，，，，……
（1）第800个数是多少？
（2）是第几个数？
（3）前552个数的和是多少？
（4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由．
五．操作题（共4小题，满分21分）
23．（4分）(2023•海安县）平面内6个点最多可以连成多少条线段？8个点呢？学着下面的图画一画、数一数，你一定能发现其中的规律．
24．（5分）（2017春•盐城期末）
如图，图形都是用96厘米长的绳子围成的，先填表，再回答问题．
（1）如果围成的每个小正方形的边长正好是4厘米，共围了 个小正方形．
（2）当这根绳子正好围成n个正方形时，顶点的个数是 个．
25．（5分）观察下面的等式和相应的图形（每一个正方形的边长均为1），探究其中的规律：
（1）写出第5个等式，并在下面给出的5个正方形上画出与之对应的图形．
（2）猜想并写出与第100个图形相对应的等式．
26．（7分）根据图形填数，并说说你的发现．
照这样接着画下去：
第6个图形有 个灰色小正方形，有 个蓝色小正方形
第10个图形有 个灰色小正方形，有 个蓝色小正方形
第n个图形有 个灰色小正方形，有 个蓝色小正方形．
六．解答题（共5小题，满分19分）
27．(2023秋•磐石市期末）依据图中的规律，在括号里填上适当的分数。
28．（4分）(2023秋•河北期末）找规律，请你接着画一画，填一填。
29．（4分）(2023春•上城区月考）观察下列等式，并回答问题﹒
2+2＝2×2，3+1＝3×1，4+1＝4×，…
回答下列问题：
（1）请再写一个符合这种特征的等式： 。
（2）请用合适的方法来描述这组等式的特征（规律），并解释为什么有这样的规律？
（3）使等式3+□＝3×□也符合这种特征，则括□中应填的数是 。
30．(2023•北京模拟）四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换…，这样一直下去，第十次交换位子后，小猫在第 号位子上．
31．（5分）（2015•普宁市模拟）淘气和笑笑用小棒按如图的顺序摆八边形．
①根据r如图填表．
②如果摆成7个八边形，需要 根小棒．
③淘气和笑笑分别用一个式子表示出摆成的八边形数量与需要的小棒数量之间的关系，你认为谁说的对？对的画“√”．
淘气：“7n+1” 笑笑：“8n﹣1”
④当n＝20时，需要 根小棒．用85根小棒能摆 个八边形．
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
正方形的个数
1
2
3
……
正方形的边长/cm
24
12
……
顶点的个数
4
7
……
八边形的数量/个
1
2
3
4
5
…
小棒的数量/根
8
15
22
…
人教版数学小升初数学衔接讲义（整合提升）
专题09 数学思考
试卷满分：100分 考试时间：100分钟
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）(2023秋•澄江市期末）已知1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，……那么1+3+5+7+9+11＝（ ）
A．52B．62C．72
【思路引导】通过观察，发现从1开始，有几个奇数相加，就等于几的平方，据此解答。
【完整解答】1+3+5+7+9+11＝62
故选：B。
2．（2分）(2023秋•海安市期末）根据规律算一算：
2+4＝2×3
2+4+6＝3×4
2+4+6+8＝4×5
……
2+4+6+……+20＝（ ）
A．7×8B．8×9C．9×10D．10×11
【思路引导】首先观察并发现规律，然后结合规律写出最终结果，选出答案即可。结合2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5发现规律：有几个数相加，则结果的第一个乘数就为几，第二个乘数为几加一；2+4+6+……+20一共有10个数相加，则结果为10×（10+1）＝10×11。
【完整解答】2+4＝2×3，
2+4+6＝3×4，
2+4+6+8＝4×5
……
2+4+6+……+20
＝10×（10+1）
＝10×11
故选：D。
3．（2分）(2023•北京模拟）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆…依此规律，第10个图形中小圆的个数为（ ）
A．136B．114C．112D．106
【思路引导】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4；由此把n＝10代入计算即可．
【完整解答】10×11+4
＝110+4
＝114（个）
答：第10个图形中小圆的个数为114个．
故选：B．
4．（2分）如图，照这样画下去第10个图形有10个黑色小正方形，（ ）个白色小正方形．
A．18B．48C．53D．33
【思路引导】第一个图形有正方形总数1+8＝9（个）；同理，第二图形，正方形总数：2+13＝15（个），第三个图形，正方形总数：3+18＝21（个），可以发现规律，图形中小正方形总数依次增加6个，据此规律回答即可．
【完整解答】第一个图形有正方形总数1+8＝9（个）；同理，第二图形，正方形总数：2+13＝15（个），第三个图形，正方形总数：3+18＝21（个），
可以发现规律，图形中小正方形总数依次增加6个，
则，第10个图形的小正方形总数为：
3×（2×10+1）
＝3×21
＝63（个）
则，白色小正方形个数：
63﹣10＝53（个）
答：第10个图形有53个小正方形．
故选：C．
5．（2分）（2012•淮安校级自主招生）将整数1，2，3，…，按如图所示的方式排列．这样，第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，…．则第16次转弯的是（ ）
A．71B．72C．73D．74
【思路引导】转弯处的数是：2，3，5，7，10，13，17，21，…第16次是这个数列的偶数项，把偶数项的数字拿出来就是：
3，7，13，21…把这些数看成一个数数列，这个数列的第一项3＝1×2+1，第二项7＝3×2+1，第三项13＝3×4+1，第四项21＝4×5+1，那么第n项是n×（n+1）+1；先求出第16次转弯是第几个偶数项，再根据偶数项的通项公式求解．
【完整解答】16÷2＝8；
第16次转弯是第8个偶数项，这一项上的数字是：
8×9+1＝73；
即第16次转弯处的数字是73．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分20分）
6．(2023•东安县模拟）相同的小棒按如图所示方式摆图形。
摆第6个图形需要 31 根小棒，摆n个需要 （5n+1） 根小棒。76根小棒摆出的图形有 15 个这样的六边形。
【思路引导】根据图示，摆1个图形需要小棒6根；摆2个图形需要小棒：6+5＝11（根）；摆3个图形需要小棒6+5+5＝16（根）；……；摆n个图形需要小棒：6+5（n﹣1）＝（5n+1）根。据此解答即可。
【完整解答】摆1个图形需要小棒6根
摆2个图形需要小棒：6+5＝11（根）
摆3个图形需要小棒6+5+5＝16（根）
……
摆n个图形需要小棒：6+5（n﹣1）＝（5n+1）根
摆6个图形需要小棒：
5×6+1
＝30+1
＝31（根）
5n+1＝76
5n＝75
n＝15
答：摆第6个图形需要31根小棒，摆n个需要（5n+1）根小棒。76根小棒摆出的图形有15个这样的六形。
故答案为：31；（5n+1）；15。
7．（2分）(2023秋•陕州区期末）用小棒按照如图方式摆图形。
（1）想一想，摆出第6幅图需要 31 根小棒。
（2）照这样摆n个正六边形需要 5n+1 根小棒。
【思路引导】首先审题，明确题意，罗列每个图书需要的小木棒根数，发现规律，结合规律答题即可。图1：6根；图2：6+5＝11根，……图n：6+5×（n﹣1）。据此答题即可。
【完整解答】经分析得：
图1：6根；
图2：6+5＝11（根），
……
图n：[6+5×（n﹣1）]根。
（1）摆出第6副图需要：
6+5×（6﹣1）
＝6+25
＝31（根）
（2）照这样摆n个正六边形需要：
6+5×（n﹣1）
＝（5n+1）（根）
故答案为：31；（5n+1）。
8．(2023秋•二七区期末）数形结合是学习数学的重要方法之一请你仔细看图，再填一填。
那么+…＝ 1 。
【思路引导】经过看图发现：一图空白占了正方形图形的，阴影就占了；图二空白部分占了正方形的，阴影部分占了正方形的；图三空白占了正方形的，阴影部分占了正方形的，如果继续把正方形平均分成32份，64份…，就会发现阴影面积离正方形面积越来越近，所得的分数就会越来越接近1。
【完整解答】如下图所示：
故答案为：+…＝1
9．(2023春•姜堰区期中）算式：1×2×3＝6；2×3×4＝24；3×4×5＝60；4×5×6＝120……
上面每组算式都是连续三个数的乘积，通过观察发现：三个连续自然数（0除外）的乘积一定是1、 2 、 3 和6的倍数。
请你完成上面的填空，再写出上面发现的理由： 因为大于0的自然数都是1的倍数，三个连续自然数至少有一个是偶数，且大于或等于2，所以它们的乘积一定是2的倍数，三个连续的自然数有一个是3的倍数，所以它们的乘积一定是3的倍数，因此也是6的倍数 。
【思路引导】上面每组算式都是连续三个数的乘积，通过观察发现：三个连线自然数（0除外）的乘积一定是1、2、3和6的倍数；因为大于0的自然数都是1的倍数，三个连续自然数至少有一个是偶数，且大于或等于2，所以它们的乘积一定是2的倍数，三个连续的自然数有一个是3的倍数，所以它们的乘积一定是3的倍数，因此也是6的倍数；据此解答。
【完整解答】上面每组算式都是连续三个数的乘积，通过观察发现：三个连线自然数（0除外）的乘积定是1、2、3和6的倍数；
因为大于0的自然数都是1的倍数，三个连续自然数至少有一个是偶数，且大于或等于2，所以它们的乘积一定是2的倍数，三个连续的自然数有一个是3的倍数，所以它们的乘积一定是3的倍数，因此也是6的倍数。
故答案为：2，3，因为大于0的自然数都是1的倍数，三个连续自然数至少有一个是偶数，且大于或等于2，所以它们的乘积一定是2的倍数，三个连续的自然数有一个是3的倍数，所以它们的乘积一定是3的倍数，因此也是6的倍数。
10．（2分）(2023秋•英山县期末）如图，摆一个正六边形需要六根小棒，摆两个正六边形需要11根小棒，按这样摆下去，摆10个正六边形需要 51 根小棒，摆n个正六边形需要 5n+1 根小棒。
【思路引导】审题，用式子揭示规律：摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要6+5×1根小棒，……，摆n个正六边形需要6+5×（n﹣1）根小棒。据此答题即可。
【完整解答】经分析得：
当n＝10时，
6+5×（n﹣1）
＝6+5×9
＝6+45
＝51（根）
6+5×（n﹣1）
＝6+5n﹣5
＝5n+1（根）
故答案为：51；5n+1。
11．(2023秋•相城区期末）用小棒摆图形，按照这样的规律摆下去，第4个图形用了 18 根，第10个图形用了 42 根，第 24 个图形用了98根。
【思路引导】（1）4×1+2＝6（根）；（2）4×2+2＝10（根）4×3+2＝14（根），故可知第n个图有（4n+2）根。则结合发现的规律完成填空即可。
【完整解答】结合分析可知：
第n个图有（4n+2）根。
4×4+2
＝16+2
＝18（根）
10×4+2
＝40+2
＝42（根）
（98﹣2）÷4
＝96÷4
＝24（个）
故答案为：18；42；24。
12．（2分）(2023秋•白山期末）已知下列等式：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102……由此规律知，第6个等式是 13+23+33+43+53+63＝212 。
【思路引导】13+23＝（1+2）2＝32，
13+23+33＝（1+2+3）2＝62，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102，
所以13+23+33+43＝（1+2+3+4+5）2＝152，13+23+33+43+53+63＝（1+2+3+4+5+6）2＝212。
【完整解答】由上面算式规律知：第5个等式是：13+23+33+43＝（1+2+3+4+5）2＝152；
第6个等式是：13+23+33+43+53+63＝（1+2+3+4+5+6）2＝212。
故答案为：13+23+33+43+53+63＝212。
13．（2分）(2023•保定模拟）自然数1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和（每次每个数只能用一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数．如果把它们从小到大排列起来是：1、3、4、9、10、12、…，第60个数是 360 ．
【思路引导】因为一共得到了63个数，那么第60个数就是第四大的数，从最大数开始算，算出第四个就可以了．
【完整解答】最大的数是：1+3+9+27+81+243＝364；
第二大的数是：3+9+27+81+243＝363；
第三的数是：1+9+27+81+243＝361；
第四大的数是：9+27+81+243＝360．
故答案为：360．
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）(2023•河南模拟）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒． √ ．（判断对错）
【思路引导】摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；摆三个正方形要小棒（4+3×2）根，即10根，由此得到摆n个正方形要小棒4+3×（n﹣1）＝3n+1根；然后把n＝10代入3n+1中即可求出摆10个正方形需要的小棒数．
【完整解答】摆一个正方形要小棒4根；
摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；
摆三个正方形要小棒（4+3×2）根，即10根，
…，
所以摆n个正方形要小棒：4+3×（n﹣1）＝3n+1（根）；
n＝10，3×10+1＝31（根）；
答：摆10个正方形一共需要31根小棒．
原题说法正确．
故答案为：√．
15．（2分）（2013•陇川县校级模拟）2、5、8、11、14…第20位是偶数． × ．
【思路引导】这个数列是按偶数、奇数、偶数、奇数…依次排列的，奇数项是偶数，偶数项是奇数，第20位是偶数项所以是奇数．
【完整解答】奇数项是偶数，偶数项是奇数，第20位是偶数项，
所以第20位是奇数，不是偶数；
故答案为：×．
16．（2分）(2023秋•和平区期末）如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。 × （判断对错）
【思路引导】图1：1+3＝4；图2：1+3+5＝9；图3：1+3+5+7＝16。结合规律可知：如果最下层放19块积木，共需放积木的块数为：1+3+5+……+19＝（1+19）×19÷2，计算出结果判断即可。
【完整解答】1+3+5+……+19
＝（1+19）×19÷2
＝20÷2×19
＝10×19
＝190
故答案为：×。
17．（2分）(2023•湘潭）若一列数为：2，4，6，8，10，……96，98，100，则这列数的和是2550． √ （判断对错）
【思路引导】求2，4，6，8，10，……96，98，100的和即为求：2+4+6+8+10+…+100＝？n＝50，根据等差数列的求和公式完成计算．
【完整解答】2+4+6+8+10+…+100
＝
＝
＝2550
所以原题计算正确．
故答案为：√．
18．（2分）(2023秋•雅安期末）把下面括号里的数重新进行有规律的排列，至少有3种不同的排列方式。
（，，，，，，，，，，，…） √ （判断对错）
【思路引导】根据题意，这组数字可按照分母是2、3、4、5、6……的顺序排列；
也可按分子从小到大顺序排列；
也可以按照分母是2、3、4、5、6……的顺序排列，然后按分母和分子之间的差的大小排列；
还可以写成假分数的形式排列；据此解答即可。
【完整解答】方法一：按照分母是2、3、4、5、6……的顺序排列：
，，，，，，，，，，……
方法二：按分子从小到大顺序排列：
，，，，，，，，，，……
方法三：按照分母是2、3、4、5、6……的顺序排列，然后按分母和分子之间的差的大小排列：
，，，，，，，，，，……
方法四：写成假分数形式：
1+，1+，1+，1+，1+，1+，1+，1+，1+，1+，1+，……
所以原题说法正确。
故答案为：√。
四．应用题（共4小题，满分20分，每小题5分）
19．（5分）(2023秋•歙县校级期末）
像这样继续摆下去，第5个图形有多少根小棒？（要求列式计算并回答）
【思路引导】通过分析可知：第一个三角形有3根小木棒，第2个三角形有6根小木棒，第3个三角形有9根小木棒，可得第n个三角形有3n根小木棒，据此解答即可。
【完整解答】第一个三角形有3根小木棒，第2个三角形有6根小木棒，第3个三角形有9根小木棒，
可得第n个三角形有3n根小木棒；
3n＝3×5＝15
答：第5个图形有15根小木棒。
故答案为：15根。
20．（5分）(2023秋•盐城月考）盐渎公园要铺设一条人行道，人行道长160米，宽1.6米，现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）．
（1）请算算铺设这条人行道一共需多少块地砖？
（2）铺设这条人行道共需要多少块红色地砖？
【思路引导】（1）1.6米宽是4个每个地砖的宽，可以求出每个地砖边长，根据长方形面积公式：S＝ab，求出整个人行道的面积，然后除以每块地砖的面积，即可求出一共多少地砖；
（2）观察图形可以发现，每个4×4的地砖为一组，每一组中有4块地砖，先求出人行道有几组，再乘4即可。
【完整解答】（1）每块地砖的边长为：
1.6÷4＝0.4（米）
需要地砖的块数：
160×1.6÷0.42
＝160×1.6÷0.16
＝160×10
＝1600（块）
答：铺设这条人行道一共需1600块地砖。
（2）将图形按4×4分组，共有：
160÷16＝100（组）
红色地砖有：
100×4＝400（块）
答：铺设这条人行道共需要400块红色地砖。
21．（5分）（2015•徐州）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．
（1）若把4张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐 18 人；若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐 34 人．
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
【思路引导】观察图形发现：一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，多一个长方形餐桌，多用4个人，则第n张餐桌，需要可坐（2+4n）人．
【完整解答】根据分析可得，
第n张餐桌，需要可坐（2+4n）人．
（1）2+4×4＝18（人）
2+4×8＝34（人）
答：若把4张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐 18人．若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐34人．
（2）2+4n＝90
4n＝88
n＝22
答：若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要22张．
故答案为：18，34．
22．（5分）(2023•武汉模拟）一串数：，，，，，，，，，，……
（1）第800个数是多少？
（2）是第几个数？
（3）前552个数的和是多少？
（4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由．
【思路引导】观察数列，，，，，，，，，，……，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为n的分数有2n﹣1个；分子都是从1开始到与分母的数字相同连续的自然数，再倒数回到1，由此规律解决问题：
（1）首先要计算第800个数之前最大的平方是：当n＝28时，n2＝784，第784个数是分母为28的最后一个数，所以可以找到第800个数；
（2）先找出分母是16的最后一个数，是第162个数，162＝256，再向右数5个即可，因为同一个分母的数除中间为1的数是出现一次外，其余都是出现2次，所以倒数第5个数也是，得出结论；
（3）同（1）同理，先计算第552个数之前最大的平方数：当n＝23时，n2＝529，先计算分母为1至23的所有分数之和：1+2+3+……+23的值，再确定第529到552之间数的和，最后相加即可；
（4）因为分母为n的分数有2n﹣1个，且这2n﹣1个分数相加和为n；所以分母为n时，前n2个数的和为，确定当n为最大时，最接近106时的n＝14，即前196个数的和为＝105，与106还相差1，分母为15的分数能否达到几个分数和为1，来判断。
【完整解答】观察数列，，，，，，，，，，……，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为n的分数有2n﹣1个；且这2n﹣1个分数相加和为n.；第12个是分母为1的最后一个，第22个是分母为2的最后一个……，第n2个是分母为n的最后一个；
（1）因为1+3+5+…+2n﹣1＝n2，
所以令n2≤800，
解得：n≤28，
当n＝28时，n2＝784，
所以第784个数是分母为28的最后一个数，
所以800个数的分母为29，分子为800﹣784＝16，所以第800个数为；
（2）因为162+5＝256+5＝261，
172﹣4＝289﹣4＝285，
所以是第261个数或第285个数；
（3）令n2≤552，
解得：n≤23，
当n＝23时，n2＝529，
即前529个数的和为：1+2+3+……+23＝24×11+12＝276，
第530至第552个数之间一共有：
552﹣530+1＝23个数，
第530至第552个数的和为：
+++……+＝＝11.5，
所以前552个数的和是：276+11.5＝287.5；
（4）分母为n时，前n2个数的和为，当n＝14时，前142＝196个数的和为：
＝105，
第197个数开始为分母是15的数：
++++＝1，
105+1＝106，
所以存在前n个数的和等于106，此时n＝196+5＝201。
故答案为：（1）；（2）第261个数或第285个数；（3）287.5；（4）存在前n个数的和等于106，此时n的值是201。
五．操作题（共4小题，满分21分）
23．（4分）(2023•海安县）平面内6个点最多可以连成多少条线段？8个点呢？学着下面的图画一画、数一数，你一定能发现其中的规律．
【思路引导】2个点连成线段的条数：1（条），
3个点连成线段的条数：1+2＝3（条），
4个点连成线段的条数：1+2+3＝6（条），
5个点连成线段的条数：1+2+3+4＝10（条），
…；
由此得出规律：n个点的线段数是：1+2+3+4…+n﹣1条线段；据此规律解答即可．
【完整解答】根据题意，n个点的线段数是：1+2+3+4…+n﹣1条线段．
6个点可画：1+2+3+4+5＝15（条）
8个点可画：1+2+3+4+5+6+7＝28（条）
答：6个点，一共可以连15条线段；8个点，一共可以连28条线段．
24．（5分）（2017春•盐城期末）
如图，图形都是用96厘米长的绳子围成的，先填表，再回答问题．
（1）如果围成的每个小正方形的边长正好是4厘米，共围了 6 个小正方形．
（2）当这根绳子正好围成n个正方形时，顶点的个数是 （3n+1） 个．
【思路引导】根据图意，先计算出大正方形的边长；第几幅图就有几个小正方形，大正方形的边长就被平均分成了几份，每增加一个小正方形就增加3个顶点；据此完成表格，再根据表格进行解答即可．
【完整解答】96÷4＝24（厘米）
24÷3＝8（厘米）
4+3+3＝10（个）
（1）24÷4＝6（个）
答：如果围成的每个小正方形的边长正好是4厘米，共围了6个小正方形．
（2）4+3（n﹣1）＝3n+1（个）
答：当这根绳子正好围成n个正方形时，顶点的个数是（3n+1）个．
故答案为：6；（3n+1）．
25．（5分）观察下面的等式和相应的图形（每一个正方形的边长均为1），探究其中的规律：
（1）写出第5个等式，并在下面给出的5个正方形上画出与之对应的图形．
（2）猜想并写出与第100个图形相对应的等式．
【思路引导】①是把一个长方形面积看作单位“1”，把它平均分成2份，每份是它的，根据分数乘法的意义，涂色部分就是1×＝；根据分数的意义，涂色部分是＝1﹣．因此1×＝1﹣
②这个长方形是①中长方形的2倍，把这个长方形面积看作“2”，把它平均分成3份，每份是它的，涂色部分就是这个长方形的，根据分数乘法的意义，涂色部分面积是2×；根据分数的意义，涂色部分是2﹣×2＝2﹣．因此，2×﹣2﹣．
③这个长方形是①中长方形的3倍，把这个长方形面积看作“3”，把它平均分成4份，每份是它的，涂色部分就是这个长方形的，根据分数乘法的意义，涂色部分面积是3×；根据分数的意义，涂色部分是3﹣×3＝3﹣．因此，3×＝3﹣
④这个长方形是①中长方形的2倍，把这个长方形面积看作“4”，把它平均分成5份，每份是它的，涂色部分就是这个长方形的，根据分数乘法的意义，涂色部分面积是4×；根据分数的意义，涂色部分是4﹣×4＝4﹣．因此，4×﹣4﹣．
……
由此可心推出：当长方形的面积是n（n为大于0的自然数）时，把它平均分成（n+1）份，涂色部分是这个长方形的n×；根据分数的意义，涂色部分是n﹣×n，即n﹣；因此，n×＝n﹣．根据这一规律，（1）可以写出第5个等式，并在下面给出的5个正方形上画出与之对应的图形；（2）并写出与第100个图形相对应的等式．
【完整解答】（1）第5个长方形面积看作“5”，把它平均分成6份，每份是它的，涂色部分就是这个长方形的，根据分数乘法的意义，涂色部分面积是5×；根据分数的意义，涂色部分是5﹣×5＝5﹣．因此，5×＝5﹣←→
（2）与第100个图形相对应的等式是：100×＝100﹣
26．（7分）根据图形填数，并说说你的发现．
照这样接着画下去：
第6个图形有 6 个灰色小正方形，有 18 个蓝色小正方形
第10个图形有 10 个灰色小正方形，有 26 个蓝色小正方形
第n个图形有 个灰色小正方形，有 8+（n﹣1）×2 个蓝色小正方形．
【思路引导】根据图可知：第1个图形有1个灰色小正方形，有8个蓝色小正方形；第2个图形有个灰色小正方形，有10个蓝色小正方形；第3个图形有3个灰色小正方形，有12个蓝色小正方形；第4个图形有4个灰色小正方形，有14个蓝色小正方形；…由此得出：第n个图形的有n个灰色小正方形，有8+（n﹣1）×2个蓝色小正方形；此解答即可．
【完整解答】由分析可知：
第1个图形有1个灰色小正方形，有8个蓝色小正方形；
第2个图形有个灰色小正方形，有10个蓝色小正方形；
第3个图形有3个灰色小正方形，有12个蓝色小正方形；
第4个图形有4个灰色小正方形，有14个蓝色小正方形；…
由此得出：第n个图形的有n个灰色小正方形，有8+（n﹣1）×2个蓝色小正方形；
第6个图形有6个灰色小正方形，有8+（6﹣1）×2＝18个蓝色小正方形
第10个图形有10个灰色小正方形，有8+（10﹣1）×2＝26个蓝色小正方形
第n个图形有n个灰色小正方形，有8+（n﹣1）×2个蓝色小正方形．
故答案为：
6；18；10；26；n；8+（n﹣1）×2．
六．解答题（共5小题，满分19分）
27．(2023秋•磐石市期末）依据图中的规律，在括号里填上适当的分数。
【思路引导】结合图示和分数中显示的规律可知：分子为图中阴影小三角形的个数，分母为图中所有小三角形的个数。结合发现的规律可知分子构成的数列为：3，5，7，9，11，13，……；
分母构成的规律用式子表示为：1+3＝4，4+5＝9，9+7＝16，16+9＝25，25+11＝36，36+13＝49，……。故第6层的分数为。
【完整解答】分子构成的数列为：3，5，7，9，11，13，……；
分母构成的规律用式子表示为：1+3＝4，4+5＝9，9+7＝16，16+9＝25，25+11＝36，36+13＝49，……。
故第6层的分数为。
故答案为：。
28．（4分）(2023秋•河北期末）找规律，请你接着画一画，填一填。
【思路引导】首先观察，分析规律，然后结合规律填空，并画图即可。据此答题即可。
【完整解答】经分析得：
29．（4分）(2023春•上城区月考）观察下列等式，并回答问题﹒
2+2＝2×2，3+1＝3×1，4+1＝4×，…
回答下列问题：
（1）请再写一个符合这种特征的等式： 5+1＝5×1 。
（2）请用合适的方法来描述这组等式的特征（规律），并解释为什么有这样的规律？
（3）使等式3+□＝3×□也符合这种特征，则括□中应填的数是 。
【思路引导】（1）根据题目中的算式仿写即可；
（2）将2+2＝2×2，写成与后面统一的形式，一个大于2的数加上分母比这个数小1，分子是该数，相加的结果与这个数乘这个分数的结果相等，左边通分，分子处根据乘法分配律计算，就可以等于右边。
（3）根据规律填数即可。
【完整解答】（1）5+1＝5×1
（2）2+2＝2×2，2+1＝2×1，3+1＝3×1，4+1＝4×，…，一个大于2的数加上分母比这个数小1，分子是该数，相加的结果与这个数乘这个分数的结果相等，左边通分，分子处根据乘法分配律计算，就可以等于右边。
（3）
故答案为：5+1＝5×1，。
30．(2023•北京模拟）四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换…，这样一直下去，第十次交换位子后，小猫在第 1 号位子上．
【思路引导】观察图形，由已知小猫坐在第4号，按要求交换，第一次⇒3，第二次⇒1，第三次⇒2，第四次回到原位4，…，得到的规律是每4次一循环，根据此规律很容易得到第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上．
【完整解答】由已知和图形得知，小猫自第一次交换位子后依次坐在2→1→3→4→2…，得到每4次一循环，
因为，10÷4＝2……2，
所以，第十次交换位子后，小猫坐在和第二次交换的位子相同，即第1号位子上．
答：第十次交换座位后，小猫坐在第1号位子．
故答案为：1．
31．（5分）（2015•普宁市模拟）淘气和笑笑用小棒按如图的顺序摆八边形．
①根据r如图填表．
②如果摆成7个八边形，需要 50 根小棒．
③淘气和笑笑分别用一个式子表示出摆成的八边形数量与需要的小棒数量之间的关系，你认为谁说的对？对的画“√”．
淘气：“7n+1” √ 笑笑：“8n﹣1” ×
④当n＝20时，需要 141 根小棒．用85根小棒能摆 12 个八边形．
【思路引导】摆一个八边形用了8根小棒，摆两个八边形就多用了7根，摆三个就多用了7×2根，…，根据图形发现规律：多一个八边形，就多用7根小棒，则摆n个八边形，需要小棒：8+7（n﹣1）＝7n+1根；由此即可解决问题．
【完整解答】根据题干分析可得：摆一个八边形用了8根小棒，
摆两个八边形需要8+7＝15（根），
摆三个需要8+7×2＝22（根），
①摆四个需要8+7×3＝29（根）
摆五个需要8+7×4＝36（根）
…
所以摆n个八边形，需要小棒8+7（n﹣1）＝7n+1根；
填表如下：
②当n＝7时，7×7+1＝50（根）；
答：如果摆成7个八边形，需要 50根小棒；
③摆成的八边形数量与需要的小棒数量之间的关系是：n个八边形，需要小棒8+7（n﹣1）＝7n+1（根）；
④当n＝20时，20×7+1＝141（根）；
当有85根小棒时，
7n+1＝85
7n＝84
n＝12
答：当n＝20时，需要 141根小棒．用85根小棒能摆 12个八边形．
故答案为：15；22；141；7n+1；288．正方形的个数
1
2
3
……
正方形的边长/cm
24
12
……
顶点的个数
4
7
……
正方形的个数
1
2
3
……
正方形的边长/cm
24
12
8
……
顶点的个数
4
7
10
……
八边形的数量/个
1
2
3
4
5
…
小棒的数量/根
8
15
22
…
八边形的数量/个
1
2
3
4
5
…
小棒的数量/根
8
15
22
29
36
…