北师大版七年级数学下册常考题专练专题13寻找及构造全等三角形(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题13寻找及构造全等三角形(原卷版+解析)，共36页。

A．B．C．D．
2．如图，已知，，下列条件中不能判定的是
A．B．C．D．
3．已知，如图，，，要说明
（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（3）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
4．如图，边长为5的正方形与直角三角板如图放置，延长与三角板的直角边相交于点，则四边形的面积为 ．
5．有一块边长为4的正方形，将一块足够大的直角三角板如图放置，延长线与直角边交于点．则四边形的面积是 ．
6．如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①； ②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是 ．（填正确结论的番号）
7．如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：
①；
②；
③；
④平分．
其中正确的结论是 ．（填正确结论的番号）
8．如图所示，在中，，于点，于点，，相交于．求证：
（1）；
（2）平分．
9．已知：如图，，交于点，，、是线段上两点，且．求证：．
10．如图，四边形是矩形，和都是等边三角形，且点在矩形上方，点在矩形内．求证：
（1）；
（2）．
11．如图①，、、、在一条直线上，，过、分别作，，若．
（1）图①中有 对全等三角形，并把它们写出来 ；
（2）求证：，；
（3）若将的边沿方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
12．如图1，在中，于点，，，过点作于点，交于点．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求证：；
（3）如图2，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
题型二 构造全等三角形
13．如图，等边的边长为1，在边上有一点，为延长线上的一点，且，过点作于点，连接交于点，则的长为 ．
14．如图，在中，，点、是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点，，若，，则 ．
15．如图，中，为常数），，是的中点，是延长线上一点，是边上一点，，过点作交于点，则四边形的面积为 （用含的代数式表示）
16．已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．当绕点旋转到于时（如图，易证；
（1）当绕点旋转到和不垂直时，在图2的情况下，求证：；
（2）当绕点旋转到和不垂直时，在图2的情况下，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明；
（3）当绕点旋转到图3的情况下，（2）中的结论是否成立：若成立，请你证明你的结论；若不成立，请说明理由．
17．（1）如图1，在等腰中，，在底边上任取一点，连接，将沿翻折得到△，与相交于点．求证：；
（2）如图2，中，，过点作直线平行于，在点的右侧取一点，作，射线交边于点，请证明；
（3）如图3，中，，过点作直线平行于，在点的左侧任取一点，作，射线交射线于点，请证明．
18．在中，，是上一点，且．
（1）如图1，延长至，使，连接．求证：；
（2）如图2，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
19．如图1，在中，延长到，使，是上方一点，且，连接．
（1）若，则 ；
（2）如图2，若，将沿直线翻折得到，连接交于，若，求证：是的中点；
（3）在如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，求线段的长度．
20．在中，，．
（1）如图1，是的角平分线，于，与相交于点，则 ；
（2）在（1）的条件下，试猜测与的数量关系，并加以证明；
（3）如图2，若点在线段上，，于，与相交于点，与是否存在与（2）中相同的数量关系，并加以证明．
21．（1）探索发现：
如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．
（2）阅读分析：
小鹏遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．
小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．
图2中的、、三条线段之间的数量关系为 ，并说明理由．
（3）类比探究：
如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．
①全等的两个三角形为 ；
②若，的面积为2，直接写出的面积．
专题13 寻找及构造全等三角形
题型一 寻找全等三角形
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是
A．B．C．D．
【解答】解：、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加时，不能判定，故选项符合题意；
故选：．
2．如图，已知，，下列条件中不能判定的是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
当或，依据即可得到；
当时，依据即可得到；
当时，不能判定．
故选：．
3．已知，如图，，，要说明
（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（3）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
【解答】解：（1）或；
（2）；或；或；
（3），或．
4．如图，边长为5的正方形与直角三角板如图放置，延长与三角板的直角边相交于点，则四边形的面积为 25 ．
【解答】解：正方形与直角三角板如图，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形的面积正方形的面积．
故答案为：25．
5．有一块边长为4的正方形，将一块足够大的直角三角板如图放置，延长线与直角边交于点．则四边形的面积是 16 ．
【解答】解：四边形是正方形
，，
，且，
，
故答案为：16
6．如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①； ②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是 ①②⑤ ．（填正确结论的番号）
【解答】解：在中，、分别平分、，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
又，
，
，
，，，
在和中，
，
，
，
．故②正确．
，，
，，，
，
，
，
，
，故⑤正确，
，故④不正确．
若平分，则，
，
，
，
，这个显然与条件矛盾，故③错误，
故答案为①②⑤．
7．如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：
①；
②；
③；
④平分．
其中正确的结论是 ①②③ ．（填正确结论的番号）
【解答】解：在中，、分别平分、，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
又，
，
，
，，，
在和中，
，
，
，故②正确，
．故③正确．
若平分，则，
，
，
，
，这个显然与条件矛盾，故④错误；
故答案为：①②③．
8．如图所示，在中，，于点，于点，，相交于．求证：
（1）；
（2）平分．
【解答】证明：（1），，所以．
在与中，，
，
．
；
（2）在与中，
，
，
平分．
9．已知：如图，，交于点，，、是线段上两点，且．求证：．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
10．如图，四边形是矩形，和都是等边三角形，且点在矩形上方，点在矩形内．求证：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1）四边形是矩形．
．（1分）
和是等边三角形．
．（1分）
，（1分）
．
．
．（1分）
（2），，．（1分）
．（2分）
．（1分）
11．如图①，、、、在一条直线上，，过、分别作，，若．
（1）图①中有 3 对全等三角形，并把它们写出来 ；
（2）求证：，；
（3）若将的边沿方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
【解答】解：（1），
，即，
在和中，
，
，
，，
，又，，
，
同理，，
故答案为：3；，，；
（2），
，，
，
；
（3）在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
则，即．
12．如图1，在中，于点，，，过点作于点，交于点．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求证：；
（3）如图2，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【解答】（1）解：，，
，
，
，
在和中，，
，
；
（2）过分别作于点，作于点，如图1所示：
在四边形中，，
．
在与中，，
，
．
，，
平分，
；
（3）的值不发生改变，等于．理由如下：
连接，如图2所示：
，，为的中点，
，，
，，
．
，
即，
．
在和中，，
，
，
．
题型二 构造全等三角形
13．如图，等边的边长为1，在边上有一点，为延长线上的一点，且，过点作于点，连接交于点，则的长为 ．
【解答】解：过做的平行线至于，
，
等边，
，，
是等边三角形，，，
，
，
在和中，
，
，
，于，是等边三角形，，
，
，
，
．
故答案为．
14．如图，在中，，点、是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点，，若，，则 30 ．
【解答】解：过点作于，
，
，
，
是等腰直角，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
（三线合一），
．
故答案为：30．
15．如图，中，为常数），，是的中点，是延长线上一点，是边上一点，，过点作交于点，则四边形的面积为 （用含的代数式表示）
【解答】解：连接，
中，为常数），，是的中点，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
四边形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积．
故答案为：．
16．已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．当绕点旋转到于时（如图，易证；
（1）当绕点旋转到和不垂直时，在图2的情况下，求证：；
（2）当绕点旋转到和不垂直时，在图2的情况下，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明；
（3）当绕点旋转到图3的情况下，（2）中的结论是否成立：若成立，请你证明你的结论；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）连接；如图②所示：
，，为中点，
，，，，
，，，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）由（1）知，，
．
；
（3）不成立；；理由如下：连接，如图③所示：
同（1）得：，，
，
，
，
．
、、的关系是：．
17．（1）如图1，在等腰中，，在底边上任取一点，连接，将沿翻折得到△，与相交于点．求证：；
（2）如图2，中，，过点作直线平行于，在点的右侧取一点，作，射线交边于点，请证明；
（3）如图3，中，，过点作直线平行于，在点的左侧任取一点，作，射线交射线于点，请证明．
【解答】证明：（1），
，
由折叠的性质得：，
，
，，，
；
（2）过点作交于点，如图2所示：
则，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，，
，
；
（3）在上取一点，使，如图3所示：
则，
同（1）得：，
，
，
，
，，
，
，
在和中，，
，
．
18．在中，，是上一点，且．
（1）如图1，延长至，使，连接．求证：；
（2）如图2，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
【解答】（1）证明：，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）延长到，使，由（1）知，，
，
，
是等边三角形，
同理，是等边三角形，
．，
，
即；
（3）猜想：，
理由如下：在上取点，使，连接，
由（1）可知：，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
又，
．
19．如图1，在中，延长到，使，是上方一点，且，连接．
（1）若，则 ；
（2）如图2，若，将沿直线翻折得到，连接交于，若，求证：是的中点；
（3）在如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，求线段的长度．
【解答】解：（1），，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，，，
，
在与中，
，
，
，，
如图，连接，
将沿直线翻折得到，
，
，
，
即
由三线合一，
得：是的中点；
（3）如图，连，延长、交于，
折叠的性质，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
由（2）知，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
．
20．在中，，．
（1）如图1，是的角平分线，于，与相交于点，则 22.5 ；
（2）在（1）的条件下，试猜测与的数量关系，并加以证明；
（3）如图2，若点在线段上，，于，与相交于点，与是否存在与（2）中相同的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1），，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：22.5．
（2）结论：．
理由：延长交的延长线于．
，，，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
（3）存在相同的关系．
理由：如图2中，作，交于，交延长线于点．
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同法可证．，
．
21．（1）探索发现：
如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．
（2）阅读分析：
小鹏遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．
小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．
图2中的、、三条线段之间的数量关系为 ，并说明理由．
（3）类比探究：
如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．
①全等的两个三角形为 ；
②若，的面积为2，直接写出的面积．
【解答】解：（1）结论：，
理由：如图1中，作于．
，，
；
（2）、、三条线段之间的数量关系为：，理由如下：
如图2中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：；
（3）①如图3中，结论：，理由如下：
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：；
②，
，，
，
，
，
，
．