北师大版七年级数学下册常考题专练专题16作辅助线构造全等三角形(原卷版+解析)

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A．B．C．D．
2．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
3．已知：如图，、分别是和的中线，且，求证：．
4．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的延长至使连接利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线的取值范围是 ．
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若．求证：．
5．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
6．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是________．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．
7．已知：点为的边的中点，点为射线上的一个点（点不与点重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为、．
（1）当点与点重合时，如图1，求证：；
（2）直线绕点逆时针方向旋转，当时，
①当点在线段上，如图2，猜想线段、、之间又怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；
②当点在线段的延长线上，如图3，线段、、之间又有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
题型二 角平分线
8．如图，的面积为，平分，过点作于，则的面积为 ．
9．已知，如图中，，，的平分线交于点，，求证：．
10．如图，的面积为，是的平分线，于，则的面积为
A．B．C．6 D．7
11．如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
12．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为 ．
13．如图，在四边形中，，，，为边中点，若平分，平分，，则的长为 ．
14．观察发现：
如图1，平分，在，上分别取，，使，再在上任取一点，连接，．请你猜想与之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请你写出与之间的数量关系，并说明理由．
15．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，连接．
（1）求证：平分的外角；
（2）过点作，是垂足，并延长交于点．求证：．
16．已知等腰直角三角形，是斜边．的角平分线交于，过作与垂直且交延长线于，求证：．
17．（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、．
①求证：；
②若 的周长是25，，试求出的周长；
（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求 与的数量关系式．
18．已知：．小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即的角尺来作的角平分线．
（1）如图1，他先在边和上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线是的角平分线．试根据小新的做法证明射线是的角平分线；
（2）如图2，小新在确认射线是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段和仍然相等．请问小新的观点是否正确，为什么？
（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得，请判断线段与的数量关系，并说明理由．
19．是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为的角平分线，点在的延长线上，，连接、，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求长．
题型三 截长补短
20．如图，在中，，，垂足为，且，则的度数是 ．
21．（1）如图1，四边形中，，，的角平分线交于边上的点，求证：①；②是的中点；
（2）如图2，（1）中的条件“”改为“条件”，其他条件不变，（1）中的结论是否都依然成立？请什么理由．
22．如图，在中，，、分别平分、．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）图中还有相等的线段吗？请找出来（不用说明理由）．
23．如图，已知在中，，，是的平分线．
（1） ．
（2）求证：．
24．在等腰中，，为边上的高，点在的外部且，，连接交直线于点，连接．
（1）如图①，当时，求证：；
（2）如图②，当时，求的度数；
（3）如图③，当时，求证：．
25．如图．已知，，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）请问线段、、之间有什么数量关系？请说明理由．
26．如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图1，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
（2）如图2，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
（3）如图3，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
专题16 作辅助线构造全等三角形
题型一 倍长中线
1．已知在中，，，是边上的中线，则的取值范围
A．B．C．D．
【解答】解：如图，延长到，使，
是边上的中线，
，
在和中
，
，
，
，，
，
即，
．
故选：．
2．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【解答】证明：（1）理由如下：
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
是的中点（已知），
（中点的定义）．
在与中，
，
；
（2）由（1）知，
，，
，
，
即，在与中，
，
，
，
；
3．已知：如图，、分别是和的中线，且，求证：．
【解答】证明：延长至，使，连接．
是的中线，
．
，
．
，．
，
，．
，，
．
是的中线，
．
．
．
，即．
4．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的延长至使连接利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线的取值范围是 ．
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若．求证：．
【解答】（1）解：是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为：；；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
5．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）
理由如下：是的平分线
，
点是的中点
，
在和中，
，
（2）
理由如下：如图②，延长交的延长线于点
是的中点，
，
，
．
在和中，
，
是的平分线
，
，
，
，
，
6．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是________．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
EQ \B\lc\{(\a\al(AD＝DE,∠ADC＝∠BDE,BD＝CD))，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8－6＜2AD＜8＋6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
EQ \B\lc\{(\a\al(DC＝DB,∠ADC＝∠MDB,DA＝DM))
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
7．已知：点为的边的中点，点为射线上的一个点（点不与点重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为、．
（1）当点与点重合时，如图1，求证：；
（2）直线绕点逆时针方向旋转，当时，
①当点在线段上，如图2，猜想线段、、之间又怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；
②当点在线段的延长线上，如图3，线段、、之间又有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
【解答】解：（1），，
，
在和中，
，
，
；
（2）①图2中的结论为：，
证明如下：延长交于点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
②图3的结论，
证明如下：延长交的延长线于点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
题型二 角平分线
8．如图，的面积为，平分，过点作于，则的面积为 12.5 ．
【解答】解：延长交于，平分，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
故答案为：12.5．
9．已知，如图中，，，的平分线交于点，，求证：．
【解答】证明：如图，
延长交的延长线于，
，，
平分
．
10．如图，的面积为，是的平分线，于，则的面积为
A．B．C．6 D．7
【解答】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：．
11．如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 4 ．
【解答】解：延长交于，
垂直的平分线于，
，
又知，，
在与中，
，
，，
和等底同高，
，
设的面积为，
．
故答案为：4．
12．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为 6 ．
【解答】解：是的平分线，于，
，
在中，
在中，．
即，
在中，
的面积为
故答案为6．
13．如图，在四边形中，，，，为边中点，若平分，平分，，则的长为 26 ．
【解答】解：如图，在线段上截取，，连接，．
是的中点，
，
，，，
，
同法可证，，
，，，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形．
，
，
，
故答案为26．
14．观察发现：
如图1，平分，在，上分别取，，使，再在上任取一点，连接，．请你猜想与之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请你写出与之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）．
理由：平分，
，
，，
，
．
（2）．
理由：如图2，在上截取，连接，
，
，．
是直角，即，
又，
，
，分别是，的平分线，
，
，
，
，
又为公共边，
，
，
．
15．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，连接．
（1）求证：平分的外角；
（2）过点作，是垂足，并延长交于点．求证：．
【解答】证明：（1）
过作于，于，于，如图，
在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，
，，
，
平分，
即平分的外角；
（2）平分的外角，
，
，
，
在和中
，
．
16．已知等腰直角三角形，是斜边．的角平分线交于，过作与垂直且交延长线于，求证：．
【解答】证明：如图，分别延长，交于一点．
，
，
平分，
，
又，
．
．
．
，，，，
．
又，，
．
．
，
．
17．（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、．
①求证：；
②若 的周长是25，，试求出的周长；
（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求 与的数量关系式．
【解答】解：（1）①平分，
，
，
，
，
；
②的周长；
（2）解：延长，做，，，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
．
18．已知：．小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即的角尺来作的角平分线．
（1）如图1，他先在边和上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线是的角平分线．试根据小新的做法证明射线是的角平分线；
（2）如图2，小新在确认射线是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段和仍然相等．请问小新的观点是否正确，为什么？
（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得，请判断线段与的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图1中，
在和中，
，
，
．
（2）解：结论正确．
理由：如图2中，过点作于，于．
，，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：结论：．
理由：如图3中，在上取一点，使得，连接．
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
19．是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为的角平分线，点在的延长线上，，连接、，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求长．
【解答】证明：（1）如图1，是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）如图2，作交的延长线于，作于，
，
，
为的角平分线，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图3，作于，于，
为的角平分线，
，
，
，
在（2）中已证，
，
的面积的面积，
，
，
，
．
题型三 截长补短
20．如图，在中，，，垂足为，且，则的度数是 ．
【解答】解：延长至，使，连接．
（已知），
（等量代换），即
；
，
（外角定理）；
，
（三角形内角和定理）．
故答案是：．
21．（1）如图1，四边形中，，，的角平分线交于边上的点，求证：①；②是的中点；
（2）如图2，（1）中的条件“”改为“条件”，其他条件不变，（1）中的结论是否都依然成立？请什么理由．
【解答】（1）证明：如图中，过点作于点．
，分别平分，，且，
，即是 中点，
在和中，
，
，
，
同法可得：，
．
（2）解：结论仍然成立．
理由如下：如图2中，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
22．如图，在中，，、分别平分、．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）图中还有相等的线段吗？请找出来（不用说明理由）．
【解答】解：（1）如图1，在上截取，连接，
平分，
，
在和中
，
，
，
，、分别平分，，
；
（2），，
，
在和中，
，
，
；
（3），如图2，过作，，垂足分别为、，
、为角平分线，
点在的平分线上，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
在四边形中，，，
，
，
在和中，
，
，
．
23．如图，已知在中，，，是的平分线．
（1） ．
（2）求证：．
【解答】（1）解：，，
，
平分，
，
，
故答案为；
（2）证明：延长使，连接，
，
，
，
在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
24．在等腰中，，为边上的高，点在的外部且，，连接交直线于点，连接．
（1）如图①，当时，求证：；
（2）如图②，当时，求的度数；
（3）如图③，当时，求证：．
【解答】解：（1）证明：为边上的高，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图③，在上截取一点，使，连接，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
．
25．如图．已知，，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）请问线段、、之间有什么数量关系？请说明理由．
【解答】（1）证明：，
，，
，
在和中，，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，，
，
，，
，
；
（3）解：；理由如下：
延长到，使得，连接，如图所示：
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
．
26．如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图1，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
（2）如图2，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
（3）如图3，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接，
，关于对称，
被垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△，
，
（2）证明：如图2，在上截取，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
△，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图3，延长至点，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．