人教版小升初数学衔接精编讲义专题02《有理数》(精编讲义)(原卷版+解析)

这是一份人教版小升初数学衔接精编讲义专题02《有理数》(精编讲义)(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了负整数统称整数．，相反数，多重符号的化简，绝对值，有理数的大小比较等内容，欢迎下载使用。

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学习目标
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
理解有理数的意义
熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用； 理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小； 会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
掌握多重符号的化简；
掌握一个数的绝对值的求法和性质； 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
知识要点
要点1：有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：

要点分析：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
要点2：有理数
我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
要点分析：
（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．
（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．
要点3：数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
要点分析：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
要点4：数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
要点分析：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．
要点5：数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如．
要点分析：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
要点6、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点分析：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点7、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点分析：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点8、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点9、有理数的大小比较
数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
题型1：有理数
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•海淀区校级期末）在下列数，，6.7，，0，，，中，属于整数的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【完整解答】在数，，6.7，，0，，，中，属于整数的有，，0，，一共4个．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•武汉期中）下面说法正确的是
A．有理数包括整数和分数B．有理数是整数
C．整数一定是正数D．有理数是正数和负数的统称
【完整解答】整数和分数统称为有理数，故选项正确；
整数和分数统称有理数，故选项错误；
整数中也含有负整数和零，故选项错误；
有理数是整数、分数的统称，故选项错误．
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•徐汇区校级月考）一个两位数的素数，如果它的两个数位上的数字之和是5，那么这个两位数是 ．
【变式训练2】(2023秋•门头沟区期末）学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：“在8，，，0，这五个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说：“其中的非负数只有8和这两个．”
你认为小明的回答是否正确： （填“正确”或“不正确” ，理由是 ．
．
题型2：数轴
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•宽城区期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数满足，则的值不可能是
A．2B．0C．D．
【完整解答】根据数轴上的位置得：，
，
，
，
则的值不可能为．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•荔湾区期末）数轴上，两点对应的有理数分别是和，则，之间的整数有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【完整解答】大于小于的整数有：，0，1，2，3，4，共有6个
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•邗江区期末）数轴上、两点间的距离为5，点表示的数为3，则点表示的数为 ．
【变式训练2】(2023春•越秀区校级期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．
题型3：相反数
典例精讲
【典型例题1】（2011•拱墅区校级模拟）若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是
A．和B．和C．和D．和
【完整解答】，互为相反数，．
中，，它们互为相反数；
中，，即和不是互为相反数；
中，，它们互为相反数；
中，，它们互为相反数．
故选：．
【典型例题2】（2017秋•东莞市校级月考）的相反数是 ；的相反数是 ；的相反数是 ；的相反数是 ．
【完整解答】的相反数是；的相反数是3.5；的相反数是；的相反数是2，
故答案为：；3.5；；2．
变式训练
【变式训练1】（2016秋•南阳期末）的相反数是 ．
【变式训练2】（2017秋•霸州市校级月考）如图所示，已知，，，四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点和点表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点的位置．
【变式训练3】（2016秋•盱眙县校级月考）化简下列各式
， ， ， ； ， ， ．
题型4：绝对值
典例精讲
【典型例题1】（2017秋•山东月考）已知与互为相反数，与互为倒数，求的值．
【完整解答】与互为相反数，与互为倒数，
，．
．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•南京期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是
①，②，③，④．
A．②③④B．①③④C．①②③D．①②③④
【变式训练2】(2023秋•九龙县期末）有理数、、在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0．
（2）化简：．
基础达标
一．选择题
1．(2023•雅安）的绝对值是
A．B．2021C．D．
2．(2023•烟台）若的相反数是3，则的值是
A．B．C．3D．
3．(2023•福建模拟）如图是小竹观察到温度计的示数，该示数的绝对值是
A．B．9C．D．11
4．(2023•南充）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为
A．B．2C．1D．
5．(2023•河北）如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是
A．B．
C．D．
6．(2023春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是
A．3B．3.1C．D．3.2
7．(2023•长春一模）如图，数轴上点对应的数是2，将点沿数轴向左移动3个单位至点，则点对应的数是
A．B．0C．3D．5
8．(2023秋•仓山区校级期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果正确的是
A．B．C．D．
二．填空题
9．(2023•南开区三模）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点，，，对应的数分别是整数，，，，且，则的值为 ．
10．(2023春•奉贤区期中）在数轴上点表示的数是，则距离点个单位的表示的数是 ．
11．(2023春•九龙坡区校级月考）已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．
12．(2023秋•沂南县期末）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点表示数，点表示数8，为数轴一个动点．若点在线段上，且点是点、点的“关键点”，则此时点表示的数是 ．
13．(2023春•宝山区期末）比较大小： ．（填“”、“ ”或“”
14．(2023秋•沙县期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和4，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是 ．
三．解答题
15．(2023秋•宁化县月考）画出数轴，把下面各数在数轴上标注出来，并求出它们的和：，1.5，．
16．(2023秋•南山区校级期中）某天检修小组乘坐新能源电动汽车从地出发，沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，到收工时10次运动所走的路程（单位：如下：
（1）问收工时检修小组在地的东面还是西面？距离地多少千米？
（2）若电动汽车每千米耗电0.2度，问这天共耗电多少度？
17．(2023秋•武昌区校级月考）已知在数轴上点，点表示的数分别是，，满足，．
（1）计算，的值；
（2）直接写出线段的长度．
18．(2023春•海陵区校级月考）记，，，，（其中为正整数）．
（1）计算：；
（2）求的值；
（3）说明与互为相反数．
19．(2023秋•江岸区期末）化简并填空：
（1）当时，化简；
（2）当最小时，的最大值为 ．
20．(2023秋•玉门市期末）某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）
，，，，，，，
（1）在岗亭哪个方向？距岗亭多远？
（2）若摩托车行驶1千米耗油0.12升，油箱中有10升油摩托车能否最后返回岗亭？
能力提升
一．选择题
1．(2023秋•松山区期末）如图，数轴上点表示的数可能是
A．1.5B．C．D．2.6
2．(2023秋•荔湾区期末）数轴上，两点对应的有理数分别是和，则，之间的整数有
A．4个B．5个C．6个D．7个
3．(2023秋•滦南县期末）数轴上点和点表示的数分别是和3，点到、两点的距离之和为6，则点表示的数是
A．B．或5C．D．或4
4．(2023秋•滦州市期末）下列各组算式中，其值最小的是
A．B．C．D．
5．(2023秋•南开区期末）若，那么的取值不可能是
A．B．0C．1D．2
6．(2023秋•香洲区校级月考）下列式子正确的是
A．B．C．D．
7．(2023秋•兴宁区校级期中）如图，已知点，，在数轴上表示的数分别为，，，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
8．(2023秋•海淀区校级月考）、两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是
A．，B．C．，D．
9．(2023秋•松滋市期末）如图，，，，四点在数轴上，其中为原点，且，，若点所表示的数为，则点所表示的数正确的是
A．B．C．D．
二．填空题
10．(2023秋•晋安区校级月考）数轴上，表示的点在原点的 边，与原点距离 个单位长度．表示的点在原点的 边，与原点距离 个单位长度．
11．(2023秋•晋安区校级月考）在数轴上，表示数，2.1，，0，，3，的点中，在原点左边的有 个， 表示的点与原点的距离最远．
12．(2023秋•长乐区校级月考）已知数轴上、表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点在点的左边，则点表示的数是 ．
13．(2023秋•武侯区校级期中）若，则的最大值为 ．
14．(2023秋•海淀区校级月考）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是，若在这个数轴上随意画出一条长为的线段，则盖住的整点的个数是 ．
15．(2023秋•江岸区校级月考）若、都为整数，且．则 ．
16．(2023秋•海淀区校级月考）的相反数是 ，的相反数是 ．
17．(2023秋•海淀区校级期中）如图，若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 ．（填“”、“ ”“ ”或“”
18．(2023秋•天心区校级月考）绝对值大于1，小于4的所有整数的积是 ；绝对值不大于5的所有负整数的积是 ．
三．解答题
19．(2023秋•龙岗区期末）根据如图给出的数轴，解答下面的问题：
（1）点表示的数是 ，点表示的数是 ．若将数轴折叠，使得与表示的点重合，则点与数 表示的点重合；
（2）观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是： ；
（3）已知点到、两点距离和为8，求点表示的数．
20．(2023秋•黄埔区期末）如图，已知数轴上、两点所表示的数分别为和6．
（1）求线段的长；
（2）已知点为数轴上点左侧的一个动点，且为的中点，为的中点．请你画出图形，并探究的长度是否发生改变？若不变，求出线段的长；若改变，请说明理由．
21．(2023秋•潜江期末）已知点，，都在数轴上，点为原点，点对应的数为11，点对应的数为，点在点右侧，长度为3个单位的线段在数轴上移动．
（1）如图1，当线段在，两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段，求此时的值；
（2）若线段位于点的左侧，且在数轴上沿射线方向移动，当时，求的值．
22．(2023秋•青羊区校级月考）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 和 ，，两点间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ；
（3）若点表示的整数为，则当为 时，与的值相等；
（4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ．
23．(2023秋•兴隆县期中）阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离；
，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3；
类似的： ，它在数轴上的意义表示的 点与 的点之间的距离是 ，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离．
归纳：它在数轴上的意义表示的 点与的 点之间的距离．
应用：，它在数轴上的意义表示 的点与 的点之间的距离为1，所以的值为 ．两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
2021年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义
专题02《有理数》
知识互联网
学习目标
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
理解有理数的意义
熟练掌握数轴及相反数的相关概念，并能灵活运用； 理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小； 会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
掌握多重符号的化简；
掌握一个数的绝对值的求法和性质； 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
知识要点
要点1：有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：

要点分析：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
要点2：有理数
我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
要点分析：
（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．
（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．
要点3：数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
要点分析：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
要点4：数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
要点分析：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．
要点5：数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如．
要点分析：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
要点6、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点分析：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点7、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
要点分析：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点8、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点9、有理数的大小比较
数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
要点分析：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
题型1：有理数
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•海淀区校级期末）在下列数，，6.7，，0，，，中，属于整数的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【完整解答】在数，，6.7，，0，，，中，属于整数的有，，0，，一共4个．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•武汉期中）下面说法正确的是
A．有理数包括整数和分数B．有理数是整数
C．整数一定是正数D．有理数是正数和负数的统称
【完整解答】整数和分数统称为有理数，故选项正确；
整数和分数统称有理数，故选项错误；
整数中也含有负整数和零，故选项错误；
有理数是整数、分数的统称，故选项错误．
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•徐汇区校级月考）一个两位数的素数，如果它的两个数位上的数字之和是5，那么这个两位数是 23或41 ．
【完整解答】，
因此这个两位数为14或者41，
其中14为合数，故舍去；
，因此这个两位数为23或者32，
其中32为合数，故舍去；
综上所述，这个两位数应该是41或23；
故答案为：23或41．
【变式训练2】(2023秋•门头沟区期末）学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：“在8，，，0，这五个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说：“其中的非负数只有8和这两个．”
你认为小明的回答是否正确： 不正确 （填“正确”或“不正确” ，理由是 ．
【完整解答】“非负数”就是“不是负数”，也就是0和正数，
因此小明的回答是不正确的，因为非负数包括0和正数．
故答案为：不正确；非负数包括0和正数．
10．(2023秋•临汾月考）将下面一组数填入到图中相应的圈内：
，，，，，89.9，0.4，9
【完整解答】如图：
，
．
题型2：数轴
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•宽城区期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数满足，则的值不可能是
A．2B．0C．D．
【完整解答】根据数轴上的位置得：，
，
，
，
则的值不可能为．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•荔湾区期末）数轴上，两点对应的有理数分别是和，则，之间的整数有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【完整解答】大于小于的整数有：，0，1，2，3，4，共有6个
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•邗江区期末）数轴上、两点间的距离为5，点表示的数为3，则点表示的数为 8或 ．
【完整解答】设点表示的数为，则，
或，
或．
故答案为：8或．
【变式训练2】(2023春•越秀区校级期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是 或 ．
【完整解答】，
向右滚动：设点坐标为，
，
，
点表示的数为：．
向左运动：，
，
点表示的数为：．
点表示数为或．
故答案为：或．
题型3：相反数
典例精讲
【典型例题1】（2011•拱墅区校级模拟）若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是
A．和B．和C．和D．和
【完整解答】，互为相反数，．
中，，它们互为相反数；
中，，即和不是互为相反数；
中，，它们互为相反数；
中，，它们互为相反数．
故选：．
【典型例题2】（2017秋•东莞市校级月考）的相反数是 ；的相反数是 ；的相反数是 ；的相反数是 ．
【完整解答】的相反数是；的相反数是3.5；的相反数是；的相反数是2，
故答案为：；3.5；；2．
变式训练
【变式训练1】（2016秋•南阳期末）的相反数是 ．
【完整解答】的相反数是，
故答案为：．
【变式训练2】（2017秋•霸州市校级月考）如图所示，已知，，，四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点和点表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点的位置．
【完整解答】（1）若点和点表示的数互为相反数，则原点为；
（2）若点和点表示的数互为相反数，则原点为；
（3）如图所示：
故答案为：；．
【变式训练3】（2016秋•盱眙县校级月考）化简下列各式
， ， ， ； ， ， ．
【完整解答】，，，；，，．
故答案为：，，2.5，5，，6，6．
题型4：绝对值
典例精讲
【典型例题1】（2017秋•山东月考）已知与互为相反数，与互为倒数，求的值．
【完整解答】与互为相反数，与互为倒数，
，．
．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•南京期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是
①，②，③，④．
A．②③④B．①③④C．①②③D．①②③④
【完整解答】①根据数轴可以知道：，
，
，符合题意；
②，
，
，符合题意；
③，
，
，
，符合题意；
④，
，符合题意．
故选：．
【变式训练2】(2023秋•九龙县期末）有理数、、在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0．
（2）化简：．
【完整解答】（1）观察数轴可知：，
，，．
故答案为：；；．
（2），，，
．
基础达标
一．选择题
1．(2023•雅安）的绝对值是
A．B．2021C．D．
【完整解答】的绝对值为2021，
故选：．
2．(2023•烟台）若的相反数是3，则的值是
A．B．C．3D．
【完整解答】的相反数是3，
．
故选：．
3．(2023•福建模拟）如图是小竹观察到温度计的示数，该示数的绝对值是
A．B．9C．D．11
【完整解答】观察温度计，这个示数为，
所以该示数的绝对值为9，
故选：．
4．(2023•南充）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为
A．B．2C．1D．
【完整解答】由题意得：，
或，
．
故选：．
5．(2023•河北）如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是
A．B．
C．D．
【完整解答】与6两点间的线段的长度，
六等分后每个等分的线段的长度，
，，，，表示的数为：，，0，2，4，
选项，，故该选项错误；
选项，，故该选项错误；
选项，，故该选项正确；
选项，，故该选项错误；
故选：．
6．(2023春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是
A．3B．3.1C．D．3.2
【完整解答】圆的周长，
所以对应的数是，
故选：．
7．(2023•长春一模）如图，数轴上点对应的数是2，将点沿数轴向左移动3个单位至点，则点对应的数是
A．B．0C．3D．5
【完整解答】点表示的数为2，将点向左移动三个单位，
，
即点表示的数为．
故选：．
8．(2023秋•仓山区校级期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】由图可知，，
．
故选：．
二．填空题
9．(2023•南开区三模）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点，，，对应的数分别是整数，，，，且，则的值为 ．
【完整解答】由图可知：，，．
，
，
．
故．
10．(2023春•奉贤区期中）在数轴上点表示的数是，则距离点个单位的表示的数是 2， ．
【完整解答】数轴上点表示的数为，距离点个单位长度的点有两个，它们分别是，，
故答案为：2，．
11．(2023春•九龙坡区校级月考）已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．
【完整解答】，，
，，
．
故答案为：．
12．(2023秋•沂南县期末）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点表示数，点表示数8，为数轴一个动点．若点在线段上，且点是点、点的“关键点”，则此时点表示的数是 5或者 ．
【完整解答】设表示的数为．
；．
若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．
或
或．
解得：或．
故答案为：5或者．
13．(2023春•宝山区期末）比较大小： ．（填“”、“ ”或“”
【完整解答】，
，
又，
．
故答案为：．
14．(2023秋•沙县期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和4，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是 ．
【完整解答】设点表示的数为，
则，．
以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，
．
即：．
解得：．
故答案为：．
三．解答题
15．(2023秋•宁化县月考）画出数轴，把下面各数在数轴上标注出来，并求出它们的和：，1.5，．
【完整解答】数轴如图所示；
．
16．(2023秋•南山区校级期中）某天检修小组乘坐新能源电动汽车从地出发，沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，到收工时10次运动所走的路程（单位：如下：
（1）问收工时检修小组在地的东面还是西面？距离地多少千米？
（2）若电动汽车每千米耗电0.2度，问这天共耗电多少度？
【完整解答】（1），
收工时检修小组在地的西面，距离地11千米；
（2）（度，
这天共耗电11.4度．
17．(2023秋•武昌区校级月考）已知在数轴上点，点表示的数分别是，，满足，．
（1）计算，的值；
（2）直接写出线段的长度．
【完整解答】（1），．
，，
或，或；
（2）由（1）得，
，，，，
或9或1或3．
18．(2023春•海陵区校级月考）记，，，，（其中为正整数）．
（1）计算：；
（2）求的值；
（3）说明与互为相反数．
【完整解答】（1）；
（2）；
（3），
与互为相反数．
19．(2023秋•江岸区期末）化简并填空：
（1）当时，化简；
（2）当最小时，的最大值为 1 ．
【解答】（1）解：，
，
，，
原式；
（2）当最小时，，
①当时，，此时最大值，
②当时，，此时最大值，
综上所述：的最大值为：1，
故答案是：1．
20．(2023秋•玉门市期末）某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）
，，，，，，，
（1）在岗亭哪个方向？距岗亭多远？
（2）若摩托车行驶1千米耗油0.12升，油箱中有10升油摩托车能否最后返回岗亭？
【完整解答】（1）
（千米）．
答：在岗亭南方，距岗亭13千米处；
（2）
（千米），
（升，
答：能返回．
能力提升
一．选择题（共9小题）
1．(2023秋•松山区期末）如图，数轴上点表示的数可能是
A．1.5B．C．D．2.6
【完整解答】根据数轴得：，
则点表示的数可能为．
故选：．
2．(2023秋•荔湾区期末）数轴上，两点对应的有理数分别是和，则，之间的整数有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【解答】大于小于的整数有：，0，1，2，3，4，共有6个
故选：．
3．(2023秋•滦南县期末）数轴上点和点表示的数分别是和3，点到、两点的距离之和为6，则点表示的数是
A．B．或5C．D．或4
【完整解答】，点到、两点的距离之和为6，
设点表示的数为，
点在点的左边时，，
解得：，
点在点的右边时，，
解得：，
综上所述，点表示的数是或4．
故选：．
4．(2023秋•滦州市期末）下列各组算式中，其值最小的是
A．B．C．D．
【完整解答】，，
，
其值最小的是．
故选：．
5．(2023秋•南开区期末）若，那么的取值不可能是
A．B．0C．1D．2
【完整解答】，
有四种情况：①，，②，，③，，④，；
①当，时，
；
②当，时，
；
③当，时，
；
④当，时，
；
综上所述，的值为：或0．
故选：．
6．(2023秋•香洲区校级月考）下列式子正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】、，故本选项错误；
、，故本选项正确；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误．
故选：．
7．(2023秋•兴宁区校级期中）如图，已知点，，在数轴上表示的数分别为，，，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【完整解答】且，
，，故①正确；
，故②正确；
设点为，点为3，点为1，
则，故③错误．
为中点，
，即，故④正确；
①②④均正确，
故选：．
8．(2023秋•海淀区校级月考）、两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是
A．，B．C．，D．
【完整解答】由题意：，，的绝对值大于的绝对值．
，
．
选项不正确．
的绝对值大于的绝对值，，，
．
选项不正确．
，，
，．
选项正确．
的绝对值大于的绝对值，
．
选项不正确．
故选：．
9．(2023秋•松滋市期末）如图，，，，四点在数轴上，其中为原点，且，，若点所表示的数为，则点所表示的数正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】由点、、在数轴上的位置，，若点所表示的数为，
点表示的数为，
，
，
故选：．
二．填空题（共9小题）
10．(2023秋•晋安区校级月考）数轴上，表示的点在原点的 左 边，与原点距离 个单位长度．表示的点在原点的 边，与原点距离 个单位长度．
【完整解答】数轴上，表示的点在原点的左边，与原点距离5个单位长度．
表示的点在原点的右边，与原点距离2.1个单位长度．
故答案为：左，5，右，2.1．
11．(2023秋•晋安区校级月考）在数轴上，表示数，2.1，，0，，3，的点中，在原点左边的有 4 个， 表示的点与原点的距离最远．
【完整解答】如图所示：
，
在数轴上，表示数，2.1，，0，，3，的点中，在原点左边的有，，，共4个，
，，，，
，
表示的点与原点的距离最远．
故答案为：4，．
12．(2023秋•长乐区校级月考）已知数轴上、表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点在点的左边，则点表示的数是 ．
【完整解答】数轴上、表示的数互为相反数，则两个点到原点的距离相等，而它们的距离为6，
所以它们到原点的距离都为3；
又因为点在点的左边，
所以点表示的数是．
故答案为：．
13．(2023秋•武侯区校级期中）若，则的最大值为 3 ．
【完整解答】①当，时，
，
②当，时，
，
综上所述，或．
的最大值为3；
故答案为：3．
14．(2023秋•海淀区校级月考）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是，若在这个数轴上随意画出一条长为的线段，则盖住的整点的个数是 2020或2021 ．
【完整解答】数轴的单位长度是，，
若点与一整点重合，则点也与一整点重合，两点之间有2019个整点．
线段共盖住了2021个整点．
若点不与整点重合，则点也不与整点重合，两点之间有2020个整点．
综上，线段盖住的整点的个数为2020或2021个．
故答案为2020或2021．
15．(2023秋•江岸区校级月考）若、都为整数，且．则 2或4 ．
【完整解答】若，则，所以或3，
所以或4；
若，则，所以或2，
所以或4．
故答案为：2或4．
16．(2023秋•海淀区校级月考）的相反数是 5 ，的相反数是 ．
【完整解答】的相反数是5，的相反数是5．
故答案为：5，5．
17．(2023秋•海淀区校级期中）如图，若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 ．（填“”、“ ”“ ”或“”
【完整解答】由图示知，，
①当，时，由题意可得，即，解得，，舍去；
②当，时，由题意可得，即，解得，，故数轴的原点在点；
③当，时，由题意可得，即，解得，，故数轴的原点在点；
综上可得，数轴的原点在点或点．
故填、．
18．(2023秋•天心区校级月考）绝对值大于1，小于4的所有整数的积是 36 ；绝对值不大于5的所有负整数的积是 ．
【完整解答】绝对值大于1，小于4的所有整数有：，，
它们的积为：，
绝对值不大于5的所有负整数，：，，，，，
．
故答案为36，．
三．解答题（共5小题）
19．(2023秋•龙岗区期末）根据如图给出的数轴，解答下面的问题：
（1）点表示的数是 1 ，点表示的数是 ．若将数轴折叠，使得与表示的点重合，则点与数 表示的点重合；
（2）观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是： ；
（3）已知点到、两点距离和为8，求点表示的数．
【完整解答】（1）根据题意得：点表示的数是1，点表示的数是．
将数轴折叠，使得与表示的点重合，则点与数表示的点重合；
故答案为：1；；；
（2）在的左边时，，
在的右边时，，
所表示的数是或5；
故答案为：或5；
（3）点到、两点距离和为8，
设点对应的数是，
当点在点右边时，
，解得；
当点在点左边时，
，解得．
点表示的数为3或．
20．(2023秋•黄埔区期末）如图，已知数轴上、两点所表示的数分别为和6．
（1）求线段的长；
（2）已知点为数轴上点左侧的一个动点，且为的中点，为的中点．请你画出图形，并探究的长度是否发生改变？若不变，求出线段的长；若改变，请说明理由．
【完整解答】（1），
答：的长为8；
（2）的长度不会发生改变，线段，理由如下：
如图，因为为的中点，为的中点，
所以，，
所以
．
21．(2023秋•潜江期末）已知点，，都在数轴上，点为原点，点对应的数为11，点对应的数为，点在点右侧，长度为3个单位的线段在数轴上移动．
（1）如图1，当线段在，两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段，求此时的值；
（2）若线段位于点的左侧，且在数轴上沿射线方向移动，当时，求的值．
【完整解答】（1）点对应的数为，，
点对应的数为，
，，
若，
，
；
（2）当在原点右侧时（此时为正数），，，，
，
解得．
当在原点左侧时（此时为负数），，，，
，
解得，
综上所述：或．
22．(2023秋•青羊区校级月考）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 和 ，，两点间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ；
（3）若点表示的整数为，则当为 时，与的值相等；
（4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ．
【完整解答】（1）如图，点为所求点．点表示的数，点表示的数1，的距离是；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为，如果，那么为，2；
（3）若点表示的整数为，则当为，时，与的值相等；
（4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是，
故答案为：，1；，，2；；．
23．(2023秋•兴隆县期中）阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离；
，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3；
类似的： 9 ，它在数轴上的意义表示的 点与 的点之间的距离是 ，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离．
归纳：它在数轴上的意义表示的 点与的 点之间的距离．
应用：，它在数轴上的意义表示 的点与 的点之间的距离为1，所以的值为 ．
【完整解答】类似的：，表示的点与3的点之间的距离为 9，
如图：
故答案为9、、3、9．
归纳：它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离．
故答案为、．
应用：，它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离为1．
所以的值或．
故答案为、、或． 两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0