北师大版七年级数学下册常考题专练专题09平行线的综合运用(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题09平行线的综合运用(原卷版+解析)，共47页。

证明：， ，
（垂 直的定义）


又（已 知）


2．阅读下面解答过程，并填空或在括号内填写理由．
已知平分交于点，，且，，
请说明．
解：平分（已知），
（角平分线定义）．
，
．
，（已知），
（两直线平行，内错角相等），
．
．
．
3．已知：如图，，，，，求证：．
证明：，（已知）
（垂直定义）


（已知）
（等量代换）


（已知）



题型二 平行线中的动态问题
4．如图①，已知，．
（1）若点、在线段上，且满足平分，平分，求的度数；
（2）若点、在射线上，且满足平分，当点运动时，的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）若点在直线上，且满足，直接写出的值．
5．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．
（1）①当时，的度数是 ；
②，
；
（2）当，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
（4）当点运动到使时，请直接写出的度数．
6．如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点．
（1）若点，，都在点的右侧，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．
（1）的度数是 ，的度数是 ；
（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点运动到使时，的度数是多少？
8．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．
（1）若点，，都在点的右侧．
①求的度数；
②若，求的度数．
（2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
（1）求的度数；
（2）当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点运动到某处时，，求此时的度数．
10．，在的右侧，平分，平分，、所在的直线交于点．．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数；
（3）将线段沿方向移动，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
11．如图，已知直线，直线与直线、分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧．
（1）如图（1），当点在线段（不含端点和上运动时，求证：．
（2）如图（2），当点运动到直线上方时，试写出、和三个角的数量关系，并证明．
（3）如图（3），当点运动到直线下方时，直接写出、和三个角的数量关系．
12．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯，．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．
（1）填空： ；
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．
13．如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点．
（1）直接写出，，之间的关系： ；
（2）若，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
14．已知，线段分别与、相交于点、．
（1）如图①，当，时，求的度数；
（2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论；
（3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．
题型三 平行线中的其他综合问题
15．如图，已知直线、被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
16．已知与的两边一边平行，另一边互相垂直，且，则的度数为 ．
17．已知：如图（1）直线、被直线所截，．
（1）求证：；
（2）如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数．
18．已知，如图，把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）若，则的度数为 ．
（3）由（1）和（2），我们发现和之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，试问和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
19．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
（3）如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数
20．已知直线、和点在同一平面内，且，．
（1）如图1，求和之间的数量关系；
（2）如图2，若，垂足为，求证：；
（3）如图3，已知点、、都在直线上，且，平分，平分．若，，请直接写出的度数．
21．已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数．
22．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，直接写出和之间的数量关系；
（2）如图2，过点作于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
23．某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
（1）如图1，运用上述结论，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（2）如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
（3）如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请直接写出的度数．
24．已知，，平分．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，若，的2倍与的补角的和为，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，为射线上一点，为上一点，平分，，平分，，求的度数．
专题09 平行线的综合运用
题型一 平行线中的推理题型
1．如图， 已知中，于点，为边上任意一点，于点，． 求证：． 请把证明的过程填写完整 ．
证明：， 已知 ，
（垂 直的定义）


又（已 知）


【解答】解： 证明：，已知） ，
（垂 直的定义）
同位角相等， 两直线平行）
两直线平行， 同位角相等）
又（已 知）
（等 量代换）
（内 错角相等， 两直线平行）
故答案为： 已知；；同位角相等， 两直线平行；；两直线平行， 同位角相等；；等量代换；内错角相等， 两直线平行；
2．阅读下面解答过程，并填空或在括号内填写理由．
已知平分交于点，，且，，
请说明．
解：平分（已知），
（角平分线定义）．
，
．
，（已知），
（两直线平行，内错角相等），
．
．
．
【解答】解：平分，（已知）
．（角平分线定义）
，
．
，（已知）
．（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
，
，
故答案为：；55；；两直线平行，同位角相等；；．
3．已知：如图，，，，，求证：．
证明：，（已知）
（垂直定义）
同位角相等，两直线平行

（已知）
（等量代换）


（已知）



【解答】解：证明过程如下：
证明：，（已知）
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
（垂直定义）
（等量代换）
（垂直定义）．
题型二 平行线中的动态问题
4．如图①，已知，．
（1）若点、在线段上，且满足平分，平分，求的度数；
（2）若点、在射线上，且满足平分，当点运动时，的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）若点在直线上，且满足，直接写出的值．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
；
（2）如图，
平分，
，
由（1）得，，
，
，
，
，
故的度数比值不变，为．
（3）①如图，当点在线段上时，
由（1）可得，
，，
又，
；
②如图，当点在的延长线上时，
由（1）可得，
，，
又，
．
5．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．
（1）①当时，的度数是 ；
②，
；
（2）当，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
（4）当点运动到使时，请直接写出的度数．
【解答】解：（1）①，，
，
；
②，
；
故答案为：130度，；
（2），
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（3）不变，．
，
，，
平分，
，
；
（4），
，
当时，则有，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
即．
6．如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点．
（1）若点，，都在点的右侧，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，平分，
；
（2），
，，
，
又，
，，
平分，
，，
，
，
；
（3）设，，则，
①当点、在点的右侧时，
则，
，
，
解得，
；
②当点、在点的左侧时，
则，
，，
，
解得，
，
，
．
综上所述：在点的运动过程中，存在，度数为或．
7．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．
（1）的度数是 ，的度数是 ；
（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点运动到使时，的度数是多少？
【解答】解：（1），，
，
；
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）不变，
，
，
，，
平分，
，
；
（3），
，
当时，
则有，
，
由（1），，
，
，
故答案为：．
8．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．
（1）若点，，都在点的右侧．
①求的度数；
②若，求的度数．
（2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①，，
，
，平分，
；
②
，，
又，
，
，，
，
；
（2）设，，则，
①当点、在点的右侧时，
则，
，
，
解得，
；
②当点、在点的左侧时，
则，
，，
，
解得，
，
，
．
9．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．
（1）求的度数；
（2）当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点运动到某处时，，求此时的度数．
【解答】解：（1），
，
又，分别平分和，
．
（2）不变．理由如下：
，
，，
又平分，
，即．
（3），
，
又，
，
，
，
．
10．，在的右侧，平分，平分，、所在的直线交于点．．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数；
（3）将线段沿方向移动，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【解答】解：（1）平分，，
；
（2）（2）过点作，
，
，
，，
平分，平分，，，
，，
；
（3）分三种情况：
如图所示，过点作，
平分，平分，，，
，，
，
，
，，
．
如图所示，过点作，
平分，平分，，，
，，
，
，
，，
．
如图所示，过点作，
平分，平分，，，
，，
，
，
，，
．
综上所述，的度数为或．
11．如图，已知直线，直线与直线、分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧．
（1）如图（1），当点在线段（不含端点和上运动时，求证：．
（2）如图（2），当点运动到直线上方时，试写出、和三个角的数量关系，并证明．
（3）如图（3），当点运动到直线下方时，直接写出、和三个角的数量关系．
【解答】（1）证明：如图（1），过点作，
，
又，
，
，
，
即；
（2）解：如图（2），，
理由是：过点作，
，
又，，
，
，
即；
（3）解：如图（3），，
理由如下：过点作，
，
又，，
，
，
．
12．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯，．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．
（1）填空： 60 ；
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1），，
，
故答案为：60；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图1，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图2，
，
，
，
，
解得，
综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）和关系不会变化．
理由：设灯射线转动时间为秒，
，
，
又，
，而，
，
，
即，
和关系不会变化．
13．如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点．
（1）直接写出，，之间的关系： ；
（2）若，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
【解答】解：（1）
故答案为：；；；
（2）设
，
平分
由（1）的结论可得：，
；
（3）由（2）可得，，，，，
①当时
②当时
③当时
④当时，
⑤当时，
综上所述，的值为：6或12或21或24或30．
14．已知，线段分别与、相交于点、．
（1）如图①，当，时，求的度数；
（2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论；
（3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．
【解答】（1）解：过作，
，
，
，当点在线段上运动时，
，，
，
；
（2），
证明：过作，
，
，
，，
；
（3）解：①当在线段的延长线上运动时，不成立，关系式是：，
理由是：过作，
，
，
，，
，
即；
②当点在线段的延长线上运动时，新的相等关系为．
理由：设与相交于，则．
，
，
．
③当点在线段上运动时，成立，关系式为，
证明：过作，
，
，
，，
；
综上所述，当点在直线上运动时，（2）中的结论不一定成立．
题型三 平行线中的其他综合问题
15．如图，已知直线、被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【解答】解：（1）如图，由，可得，
，
．
（2）如图，过作平行线，则由，可得，，
．
（3）如图，由，可得，
，
．
（4）如图，由，可得，
．
的度数可能为，，，．
（5）当点在的下方时，同理可得，或．
故选：．
16．已知与的两边一边平行，另一边互相垂直，且，则的度数为 36或96或108 ．
【解答】解：若是锐角时，过点
作，如图1所示：
，
，
又，
，
又，
，
又，
，
，
，
又，
；
若是钝角时．过点
作，如图2所示：
同理可得：，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
；
当为钝角时，如图3，
同理可得，，
而，
解得，
综合所述：的度数为或或，
故答案为36或96或108．
17．已知：如图（1）直线、被直线所截，．
（1）求证：；
（2）如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数．
【解答】解：（1）如图1中，
，，
，
．
（2）结论：如图2中，．
理由：作．
，，
，
，，
，
，
同法可证：，
，，，，
．
（3）如图3中，设，．，则，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
18．已知，如图，把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）若，则的度数为 ．
（3）由（1）和（2），我们发现和之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，试问和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，，，
，
又平分，
，
，
（2）如图1，，，
，
又平分，
，
，
故答案为：；
（3）由（1）和（2）可得：；
（4）和之间的数量关系不发生变化，
如图2，平分，
，
，
，
，
即：．
19．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
（3）如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数
【解答】解：（1）如图1，过作，
，
，
，，
，
；
（2）如图2，过作，过点作，设，
，，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
（3）如图3，过作，过作，设，，
，交于，平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，平分，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
20．已知直线、和点在同一平面内，且，．
（1）如图1，求和之间的数量关系；
（2）如图2，若，垂足为，求证：；
（3）如图3，已知点、、都在直线上，且，平分，平分．若，，请直接写出的度数．
【解答】解：（1）如图1，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3，过点作，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，，
，
中，由得：
，
，
，
，
，
．
21．已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数．
【解答】解：（1）过作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）．
理由如下：
过作，
，
，
，，
，，
；
（3），
设，则，
，，
又，，
，
平分，
，
，
，
即，解得，
，
．
22．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，直接写出和之间的数量关系；
（2）如图2，过点作于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
【解答】解：（1）如图1，设与交于点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点作，
平分，平分，
，，
由（2）知，
，
设，，
则，，
，
，
，
，，
，
中，由得：
，
，
，
，
，
．
23．某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
（1）如图1，运用上述结论，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（2）如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
（3）如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请直接写出的度数．
【解答】解：（1），
如图1，过点作，则，
，
，
又，
，
，
；
（2）如图2，由（1）得，；
，，
，
又平分，平分，
，，
，
在四边形中，
；
（3），如图3，延长交与点，
平分，平分，
，，
，
，，
又，即，
，
．
24．已知，，平分．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）如图2，若，的2倍与的补角的和为，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，为射线上一点，为上一点，平分，，平分，，求的度数．
【解答】解：（1）如图1，
过点作，
，
，
，，
平分，，
，
，
答：的度数为．
（2）如图2，分别过点、作的平行线、，
，的2倍与的补角的和为，
设，则，
，，
设，
则，
平分，
，
，，
，
，
，
．
答：的度数为．
（3）如图3，过点作，
，
，
平分，
，
，
，
设，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
答：的度数为．