安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共25题，满分100分，考试时间90分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共54分）
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，满分54分，每小题4个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因集合，
则.
故选：B.
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.
【详解】，所以，函数的最小正周期为.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
3. 直线的倾斜角是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倾斜角的定义判断.
【详解】直线与轴垂直，所以倾斜角为.
故选：D.
4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆柱D. 球
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图知该几何体是一个三棱柱.
【详解】该几何体为一个三棱柱，如图.
故选：A.
5. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率；
解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.
【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.
6. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项： 为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D.
7. 点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为点为轴上一点，可设点，
又因为点到直线的距离等于1，可得，
整理得，即，解得或，
所以点的坐标为或.
故选：C
8. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A. 167B. 137C. 123D. 93
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
考点：收集数据的方法
9. 已知点，点，向量，若，则实数y的值为（ ）
A. B. C. 3D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】计算出，根据向量平行得到方程，求出.
【详解】，
根据得，解得.
故选：D
10. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A. 8号学生B. 200号学生C. 416号学生D. 915号学生
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意 ，得到被抽测的号码满足，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，从1000名新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，
可得抽测的间距为，所以在抽取的号码为，
则被抽测的学生号码满足，
对于A中，令，解得，所以A不正确；
对于B中，令，解得，所以B不正确；
对于C中，令，解得，所以C正确；
对于D中，令，解得，所以D不正确.
故选：C.
11. 设满足约束条件，则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得的最小值.
【详解】作出可行域,如图所示:

将目标函数化为斜截式得,
由图可知,最优解为,
所以当,时,.
故选:C
【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,作出可行域,根据斜率关系找到最优解是答题关键.
12. 已知函数是上的奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由奇函数的定义求出参数的值，进而可求得的值.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即恒成立，
所以，，可得，，
因此，.
故选：C.
13. 设D为ABC所在平面内一点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量等式判断点在线段的延长线上，结合图形，将用和线性表示即得.
【详解】
如图，由可知，点在线段的延长线上,由图可得，
=.
故选:A．
14. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据零点存在性定理结合单调性判断.
【详解】因为函数在单调递减，
函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
又，，
所以函数在上存在唯一零点.
故选：D.
15. 执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，则过定点的直线与圆，截得的最短弦长为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据程序框图求出，结合点与圆的位置关系，确定最短弦的位置，结合勾股定理求解.
【详解】根据程序框图，第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；此时结束循环输出，即.
易知点在圆内部，且与圆心的距离为2，由圆的性质可得，当直线与过点的直径垂直时，所得弦长最小.此时弦长为.
【点睛】本题主要考查程序框图识别和圆的弦长求解，过圆内一点的直线被圆所截得的最长弦是圆的直径，最短弦是与该直径垂直的弦.
16. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了
A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.
【详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.
【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.
17. 如图，圆柱中，半径OA，等于1，且，异面直线AB与所成角的正切值为，则该圆柱的体积为（ ）
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
【答案】C
【解析】
【分析】过作于点，则，由平行等于，且得，所以圆柱的高，圆柱的体积为．
【详解】过作于点，
则即为异面直线与所成角，
则，
由平行等于，且，
可得，
得，
又,
所以圆柱的高，
所以圆柱的体积为．
故选：C.
18. 如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位：），若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
为求矩形面积的最大值，可先将其面积表达出来，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．
【详解】解：设长为，则长为
又因为要将点围在矩形内，
则矩形面积为，
当时，当且仅当时，
当时，
分段画出函数图形可得其形状与接近
故选：．
【点睛】解决本题关键是将的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出的解析式，属于基础题．
第Ⅱ卷（非选择题 共46分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
19. 不等式的解集为_________．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【详解】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．
考点：一元二次不等式．
20. 已知在正方形ABCD中，分别以边AB，CD为直径作半圆如图所示，若在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形边长为2，求出阴影部分的面积，得到概率.
【详解】设正方形边长为，则空白部分的面积为，
故阴影部分的面积为，
在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
故答案为：.
21. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用诱导公式可得，在结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，可得，则，
所以.
故答案为：.
22. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则__________．
【答案】26
【解析】
【分析】利用向量加法、减法、数乘和数量积运算，求得的值.
【详解】连接部分圆心如下图所示.根据圆的几何性质可知四边形是菱形，且.
所以，
.
所以
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查向量加法、减法、数乘和数量积运算，属于中档题.
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分．解答时应写出文字说明及演算步骤．）
23. 在中，角所对的边长分别为，且满足．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若的面积为，求的值．
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【详解】分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinCsinB= sinBcsC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC=，即可得解C的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a2+b2﹣c2=ab，又a2﹣c2=2b2，可得a=3b，利用三角形面积公式即可解得b的值．
详解：
1由已知及正弦定理可得，，
，
，
2 由1可得，，
，
又，
，
由题意可知，，
，可得：
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
24. 如图，已知平面 ，点分别是 的中点．
（1）求证：平面 ；
（2）求证：平面平面 ；
（3）求直线与平面 所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【详解】
【分析】试题分析：（1）要证明平面 ，可以先证明与平面 内的直线平行，然后就可以线面平行；（2）要证明平面 平面，可以先证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，即先证明 平面，之后再证明平面 平面；（3）先作出直线 与平面所成的角，再结合直角三角形的边角关系，就可求出直线与平面 所成角的大小．
试题解析：（1）证明：如图，连接，在中，因为和分别是的中点，所以，又因为 平面，所以平面 ．
（2）要证明 平面平面，可证明；因为 为中点，所以，因为平面，所以平面 ，从而，又，所以 平面，又因为平面 ，所以平面平面．
（3）取中点，连接，则就是直线与平面 所成角，中，由，得直线 与平面所成角为．
考点：1、线面平行；2、面面垂直；3、线面角.
25. 在正项数列中，，，其中．
（1） 写出，及；
（2） 记数列的前n项和，设，试判断与1的大小关系；
（3） 对于（2）中的，不等式对任意大于1的整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），，；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据递推公式可知数列为等差数列，由此即可求出；
（2）根据等差数列的前项和公式求出，再根据裂项相消法求出，由此可得答案；
（3）由题意代入数据分离参数得对任意大于1的整数恒成立，再结合基本不等式即可求出答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，且数列为等差数列，
∴；
（2）由（1）可得，
∴，
∴
，
∵，
∴；
（3）由（2）可得，，，
由得，
，
又，
当且仅当即时等号成立，
∴，
∴实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查裂项相消法求和，考查基本不等式的应用，属于中档题．