北师大版七年级数学下册常考题专练专题14全等三角形模型(一)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题14全等三角形模型(一)(原卷版+解析)，共36页。

2．如图1，点是线段上一点，，，，，
（1）求证：．
（2）如果是如图2这个图形，、、有什么数量关系？并证明．
3．如图所示，在中，，且，点为上一点，连接，过点作于点，交于点，点是上任意一点．
（1）如图1，连接，若，且，求的长；
（2）如图2，连接，交于点，若点恰为中点，求证，．
4．如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．
（1）求证：；
（2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积．
6．如图，在中，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点．
（1）求证：；
（2）请找出线段、、之间的数量关系，并说明理由．
7．已知：中，，，过点作，且．
（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；
（2）如图2，当点在延长线上时，连接交的延长线于点．求证：．
8．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是
A．B．C．D．
9．如图，已知于，于，，，且为上一点，，，则
A．13B．8C．6D．5
10．如图，，，，，，，则等于
A．B．C．D．
11．如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1厘米，他把一个等腰直角三角板放在本子上，点、、恰好都在横线上，则斜边的长度为
A．10B．C．D．
12．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是
A．B．C．D．7
题型二 一线三等角模型
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
14．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
15．如图，等边三角形中，放置等边三角形，且点，分别落在，上，，连结，若平分，则的长度为 ．
16．如图，在中，，，点在线段上运动（不与点，重合），连接，作，交线段于点．
（1）当时， ， ，当点从点向点运动时，逐渐变 （填“大”或“小” ；
（2）当的值是多少时，．并说明理由；
（3）在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由．
17．如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请直接写出线段、和之间的数量关系．
（3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明．
18．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 度．（用含的代数式表示）
19．已知：在中，，直线过点．
（1）如图1，，分别过点，作直线的垂线段，，垂足分别为，．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当时，设，作，点，在直线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系为 ．
题型三 对角互补模型
20．如图，已知四边形，，，，则四边形的面积为 ．
21．如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为 ．
22．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是
A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④
23．如图，四边形中，已知，，，若四边形的面积为，则 ．
24．综合与实践
如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，交于点，交于点．
知识初探．
求证：；
探究计算
如图1，若，求四边形的面积；
拓展探究
如图2，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积是 （直接写出答案，不写过程）．
25．如图，，将一块足够大的三角尺的直角顶点落在的平分线上的任意一点上，使三角形的两条直角边与的两边分别相交于点，．
（1）求证：；
（2）若点在的反向延长线上，其他条件不变，问还成立吗？请说明理由．
26．已知：如图13.5.4，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．
【类比探究】
（1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：；
（2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 ．
专题14 全等三角形模型（一）
题型一 三垂直模型
1．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
2．如图1，点是线段上一点，，，，，
（1）求证：．
（2）如果是如图2这个图形，、、有什么数量关系？并证明．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
，
，且，，
，
，，
；
（2），
理由如下：
，，
，
，
，
，
，且，，
，，
，
．
3．如图所示，在中，，且，点为上一点，连接，过点作于点，交于点，点是上任意一点．
（1）如图1，连接，若，且，求的长；
（2）如图2，连接，交于点，若点恰为中点，求证，．
【解答】解：（1），
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，过点作，交的延长线于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
4．如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：（1），，
又，
．
．
在和中，
，
，
；
（2），，
．
在和中，
，
，
．
．
平分，，
．
．
综上，．
5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．
（1）求证：；
（2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积．
【解答】（1）证明：由题意得：，，，，
，，
，
在和中，，
；
（2）解：由题意得：
，，
，，
，
的面积；
答：的面积为．
6．如图，在中，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点．
（1）求证：；
（2）请找出线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，
理由：由（1）证得，，
，，
，
．
7．已知：中，，，过点作，且．
（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；
（2）如图2，当点在延长线上时，连接交的延长线于点．求证：．
【解答】解：（1）证明：，，
，
，，
，
在和中，，
，
；
（2）如图2，过点作，交的延长线于，
，，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
．
8．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，
，
，且，，
，，
，
点，
故选：．
9．如图，已知于，于，，，且为上一点，，，则
A．13B．8C．6D．5
【解答】解：，
，，
，
在和中
．
．
．
故选：．
10．如图，，，，，，，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，
又，且
，
故选：．
11．如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1厘米，他把一个等腰直角三角板放在本子上，点、、恰好都在横线上，则斜边的长度为
A．10B．C．D．
【解答】解：过点作点所在横线于点，过点作点所在横线于点，如图所示．
为等腰直角三角形，
，．
，，
．
在和中，，
，
，．
在中，，，，
，
．
故选：．
12．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是
A．B．C．D．7
【解答】解：作于，作于，
，
又
，
，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得；
故选：．
题型二 一线三等角模型
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
答案:7
【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠ECA＋∠CAE＝180°－α，
∠BAD＋∠CAE＝180°－α，
∴∠ECA＝∠BAD，
在△BAD与△ACE中，
EQ \B\lc\{(\a\al(∠BDA＝∠AEC,∠BAD＝∠ACE,AB＝AC))，
∴△BAD≌△ACE(AAS)，
∴CE＝AD，AE＝BD＝3，
∵DE＝AD＋AE＝10，
∴AD＝DE－AE＝DE－BD＝10－3＝7．
∴CE＝7．
14．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
15．如图，等边三角形中，放置等边三角形，且点，分别落在，上，，连结，若平分，则的长度为 2.5 ．
【解答】解：如图，在上截取，连接，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：2.5．
16．如图，在中，，，点在线段上运动（不与点，重合），连接，作，交线段于点．
（1）当时， 25 ， ，当点从点向点运动时，逐渐变 （填“大”或“小” ；
（2）当的值是多少时，．并说明理由；
（3）在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
由图形可知，逐渐变小，
故答案为：；；小；
（2）当时，，
理由：，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形，
当时，，
；
当时，，
，
此时，点与点重合，不合题意；
当时，，
，
，
综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形．
17．如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请直接写出线段、和之间的数量关系．
（3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）结论：成立．
理由：，
，
．
在和中
，
，
，
；
（3）和均为等边三角形
，，
，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
．
在和中
，
．
18．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是 度．（用含的代数式表示）
【解答】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
19．已知：在中，，直线过点．
（1）如图1，，分别过点，作直线的垂线段，，垂足分别为，．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，当时，设，作，点，在直线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系为 ．
【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．
②用等式表示，，之间的数量关系为．
证明：，，
．
．
，直线过点，
．
．
又，
，
，．
．
（2）用等式表示，，之间的数量关系为，
理由如下：是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：．
题型三 对角互补模型
20．如图，已知四边形，，，，则四边形的面积为 8 ．
【解答】解：如图，作、，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，，
，
，
在与中，
，
，
，
与的面积相等，
四边形的面积正方形的面积，
正方形的面积，
四边形的面积，
故答案为：8．
21．如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为 32 ．
【解答】解：过作，交的延长线于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，的面积的面积，
四边形的面积的面积，
故答案为：32．
22．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是
A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④
【解答】解：，，
，
故①正确；
点为的中点，，，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形的面积为，
故④正确，⑤不正确；
，
和互补，
故③正确；
不是定长，故②不正确．
正确的有：①③④，
故选：．
23．如图，四边形中，已知，，，若四边形的面积为，则 4 ．
【解答】将绕点顺时针旋转，得到．
四边形内角和，
．
，
、、三点共线．
根据旋转性质可知度，，
是等边三角形．
四边形面积等于面积，
等边面积，解得．
故答案为4．
24．综合与实践
如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，交于点，交于点．
知识初探．
求证：；
探究计算
如图1，若，求四边形的面积；
拓展探究
如图2，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积是 8 （直接写出答案，不写过程）．
【解答】解：知识初探
证明：在正方形和正方形中，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
；
探究计算
解：在正方形中，，
在中，，
，
由上题可知，
，
．
拓展探究
解：四边形中，，，，
四边形的面积是：．
故答案为：8．
25．如图，，将一块足够大的三角尺的直角顶点落在的平分线上的任意一点上，使三角形的两条直角边与的两边分别相交于点，．
（1）求证：；
（2）若点在的反向延长线上，其他条件不变，问还成立吗？请说明理由．
【解答】证明：（1）过作，交于，则，
，平分，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
（2）成立，理由是：
如图2，作，交于，则，
同理得：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
26．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．
【类比探究】
（1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：；
（2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 18 ．
【解答】【问题解决】证明：在和中，
，
，
；
【类比探究】（1）证明：如图②，过点作于，于，
是的平分线，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：过作与，于，
、分别平分和，
，，
，
，
的周长是12，
，
的面积：，
故答案为：18．
已知：如图13.5.4，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点．
求证：．
分析：
图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得．