北师大版七年级数学下册常考题专练考试常考题型汇编01——整式的乘除重难点复习(一)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练考试常考题型汇编01——整式的乘除重难点复习(一)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了若，则的值为，设，，，若，则的值是，观察下列各式及其展开式，有两个正方形，，对于实数和，定义两种新运算，请看杨辉三角等内容，欢迎下载使用。

1．如果是一个完全平方式，那么的值是
A．4B．16C．D．
2．如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，根据这两个图形的面积关系，下列式子正确的是
A．B．
C．D．
3．若，则的值为
A．14B．16C．18D．20
4．设，，，若，则的值是
A．16B．12C．8D．4
5．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是
A．B．
C．D．
6．观察下列各式及其展开式
请你猜想的展开式中含项的系数是
A．224B．180C．112D．48
7．有两个正方形，．现将放在的内部得图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形和两个正方形，如图丙摆放，则阴影部分的面积为
A．28B．29C．30D．31
8．把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是
A．B．
C．D．
9．对于实数和，定义两种新运算：①，②，则
A．B．C．D．
二．填空题
10．请看杨辉三角（1），并观察等式（2）
根据前面各式的规律，则你猜想的展开式中含项的系数是 ．
11．若，，则 ．
12．已知，则的值为 ．
13．定义一种新运算☆，若☆，则 ．
14．已知，则 ．
15．如果，则的值为 ．
16．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是4．依此方法，代数式的最小值是 ．
17．图①是一个长为，宽为的长方形，以此小长方形按图②拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形的面积为，大正方形的面积为，小长方形的面积为．若，且，则 ．
18．若的积中不含项与项，则 ， ．
19．代数式的最小值是 ．
20．若，则的个位数字为 ．
21．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．
22．有一系列等式：
，
，
，
，
（1）根据你的观察，归纳发现规律，写出的结果是 ；
（2）式子 ．
23．已知，，，那么，，之间满足的等量关系是 ．
24．已知，，则的值为 ．
25．若是关于的完全平方式，则 ．
26．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为 ．
27．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，，，，，从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第 个“智慧数”；第2021个“智慧数”是 ．
三．解答题
28．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么．
（1）填空： ；
（2）计算：；
（3）探索，，与的大小关系，并说明理由．
29．已知．
当时，
这种给取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题．
（1）求当为多少时，可求出，为多少？
（2）求的值；
（3）求的值．
30．已知，，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
31．在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段和．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： ．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：．
延伸运用
（3）若，图中阴影部分的面积和为13，求的值．
32．阅读下文，寻找规律：
已知：，观察下列各式：
；
；
；
；
（1）填空：
① ；
② ；
③ ．
（2）根据你的猜想，计算：
① ；
②那么的末尾数字为 ．
33．已知，，求：
（1） ；
（2）求的值；
（3）求结果的个位数字．
34．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式，利用配方法求的最小值：．
，，
当时，代数式有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
（2）若代数式，求的最小值；
（3）已知，求代数式的值．
35．若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值；
（2）如图，在长方形中，，，点．是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
36．若，．
（1）请用含的代数式表示；
（2）如果，求此时的值．
37．（1）若的积中不含项与项，求解以下问题：
①求，的值；
②代数式的值．
（2）若多项式能被整除，求．
38．已知的三边长分别为，，．
（1）若，，满足，试判断的形状；
（2）若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值．
39．阅读下面的材料并填空：
①，反过来，得
②，反过来，得
③，反过来，得
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
40．（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）．
（2）运用你所得到的公式，计算．
考试常考题型汇编01——整式的乘除重难点复习（一）
一．选择题
1．如果是一个完全平方式，那么的值是
A．4B．16C．D．
【解答】解：是一个完全平方式，
，
解得：．
故选：．
2．如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，根据这两个图形的面积关系，下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：拼接前阴影部分的面积为，拼接后阴影部分的面积为，
因此，
故选：．
3．若，则的值为
A．14B．16C．18D．20
【解答】解：，
，
两边平方得，，
，
即：，
故选：．
4．设，，，若，则的值是
A．16B．12C．8D．4
【解答】解：，，，
，
，
，
，
，
又，
．
故选：．
5．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是
A．B．
C．D．
【解答】解：
空白部分的面积：，
还可以表示为：，
此等式是．
故选：．
6．观察下列各式及其展开式
请你猜想的展开式中含项的系数是
A．224B．180C．112D．48
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含项的系数为：．
故选：．
7．有两个正方形，．现将放在的内部得图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形和两个正方形，如图丙摆放，则阴影部分的面积为
A．28B．29C．30D．31
【解答】解：设正方形，的边长各为、，
得图甲中阴影部分的面积为
，
解得或（舍去），
图乙中阴影部分的面积为，
可得
，
解得或（舍去），
图丙中阴影部分的面积为
，
故选：．
8．把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是
A．B．
C．D．
【解答】解：阴影部分的面积是：
4个长方形的面积是：，
验证的等式是：
故选：．
9．对于实数和，定义两种新运算：①，②，则
A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
二．填空题
10．请看杨辉三角（1），并观察等式（2）
根据前面各式的规律，则你猜想的展开式中含项的系数是 ．
【解答】解：根据题意，第六行系数规律依次是：1，6，15，20，15，6，1，
，
，
展开式中含项是：，
故答案为：．
11．若，，则 250 ．
【解答】解：，，
．
故答案为：250．
12．已知，则的值为 12 ．
【解答】解：，
，
即，
．
故答案为12．
13．定义一种新运算☆，若☆，则 8 ．
【解答】解：根据题中的新定义得：
，即，
解得：．
故答案为：8．
14．已知，则 2015 ．
【解答】解：，
．
故答案为：2015．
15．如果，则的值为 ．
【解答】解：，
，
．
故答案为．
16．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是4．依此方法，代数式的最小值是 ．
【解答】解：，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
17．图①是一个长为，宽为的长方形，以此小长方形按图②拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形的面积为，大正方形的面积为，小长方形的面积为．若，且，则 3 ．
【解答】解：由图可得：大正方形的面积小正方形的面积小长方形的面积，即，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：3．
18．若的积中不含项与项，则 3 ， ．
【解答】解：
．
积中不含项与项，
，．
解得：，．
故答案为：，．
19．代数式的最小值是 ．
【解答】解：因为，
所以当时，代数式的最小值是，
故答案是：．
20．若，则的个位数字为 3 ．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
从第2项开始个位数字是2，4，8，6四个一循环，
又，，
．
故的个位数字为3．
故答案为：3．
21．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．
【解答】解：由题意，第1行有2017个数，
第2行有2016个数，
，
第2017行有1个数，
故第1行的第一个数为：，
第2行的第一个数为：，
第3行的第一个数为：，
第行的第一个数为：，
第2017行只有，
则．
故答案为：．
22．有一系列等式：
，
，
，
，
（1）根据你的观察，归纳发现规律，写出的结果是 ；
（2）式子 ．
【解答】解：（1）通过观察分析可得，每列的连续四个做积的自然数中第一个数乘以第四个自然数的积再加上1得到的和，就等于每列中间做平方的底数，
所以，每列中的最后一组式子括号里的数为四个做乘积的自然中的第一个自然数的平方然后加上3乘以这个自然数再加上1得到和，所以．
（2）根据（1）分析的规律可得，．
故答案为：（1），（2）．
23．已知，，，那么，，之间满足的等量关系是 ．
【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
24．已知，，则的值为 ．
【解答】解：，
．
即①．
，
．
即②．
①，②的两边分别相乘得：
．
．
．
．
．
故答案为：．
25．若是关于的完全平方式，则 ．
【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为．
26．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为 ．
【解答】解：设，，
由题意得：四边形、四边形、四边形都为长方形，
，，
，
，
，
，
整理得：，
长方形的周长，
故答案为：．
27．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，，，，，从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则2021是第 1514 个“智慧数”；第2021个“智慧数”是 ．
【解答】解：，
（个，
是第1514个智慧数；
，
，
第2021个智慧数是2697．
故答案为：1514，2697．
三．解答题
28．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么．
（1）填空： 6 ；
（2）计算：；
（3）探索，，与的大小关系，并说明理由．
【解答】解：（1），
；
故答案为：6．
（2），，
．
（3）相等．理由如下：
设，可得，设，根据得：
，可得，
即，，，．
29．已知．
当时，
这种给取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题．
（1）求当为多少时，可求出，为多少？
（2）求的值；
（3）求的值．
【解答】解：（1）令，则；
（2）令，则；
（3）令，则，
联立（2）可得，
解得．
故的值为16．
30．已知，，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解答】解：（1）因为，，
所以；
（2）因为，，
所以；
（3）因为，，
所以
．
31．在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段和．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： ．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：．
延伸运用
（3）若，图中阴影部分的面积和为13，求的值．
【解答】解：（1）由图知，大正方形的边长为，则大正方形的面积为，
大正方形的面积为各部分面积和：，
，
故答案为；
（2）如图所示，
（3），
，
阴影部分的面积和为13，
，
，
，
．
32．阅读下文，寻找规律：
已知：，观察下列各式：
；
；
；
；
（1）填空：
① ；
② ；
③ ．
（2）根据你的猜想，计算：
① ；
②那么的末尾数字为 ．
【解答】解：（1）①根据规律可得：；
②；
③原式
；
故答案为：①；②；③；
（2）①，
把，代入得：
，
故答案为：．
②的末尾数字是2，
的末尾数字是4，
的末尾数字是8，
的末尾数字是6，
的末尾数字是2，
，
的末尾数字是以2，4，8，6四个数字循环．
，
的末尾数字是2，
的末尾数字是1．
故答案为：1．
33．已知，，求：
（1） 15 ；
（2）求的值；
（3）求结果的个位数字．
【解答】解：（1）；
故答案为：15；
（2）求
；
（3）
；
，，，，，，
可知的个位数呈3、9、7、循环，
，
的个位数是1，
的个位数是0．
即结果的个位数字是0．
34．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式，利用配方法求的最小值：．
，，
当时，代数式有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： 4 ；
（2）若代数式，求的最小值；
（3）已知，求代数式的值．
【解答】解：（1）
故答案为：4；
（2）
的最小值为
（3），
，
，，
，，
．
35．若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值；
（2）如图，在长方形中，，，点．是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
【解答】解：（1）设，，则，，
；
（2）由题意得：，，
则长方形的面积为平方单位．
阴影部分面积和为：，
设，，
则，
，
．
阴影部分面积和为384平方单位．
36．若，．
（1）请用含的代数式表示；
（2）如果，求此时的值．
【解答】解：（1），，
，
，
，即；
（2）把代入．
37．（1）若的积中不含项与项，求解以下问题：
①求，的值；
②代数式的值．
（2）若多项式能被整除，求．
【解答】解：（1）①原式，
积中不含项与项，
，
．
②由①得，
原式
．
（2）设
，
，
解得，，
．
38．已知的三边长分别为，，．
（1）若，，满足，试判断的形状；
（2）若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值．
【解答】解：（1），
，，
，
是等边三角形；
（2），，且为整数，
，即，
，5，6，
当时，周长的最小值；
当时，周长的最大值．
39．阅读下面的材料并填空：
①，反过来，得
②，反过来，得
③，反过来，得
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
【解答】解：①，反过来，得，
②，反过来，得，
③，反过来，得
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
．
故答案为：，，．
40．（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）．
（2）运用你所得到的公式，计算．
【解答】解：（1）；
故答案为：．
（2），
，
，
．