浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学卷试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（ ）
A. 2B. C. D. 4
2. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
3. l为直线，为平面，则下列条件能作为的充要条件的是（ ）
A. l平行平面内的无数条直线B. l平行于平面的法向量
C. l垂直于平面法向量D. l与平面没有公共点
4. 己知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（ ）
A. 相交B. 平行C. 重合D. 不确定
6. 如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 实数满足，则的最小值为（ ）
A. 3B. 7C. D.
8. 在棱长为2的正四面体中，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角为和，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9. 已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为B. 的周长为3
C. 不可能是直角D. 当时，的面积为
10. 已知圆，圆．则下列选项正确是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则
C. 若圆和圆共有2条公切线，则
D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为
11. 埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，分别为埃舍尔多面体的顶点，分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥与分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体的中心O，以O为原点，轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕轴旋转，将旋转后的三个正方体（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（ ）
A. 在图5中，
B. 在图5中，直线与平面所成角的正弦值为
C. 在图10中，设点的坐标为，则
D. 在图10中，若E为线段上的动点（包含端点），则异面直线与所成角余弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面一个法向量为，则点到平面的距离是_______．
13. 已知点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是_______．
14. 已知椭圆的左，右焦点分别是，下顶点为点，直线交椭圆C于点N，设的内切圆与相切于点E，若，则椭圆C的离心率为_______，的内切圆半径长为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．
15. 已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1．
（1）求直线l的方程；
（2）O为坐标原点，点C坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标．
16. 如图，正三棱柱所有棱长均为2，点在棱上，且满足，点是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知圆的圆心在轴上，且过．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 如图，三棱柱中，为等边三角形，，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，点E是线段的中点，
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）在平面中是否存在点P，使得且．若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
19. 在空间直角坐标系中，己知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．