北师大版七年级数学下册常考题专练专题17三角形中的动态问题(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题17三角形中的动态问题(原卷版+解析)，共36页。

A．2B．3C．2或3D．2或
2．如图，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设点的运动速度为．当以、、顶点的三角形与全等时，的值为 ．
3．如图，在矩形中，，，点为中点，如果点在线段上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设点的运动时间为秒，若某一时刻与全等，则点的运动速度是 ．
4．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为线段的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米秒时，能够使与以、、三点所构成的三角形全等．
5．如图，米，于点，于点，已知米，点从点出发，以3米秒的速度沿向点运动（到达点停止运动），设点的运动时间为秒．
（1）如图， ．（用的代数式表示）
（2）点从点开始运动，点同时从点出发，以米秒的速度沿射线运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
6．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
7．如图1，在长方形中，，．点从出发，以的速度在射线上运动，设点的运动时间为秒．
（1） 时，；
（2）当为何值时，的面积等于；
（3）如图2，当从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度在线段上运动，是否存在这样的的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知在中，，厘米，点为上一点且厘米，点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，设运动时间为，同时，点在线段上由点向点运动．
（1）用含的式子表示的长为 ；
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，三角形与三角形是否全等，请说明理由；
（3）若点的运动速度与点的运动速度不相等，请求出点的运动速度是多少时，能够使三角形与三角形全等？
9．在四边形中，，是边上一点，，．点从出发以秒的速度沿线段、运动，同时点从出发，沿线段、射线运动，当运动到，两点都停止运动，设运动时间为（秒．
（1）当与的速度相同，且时，求证：；
（2）当与的速度不同，且，分别在、上运动时（如图，若与全等，求此时的速度和的值；
（3）当运动到上，运动到射线上（如图，若的速度为秒，是否存在恰当的边的长，使在运动过程中某一时刻刚好与全等？若存在，请求出此时的值和边的长；若不存在，请说明理由．
10．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
（1）试求的度数；
（2）若，试求动点，的运动时间的值；
（3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
题型二 其他动点问题
11．如图，正方形的边长为，点作正方形的边上从以的速度运动，同时点在正方形的边上从以的速度运动，设运动时间为秒．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当点在边上时，连接交于点，连接．若，求此时的长．
12．如图1，与相交于点．，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于，交于，求证：；
（3）如图3，若，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求出的值．
13．如图，在中，，，点从点出发，沿方向运动到点不与，重合），连接，作，交线段于点，设，．
（1）当时，求的度数；
（2）求与的关系式；
（3）当时，求的值．
14．如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点．
（1）当时， ， ．
（2）当等于多少时，，请说明理由；
（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．
15．如图，在矩形中，，，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，点 先到终点；此时另一点离终点还有 ；
（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
16．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以每秒的速度运动，且当到达点时，、两点同时停止运动．
（1）若点、两点分别从、两点同时出发，经过3秒后，与是否全等，请说明理由；
（2）若点、两点分别从、两点同时出发，的周长为，问：是否存在，使得是等腰三角形？
17．如图，在中，，，点从点出发，沿方向运动到不与、重合），连接，作，交线段于．
（1）在点的运动过程中，若，求的大小；
（2）在点的运动过程中，若，请证明；
（3）若，点的运动速度是，运动时间为．在点的运动过程中，是否存在这样的，使得的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
18．如图1，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点、在分别运动到点和点后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则 度．（直接填写度数）
19．如图1，已知点是线段的中点，过点作的垂线，在射线上有一个动点（点不与端点重合），连接，过点作的垂线，垂足为点，在射线上取点，使得，已知，．
（1）当时，求的度数；
（2）过点作垂直于直线交于点，在点的运动过程中，的大小随点的运动而变化，在这个变化过程中线段的长度是否发生变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由；
（3）如图2，当时，设直线与直线相交于点，求的度数．
20．如图1，在四边形中，，，点以的速度自点向终点运动，点同时以的速度自点向终点运动，连接、，设运动时间为．
（1）当 时，点到达点；
（2）求证：在运动过程中，始终成立；
（3）如图2，作，且，作射线于点，连接，请问在的运动过程中，的度数是否改变？如果不变，请求出；如果改变，请说明理由．
专题17 三角形中的动态问题
题型一 与全等有关的动点问题
1．如图，，，，，垂足分别为、．点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动；点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动．点、点同时出发，当以、、为顶点的三角形与全等时，的值为
A．2B．3C．2或3D．2或
【解答】解：当时，则，，
，，
，，
，
，
解得；
当时，则，，．
，，
，，
，
解得；
由上可得的值是2或，
故选：．
2．如图，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设点的运动速度为．当以、、顶点的三角形与全等时，的值为 3或 ．
【解答】解：①若，
则，，
，
解得；
②若，
则，，
，
解得；
综上所述，当或时，与全等．
故答案为3或．
3．如图，在矩形中，，，点为中点，如果点在线段上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设点的运动时间为秒，若某一时刻与全等，则点的运动速度是 或 ．
【解答】解：设点的运动速度为，则，，，．
由题可分两种情况：
，则，，
，，
，；
，则，，
，．
，．
综上所述，的值为1.5秒时，点的速度为；或的值为2秒，点的速度为2 ．
故答案为：或．
4．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为线段的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 3或 厘米秒时，能够使与以、、三点所构成的三角形全等．
【解答】解：设点运动的时间为秒，则，，
，
①当，时，与全等，
此时，，
解得，
，
此时，点的运动速度为厘米秒；
②当，时，与全等，
此时，，
解得，
点的运动速度为厘米秒；
故答案为：3或．
5．如图，米，于点，于点，已知米，点从点出发，以3米秒的速度沿向点运动（到达点停止运动），设点的运动时间为秒．
（1）如图， 平方米 ．（用的代数式表示）
（2）点从点开始运动，点同时从点出发，以米秒的速度沿射线运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）米，，米，
（平方米）．
故答案为：平方米；
（2）由题意可得，米，米．
当与全等时，分两种情况：
①如果，那么，，
，，
解得；
②如果，那么，，
，，
解得，．
故所求的值为3或4．
6．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当时，，，
又，
在和中，
．
，
．
，
即线段与线段垂直．
（2）①若，
则，，，
解得；
②若，
则，，
，
解得；
综上所述，存在或使得与全等．
7．如图1，在长方形中，，．点从出发，以的速度在射线上运动，设点的运动时间为秒．
（1） 3 时，；
（2）当为何值时，的面积等于；
（3）如图2，当从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度在线段上运动，是否存在这样的的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
点从出发，以的速度在射线上运动，
，
故答案为：3；
（2）①当在线段上时，
，
的面积等于，
，
解得：，
②当在线段的延长线上时，
，
，解得，
答：为或时，的面积等于；
（3）存在，理由如下：
四边形是长方形，
，
要使与全等，分两种情况：
①且，
即且，
由得，
将代入得，解得，
时，；
②且，
即且，
由得，
把代入得，解得，
时，，
综上所述，或，与全等．
8．如图，已知在中，，厘米，点为上一点且厘米，点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，设运动时间为，同时，点在线段上由点向点运动．
（1）用含的式子表示的长为 ；
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，三角形与三角形是否全等，请说明理由；
（3）若点的运动速度与点的运动速度不相等，请求出点的运动速度是多少时，能够使三角形与三角形全等？
【解答】解：（1），则；
故答案为．
（2）当时，厘米，
厘米．
又，厘米，
厘米，
，
又，
，
在和中，，
；
③，
，
又，，
，，
点，点运动的时间秒，
厘米秒．
即点的运动速度是厘米秒时，能够使三角形与三角形全等．
9．在四边形中，，是边上一点，，．点从出发以秒的速度沿线段、运动，同时点从出发，沿线段、射线运动，当运动到，两点都停止运动，设运动时间为（秒．
（1）当与的速度相同，且时，求证：；
（2）当与的速度不同，且，分别在、上运动时（如图，若与全等，求此时的速度和的值；
（3）当运动到上，运动到射线上（如图，若的速度为秒，是否存在恰当的边的长，使在运动过程中某一时刻刚好与全等？若存在，请求出此时的值和边的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1中，
由题意：，
，，
，
，
，
．
（2）速度不同，
，
与全等，
，，
，
秒．
当与的速度不同，且，分别在、上运动时（如图，与全等，此时的速度为秒和的值为2秒．
（3）如图2中，设．
与全等，，
有两种情形：①，．
由此可得：，
解得．
②，，
由此可得：，
解得．
当时，秒时，．
当时，秒时，．
10．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
（1）试求的度数；
（2）若，试求动点，的运动时间的值；
（3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
【解答】解：（1），平分，
，
，
，
；
（2）作，，则，
，
，
当点在点左侧时，
，，
，
解得：；
当点在点右侧时，，
，解得．
（3），，
当时，，
即，或，
解得：或6（舍弃），
答：，．
题型二 其他动点问题
11．如图，正方形的边长为，点作正方形的边上从以的速度运动，同时点在正方形的边上从以的速度运动，设运动时间为秒．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当点在边上时，连接交于点，连接．若，求此时的长．
【解答】解：（1）如图1中，
，．
当时，，
解得，
时，．
（2）延长交于，如图2所示：
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
解得：，
即若，的值为；
12．如图1，与相交于点．，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于，交于，求证：；
（3）如图3，若，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求出的值．
【解答】（1）证明：在与中，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：由（2）可知：当线段经过点时，，
可得，
或，
或4，
当或时，线段经过点．
13．如图，在中，，，点从点出发，沿方向运动到点不与，重合），连接，作，交线段于点，设，．
（1）当时，求的度数；
（2）求与的关系式；
（3）当时，求的值．
【解答】解：（1）当时，，等腰三角形，，
（2）由题可知，即
即
两式相减得即
（3）由题可知， 且
又和
为等腰三角形且
即
14．如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点．
（1）当时， 30 ， ．
（2）当等于多少时，，请说明理由；
（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，
，
故答案为：30，100；
（2）当时，，理由如下：
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
；
（3）可以，理由如下：
，，
，
分三种情况讨论：
①当时，，
，，
，
，
，
②当时，
，
又，
，
点与点重合，不合题意．
③当时，，
，
，
，
综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形．
15．如图，在矩形中，，，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，点 先到终点；此时另一点离终点还有 ；
（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）点从开始到运动停止用的时间为：，
点从开始到运动停止用的时间为：，
，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
点先到终点，此时点离终点的距离是：，
答：点先到终点，此时点离终点的距离是，
故答案为：，6；
（2）在运动过程中，的面积能等于，
当从点运动到点的过程中，设点运动时间为，
的面积能否等于，
，
△，
此方程无实数根；
当点从到的过程中，设点运动的时间为，
的面积能否等于，
，
解得，，（舍去），
即需运动，的面积能等于．
16．如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以每秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以每秒的速度运动，且当到达点时，、两点同时停止运动．
（1）若点、两点分别从、两点同时出发，经过3秒后，与是否全等，请说明理由；
（2）若点、两点分别从、两点同时出发，的周长为，问：是否存在，使得是等腰三角形？
【解答】解：（1）与是全等．理由如下：
当，两点分别从，两点同时出发运动3秒时
有，则
是的中点，
，
，．
又中，，
在和中．
；
（2）设当，两点同时出发运动秒时，
有，，
的取值范围为（没有写出范围不扣分）
则，
的周长为，
．
要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当时，则有．
解得：；
②当时，则有．
解得：；
时，则有．
解得：；
经验证，以上三种情况均符合题意．即的值是1.5或2.75或2.5．
17．如图，在中，，，点从点出发，沿方向运动到不与、重合），连接，作，交线段于．
（1）在点的运动过程中，若，求的大小；
（2）在点的运动过程中，若，请证明；
（3）若，点的运动速度是，运动时间为．在点的运动过程中，是否存在这样的，使得的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
，
，，
，
；
（2），
，
，
，
，
在和中，，
；
（3）存在，，，
，
，点的运动速度是，运动时间为，
，，
①如图1，当，则，
，
，
，
，即，
；
②如图2，当时，则，
平分，
，
即，
，
综上所述，当或3时，的形状是直角三角形．
18．如图1，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，当点、分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点、在分别运动到点和点后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则 120 度．（直接填写度数）
【解答】（1）证明：是等边三角形
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
，
；
（2）解：点、在运动的过程中，不变．
理由：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
．
故答案为：．
19．如图1，已知点是线段的中点，过点作的垂线，在射线上有一个动点（点不与端点重合），连接，过点作的垂线，垂足为点，在射线上取点，使得，已知，．
（1）当时，求的度数；
（2）过点作垂直于直线交于点，在点的运动过程中，的大小随点的运动而变化，在这个变化过程中线段的长度是否发生变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由；
（3）如图2，当时，设直线与直线相交于点，求的度数．
【解答】解：（1）设与交点为，如图1所示：
，，
，
，
；
（2）在这个变化过程中线段的长度不发生变化；理由如下：
由（1）可得：，即
在和中，，
，
，
点是线段的中点，，
，
；
（3）连接，如图2所示：
点是线段的中点，，
，，
、都为等腰三角形，
设，，则，
，，
，
，
在中，，
，
即：，
，
．
20．如图1，在四边形中，，，点以的速度自点向终点运动，点同时以的速度自点向终点运动，连接、，设运动时间为．
（1）当 4 时，点到达点；
（2）求证：在运动过程中，始终成立；
（3）如图2，作，且，作射线于点，连接，请问在的运动过程中，的度数是否改变？如果不变，请求出；如果改变，请说明理由．
【解答】解：（1），点以的速度自点向终点运动，
点到达点所用的时间为：，
故答案为：4；
（2）在运动过程中，，
在和中，
，
；
（3）的度不改变，始终为，
理由如下：，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
，
．