北师大版七年级数学下册常考题专练专题10三角形的认识及等腰三角形分类讨论(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题10三角形的认识及等腰三角形分类讨论(原卷版+解析)，共25页。

①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①②B．①③④C．③④D．①②④
2．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
3．下列关于三角形的分类，正确的是
A．B．
C．D．
4．如图，图中三角形的个数共有
A．3个B．4个C．5个D．6个
题型二 对角的认识
5．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为
A．B．C．D．
6．如图，把的一角折叠，若，则
A．B．C．D．
7．如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的点为，若，，则的度数为
A．B．C．D．
8．在中，，，则的度数为
A．B．C．D．
9．如图，和相交于点，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
10．如图，，，，则的大小为
A．B．C．D．
11．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的2倍，我们把这个三角形叫做“二倍角三角形”．在一个“二倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为 ．
12．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是
A．B．C．D．
13．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为 ．
题型三 对边的认识
14．一个三角形的两边长分别为5和2，若该三角形的第三边的长为偶数，则该三角形的第三边的长为
A．6B．8C．6或8D．4或6
15．在中，，，若第三边的长是偶数，则的长是 ．
16．已知，，是的三边长，、满足，且为方程的解，则的周长为
A．4B．5C．7或11D．7
17．若，，为三角形的三边长，化简等于 ．
18．已知、、为三角形的三边，．
（1）化简；
（2）计算．
题型四 基本计算
19．有下列条件：①；②；③；④．能确定是直角三角形的条件有
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．已知中，，，三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是
A．B．C．D．
21．适合条件的是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
22．在中，如果，那么是
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．锐角三角形或钝角三角形
23．如图所示，在中，，则为
A．B．C．D．
24．在具备下列条件的中，①；②，；③；④，其中能构成直角三角形的有 ．
25．三角形的三边，，满足，试判断三角形的形状，并说明理由．
题型五 等腰三角形分类讨论——按角分
26．若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是
A．或B．或
C．或D．或或
27．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是
A．B．C．或D．不能确定
28．等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为 ．
变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ．
29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角度数为
A．B．C．D．或
30．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为度，则此三角形的顶角为 度．
31．已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为 度．
32．如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时， ．（用的代数式表示
题型六 等腰三角形分类讨论——按边分
33．如图是的正方形方格图，点，在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，连接和，使是等腰三角形，则方格图中满足条件的点的个数是
A．4B．5C．6D．7
34．等腰三角形的一边长为10，另一边长为6，则它的周长是 ．
35．等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分成两部分之差为，则等腰三角形的腰长为 ．
36．某等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为，则它的腰长等于 ．
37．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动（回到点就停止），且速度为每秒，则运动 秒时，为等腰三角形．（提示：直角三角形中，当斜边和一条直角边长分别为3和时，另一条直角边长为
38．如图所示，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求三角形各边的长．
专题10 三角形的认识及等腰三角形分类讨论
题型一 三角形的基本概念
1．下列说法正确的有
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①②B．①③④C．③④D．①②④
【解答】解：①有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，
等腰三角形不一定是等边三角形，
①错误；
②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，
②错误；
③两边相等的三角形称为等腰三角形，
③正确；
④三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
④正确．
故选：．
2．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【解答】解：三角形根据边分类，
图中小椭圆圈里的表示等边三角形．
故选：．
3．下列关于三角形的分类，正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；
、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；
、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
故选：．
4．如图，图中三角形的个数共有
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：图中是三角形的有：、、、、．
故选：．
题型二 对角的认识
5．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设与交于点，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
6．如图，把的一角折叠，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
把的一角折叠，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
7．如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的点为，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：△是沿对折后的图形，
，．
，，
．
，，
．
，
．
，
．
故选：．
8．在中，，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
．
，
．
．
．
故选：．
9．如图，和相交于点，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
故，，正确，
故选：．
10．如图，，，，则的大小为
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
设，，
，，
，
，
，
，
故选：．
11．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的2倍，我们把这个三角形叫做“二倍角三角形”．在一个“二倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为 、或、 ．
【解答】解：在中，不妨设．
①若，则，．
②若，则，不符合题意；
③若，则，，
综上所述，另外两个角的度数为，或，．
故答案为，或，．
12．如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：延长，交于点，连接．
，，
，
，
，
，
，
故选：．
13．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为，则另外两个角分别为 ，或， ．
【解答】解：在中，不妨设．
①若，则，．
②若，则（不合题意）．
③若，则，，
综上所述，另外两个角的度数为，或，．
故答案为：，或，．
题型三 对边的认识
14．一个三角形的两边长分别为5和2，若该三角形的第三边的长为偶数，则该三角形的第三边的长为
A．6B．8C．6或8D．4或6
【解答】解：设三角形的第三边长为，
则，即，
三角形的第三边是偶数，
或6，
故选：．
15．在中，，，若第三边的长是偶数，则的长是 4 ．
【解答】解：中，，，
，即，
又第三边的长是偶数，
，
故答案为：4．
16．已知，，是的三边长，、满足，且为方程的解，则的周长为
A．4B．5C．7或11D．7
【解答】解：，
且，
、，
为方程的解，
或，
又，即，
，
则的周长为，
故选：．
17．若，，为三角形的三边长，化简等于 ．
【解答】解：因为，，是三角形的三边长，所以，，，
所以原式
．
故答案为：．
18．已知、、为三角形的三边，．
（1）化简；
（2）计算．
【解答】解：（1）由三角形三边关系知，，
故，，，
，
（2）
．
题型四 基本计算
19．有下列条件：①；②；③；④．能确定是直角三角形的条件有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：、，是直角三角形，故本选项正确；
、，则，，，是直角三角形，故本选项正确；
、，，是直角三角形，故本选项正确；
、设，，，则，解得，故，是直角三角形，故本选项正确．
故选：．
20．已知中，，，三个角的比例如下，其中能说明是直角三角形的是
A．B．C．D．
【解答】解：、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形；
、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以是直角三角形；
、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形；
、设三个角分别为，，，根据三角形内角和定理得三个角分别为：，，，所以不是直角三角形．
故选：．
21．适合条件的是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【解答】解：，
，，
，即，
，
，，
为直角三角形．
故选：．
22．在中，如果，那么是
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．锐角三角形或钝角三角形
【解答】解：由可得：，
所以三角形是钝角三角形；
故选：．
23．如图所示，在中，，则为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，在中，，则．
．
所以，即为．
故选：．
24．在具备下列条件的中，①；②，；③；④，其中能构成直角三角形的有 ①②④ ．
【解答】解：①因为，可得，是直角三角形 ．
②，，可得，，，是直角三角形 ．
③，可得，，不是直角三角形 ．
④，可得，，是直角三角形 ．
故答案为①②④．
25．三角形的三边，，满足，试判断三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：为等边三角形，理由如下：
，
，
，
，，，
，
为等边三角形．
题型五 等腰三角形分类讨论——按角分
26．若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是
A．或B．或
C．或D．或或
【解答】解：①设三角形底角为，顶角为，
则，
解得：，
②设三角形的底角为，顶角为，
则，
解得：，
，
三角形的“可爱角”应该是或，
故选：．
27．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是
A．B．C．或D．不能确定
【解答】解：①若是顶角的外角，则顶角；
②若是底角的外角，则底角，那么顶角．
故选：．
28．等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为 或 ．
变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ．
【解答】解：在中，设，，分情况讨论：
当为底角时，，
解得，顶角；
当为底角时，，
解得，顶角．
故这个等腰三角形的底角度数为或．
设两个角分别是，
①当是底角时，根据三角形的内角和定理，得，解得，，，即底角为，顶角为；
②当是顶角时，则，解得，，从而得到顶角为，底角为；
所以该三角形的顶角为或．
故答案为：或；或．
29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角度数为
A．B．C．D．或
【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为；
综上可知该等腰三角形的顶角为或．
故选：．
30．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为度，则此三角形的顶角为 度．
【解答】解：如图，
（1）顶角是钝角时，，
故顶角；
（2）顶角是锐角时，，
故顶角．
综上所述，此三角形的顶角为度．
故答案为：．
31．已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为 30或60 度．
【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由已知可知，，
又，
，
，
．
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由已知可知，，
又，
，
．
故答案为：30或60．
32．如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时， 或或 ．（用的代数式表示
【解答】解：由翻折的性质可知，，
如图1，
当时，则，
，，
，
，
当时，为等腰三角形，
故答案为．
当时，；
，
，
，；
，
，
如图2，
当时，；
，，
；
当或或时，为等腰三角形，
故答案为或或．
题型六 等腰三角形分类讨论——按边分
33．如图是的正方形方格图，点，在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，连接和，使是等腰三角形，则方格图中满足条件的点的个数是
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：如图所示：
在，，，位置上时，；
在，位置上时，；
即满足点的个数是6，
故选：．
34．等腰三角形的一边长为10，另一边长为6，则它的周长是 26或22 ．
【解答】解：若6为等腰三角形的腰长，则10为底边的长，
此时等腰三角形的周长；
若为等腰三角形的腰长，则为底边的长，
此时等腰三角形的周长；
则等腰三角形的周长为26或22．
故答案为：26或22．
35．等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分成两部分之差为，则等腰三角形的腰长为 6或4 ．
【解答】解：设腰长为．
则或，
解得：，，
或4，
①三角形三边长为6、6、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形三边是4、4、5，符合三角形三边关系定理；
故答案为6或4．
36．某等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为，则它的腰长等于 7或3 ．
【解答】解：某等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为，
若腰长，则腰长为：
若底边长：则腰长为：，
它的腰长等于或．
故答案为：7或3．
37．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动（回到点就停止），且速度为每秒，则运动 6，3，， 秒时，为等腰三角形．（提示：直角三角形中，当斜边和一条直角边长分别为3和时，另一条直角边长为
【解答】解：作于
在中，
①当，
当点在上，则
当点在上，则
②当
则
③当，即是中点
故答案为6，3，，
38．如图所示，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求三角形各边的长．
【解答】解法1：设，，
点是的中点，
，
边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，
①，解得，，
，，能构成三角形，
②，解得，，
，，能构成三角形，
即：三角形的各边是，，或，，．
解法2、是的中线，
，
设，
，
边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，
，
①当时，
，
，
，，
②当时，
，
，
，，
即：三角形的各边是，，或，，．