北师大版七年级数学下册常考题专练专题08平行线中的基本模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题08平行线中的基本模型(原卷版+解析)，共32页。

A．60°B．65°C．72°D．75°
2．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（ ）
A．54°B．55°C．56°D．57°
3．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（ ）
A．136°B．102°C．122°D．112°
4．如图，图①是长方形纸带，∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图②，则图②中的∠CFG的度数是 ．
5．如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝ °．
6．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在C'的位置上，若∠BFE＝67°，则∠ABE的度数为 ．
7．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是 ．
8．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）已知∠2＝40°，求∠BEF的度数．
9．如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数 度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是 度．
10．如图，已知长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是 ．
11．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．
12．如图，四边形ABCD为一长方形纸片，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点，连BD，若∠CBD＝20°，且AF∥BD．求∠BAE的度数？
解∵AD∥BC，∠CBD＝20°（已知）
∴∠ADB＝∠CBD＝20°（ ）
∵AF∥BD（已知）
∴∠ADB＝ （两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB＝90°（已知）
∴∠BAF＝∠DAB+∠ADF＝ °
∵纸片沿AE折叠
∴∠BAE＝
∴∠BAE＝∠BAF＝ ．
13．同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知∠AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：
因为OC是∠AOB的平分线 （已知）
所以∠ ＝∠ ＝ ∠AOB
（2）如图（2），已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线OB，射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
所以∠BOC＝∠
所以射线 是∠ 的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若∠AOE＝60°，求∠EOF的度数．
②若∠AOE＝m°，求∠EOF的度数，从计算中你发现了∠EOF的度数有什么规律？
③∠DOF的补角为 ；∠DOF的余角为 ．
题型二 “凹”“凸”模型
14．如图，直线EF分别交AB，CD于M，N，且∠1＝∠2，∠3＝∠4
（1）请判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）在（1）的基础上，请判断直线MP与NQ的位置关系，并说明理由．
15．如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2＝ ．
16．如图，直线a∥b，C为直线a、b之间一个点，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠C＝ ．
17．如图，AB∥CD∥EF，CD交AF于G，
（1）如图1，若CF平分∠AFE，∠A＝70°，求∠C；
（2）如图2，请写出∠A，∠C和∠AFC的数量关系并说明理由．
18．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ．
19．如图，AB∥CD，∠2＝56°，∠3＝64°，则∠1＝ 度．
20．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB，CD外部，若∠B＝50°，∠D＝25°，则∠BPD＝ °
（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB，CD内部，则∠B，∠D，∠BPD之间有何数量关系？证明你的结论．
（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图ƒ（3），若∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．
21．如图，AB∥CD，∠BED＝60°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB的度数是 ．
22．已知：如图，M、N分别为两平行线AB、CD上两点，点E位于两平行线之间，试探究：∠MEN与∠AME和∠CNE之间有何关系？并说明理由．
题型三 作平分线构造“凹”“凸”模型
23．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、y的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
24．如图直线AB∥CD，∠A＝115°，∠E＝80°，则∠CDE的度数为 ．
25．如图，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
26．“浏阳河弯过九道弯，五十里水路到湘江”．如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠EDC＝（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
27．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C＝ ．
28．已知∠A与∠B（0°＜∠A＜180，0°＜∠B＜180°）的两边一边平行，另一边互相垂直，且2∠A﹣∠B＝18°，则∠A的度数为 °．
29．如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为 ．
30．（1）已知多项式2x3﹣4x2﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，求这个多项式．
（2）已知：如图，AB∥CD，
求：（1）在图（1）中∠B+∠D＝
（2）在图（2）中∠B+∠E1+∠D＝
（3）在图（3）中∠B+∠E1+∠E2+…+∠En﹣1+∠En+∠D＝
题型四 平行线中的其他模型
31．如图，已知AB∥CD，∠A＝72°，∠C＝58°，则∠E＝ ．
32．如图，如果AB∥CD，CD∥EF，∠1＝20°，∠2＝60°，则∠BCE等于（ ）
A．80°B．120°C．140°D．160°
33．欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是 °．
34．如图，已知AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝65°，则∠C等于（ ）
A．56°B．50°C．115°D．68°
35．如图，点B在直线AC上，已知AC∥ED，ED∥GF，DB⊥DF．若∠GFD＝110°，则∠CBD＝ ．
36．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，则∠CDE＝ °．
37．已知AB∥CD，点E为直线AB、CD所确定的平面内一点．
（1）如图1，若AE⊥AB，求证：∠C+∠E＝90°；
（2）如图2，点F在BA的延长线上，连接BE、EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B＝∠AEB，则∠BEF的度数为 ．
（3）在（2）的条件下，如图3，过点F作∠BFG＝∠BFE交EC的延长线于点G，连接DF，作∠DFG的平分线交CD于点H，当FD∥BE时，求∠CHF的度数．
专题08 平行线中的基本模型
题型一 折叠模型
1．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：由翻折的性质可知：，
，
，
，设，则，
，
，
，
故选：．
2．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是长方形，
，
，，
，
由折叠可知：
，分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
．
故选：．
3．如图，把长方形沿对折，若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：由折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
故选：．
4．如图，图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，则图②中的的度数是 ．
【解答】解：，将纸带沿折叠成图②，
，
，
，
，
．
故答案为：．
5．如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么 110 ．
【解答】解：由折叠的性质可得，，
，
，
长方形纸片的两条长边平行，
，
，
故答案为：110．
6．如图，将一张矩形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上，若，则的度数为 ．
【解答】解：，
；
又，
，
，
，
故答案为．
7．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若，则的度数是 ．
【解答】解：如图，
由题意可得：，
由翻折可知：．
故答案为．
8．如图，将一张上、下两边平行（即的纸带沿直线折叠，为折痕．
（1）试说明；
（2）已知，求的度数．
【解答】解：（1），，
，
，
，
即；
（2）由折叠知，，
，
，
，
．
9．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数 150 度，再沿折叠成图．则图中的的度数是 度．
【解答】解：如图，延长到，由于纸条是长方形，
，
，
根据翻折不变性得，
，，
又，
，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故答案为：150；135．
10．如图，已知长方形纸片，是边上一点，为中点，沿折叠使得顶点落在边上的点处，则的度数是 ．
【解答】解：由折叠得，，，
长方形纸片，
，，
为中点，
，
在中，，
，
故答案为：．
11．如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若，求，的度数．
【解答】解：
，
，
由对称性知，
，
，
，
．
12．如图，四边形为一长方形纸片，，，为上一点，将纸片沿折叠，点落在长方形外的点，连，若，且．求的度数？
解，（已知）
两直线平行，内错角相等
（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）

纸片沿折叠

．
【解答】解，，（已知）
，（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
，（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
，
纸片沿折叠，
，
．
故答案为：两直线平行，内错角相等，，110，，．
13．同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知，请你画出它的角平分线，并填空：
因为是的平分线 （已知）
所以
（2）如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．
理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
所以
所以射线 是 的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在处并且使过点，折痕为．直接利用（2）的结论；
①若，求的度数．
②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？
③的补角为 ；的余角为 ．
【解答】解：（1）如图1所示：
是的平分线，
，
故答案为：，，；
（2）如图2所示：
是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
，
射线是的角平分线，
故答案为：，，；
（3）①由翻折而成，由翻折而成，，
，，
；
②由翻折而成，由翻折而成，
，，
，
发现始终为；
③由②知，，，
的补角是；
，
的余角是和，
故答案为：，和．
题型二 “凹”“凸”模型
14．如图，直线分别交，于，，且，
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）在（1）的基础上，请判断直线与的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）平行，理由如下：
，，
，
；
（2）平行，理由如下：
，
，
，
，
．
15．如图，，的平分线与的平分线交于点，则 ．
【解答】解：，
，
是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
故答案为：．
16．如图，直线，为直线、之间一个点，，，则 ．
【解答】解：过作直线，
直线，
直线，
，，
，，
．
故答案为：．
17．如图，，交于，
（1）如图1，若平分，，求；
（2）如图2，请写出，和的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1），，
，
平分，
，
，
；
（2），
，
，
．
18．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为 ．
【解答】解：如图，
过点作，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
19．如图，，，，则 120 度．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为120．
20． （1） 如图 （1） ，，点在，外部， 若，，则 25
（2） 如图 （2） ，，点在，内部， 则，，之间有何数量关系？证明你的结论 ．
（3） 在图 （2） 中， 将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图 （3） ，若，，求的度数 ．
【解答】（1） 解：，
，
由三角形的外角性质得，；
故答案为： 25 ．
（2） 解：．
理由如下： 如图， 延长交于，
，
，
由三角形的外角性质得，，
所以，；
（3） 解： 如图， 延长交于，
由三角形的外角性质得，，
，
所以，，
，，
，
解得．
21．如图，，，的平分线与的平分线交于点，则的度数是 ．
【解答】解：如图，过点作，
，
，
，，
；
又，
．
和的平分线相交于，
，
四边形的的内角和为，
．
故答案为：．
22．已知：如图，、分别为两平行线、上两点，点位于两平行线之间，试探究：与和之间有何关系？并说明理由．
【解答】解：连接，，分三种情况：
（1）当点在上时，，
，
．
又是平角，
，
；
（2）当点在左侧时，，
证明：过点作，
，，
，
；
（3）当点在右侧时，．
证明：过点作，
，，
，
．
题型三 作平分线构造“凹”“凸”模型
23．如图，，，则、、的关系是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过点、分别作的平行线、，
，
，
，，，
，
，
，
．
故选：．
24．如图直线，，，则的度数为 ．
【解答】解：延长交于，
，，
，
又是的外角，，
．
故答案为：．
25．如图，，，，的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：分别过，作，，
，
，
，，，
，，
，
，
即，
故选：．
26．“浏阳河弯过九道弯，五十里水路到湘江”．如图所示，某段河水流经，，三点拐弯后与原来流向相同，若，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，，
过点作，则，
，
，
，
，
．
故选：．
27．如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角是105度，第二次拐的角是135度，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么 ．
【解答】解：过点作直线．
，
．
．
．
又，
．
故答案为：．
28．已知与的两边一边平行，另一边互相垂直，且，则的度数为 36或96或108 ．
【解答】解：若是锐角时，过点
作，如图1所示：
，
，
又，
，
又，
，
又，
，
，
，
又，
；
若是钝角时．过点
作，如图2所示：
同理可得：，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
；
当为钝角时，如图3，
同理可得，，
而，
解得，
综合所述：的度数为或或，
故答案为36或96或108．
29．如图，，，，则的度数为 ．
【解答】解：如图所示，延长，，交于点，过作，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
30．（1）已知多项式除以一个多项式，得商式为，余式为，求这个多项式．
（2）已知：如图，，
求：（1）在图（1）中
（2）在图（2）中
（3）在图（3）中
【解答】解：（1），
，
；
（2）：（1），
．
（2）在图（2）中，过点作，则，
，，
．
（3）在图（3）中，过点作，过点作，，过点作，
，，，，
．
故答案为：；；．
题型四 平行线中的其他模型
31．如图，已知，，，则 ．
【解答】解：如图．
，
，
又，
．
故答案是：．
32．如图，如果，，，，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
即，
．
故选：．
33．欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是 23 ．
【解答】解：如图，延长交于，
，，
，
又，
．
故答案为：23．
34．如图，已知，，，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：，
．
，
．
故选：．
35．如图，点在直线上，已知，，．若，则 ．
【解答】解：，，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
36．如图，已知，，，则 130 ．
【解答】解：反向延长交于，
，
，
；
又，
．
故答案为130
37．已知，点为直线、所确定的平面内一点．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，连接、，若，平分，，则的度数为 ．
（3）在（2）的条件下，如图3，过点作交的延长线于点，连接，作的平分线交于点，当时，求的度数．
【解答】解：（1）证明：延长，交与，如图
，
，
，
，
；
（2）解：延长，交与，如图
，，
，
，
，，
，
，
即，
故答案为．
（3）如图3，，，
，
，，
，
，
，
，
．