沪教版九年级上册数学专题训练专题03二次函数y=ax2+bx+c的重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题03二次函数y=ax2+bx+c的重难点专练(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2023·上海九年级专题练习）已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（）
A．该函数图象有最高点B．该函数图象有最低点
C．该函数图象在轴的下方；D．该函数图象在对称轴左侧是下降的.
2．(2023·上海九年级其他模拟）关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到轴的距离是2
3．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数的顶点和对称轴分别是 （ ）
A．，直线x=1B．，直线x=4
C．，直线D．，直线
4．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（-1，-3），那么m的值是（ ）
A．5B．－3C．－9D．－1
5．(2023·上海九年级专题练习）若（，）， （，）， （，）为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海九年级专题练习）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
根据表，下列判断正确的是（ ）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线
C．该抛物线一定经过点
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
二、填空题
7．(2023·上海九年级专题练习）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x1＜x2，那么y1_____y2（填入“＜”或“＞”）．
8．(2023·上海九年级专题练习）若抛物线y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，则a的值是_____．
9．(2023·上海普陀区·九年级期中）沿着x轴正方向看，抛物线在对称轴左侧部分是______的填“上升”或“下降”
10．(2023·上海市回民中学九年级月考）用“描点法”画二次函数的图像时，列出了下面的表格：
根据表格上的信息回答问题：当时，______.
11．(2023·上海九年级专题练习）已知二次函数（是常数，），当自变量分别取，时，对应的函数值分别为、，那么、的大小关系是：___________（填“”、“”、“”）.
12．(2023·上海九年级一模）已知二次函数图像的对称轴为直线，则________．（填“＞”或“＜”）
13．(2023·上海九年级期末）已知函数，如果，那么___________.
14．(2023·上海九年级期末）如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是___________.
15．(2023·上海九年级二模）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为_____．
16．(2023·上海）如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线y＝x2﹣4x+m上，那么a和b的大小关系为：a_____b．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．
17．(2023·上海九年级二模）已知点（，y1），（，y2），（2，y3）在函数（）的图像上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是________．
18．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）抛物线的开口______，对称轴是_____________，顶点是_______．
19．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）抛物线y＝x2＋2x＋3关于y轴对称的解析式y=___________．
20．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______．
21．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数的顶点在y轴上，则m=______________．
22．(2023·上海市回民中学九年级月考）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝﹣x2+4x﹣3图象上的两点，若x1x22，则y1_____y2（填、或＝）．
23．(2023·鹿泉市李村镇联合中学九年级月考）若抛物线（a，b，c是常数，）与直线1都经过y轴上的一点P，且抛物线1的顶点Q在直线1上，则称此直线1与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线1叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线1的“路线”若直线与抛物线具有“一带一路”关系，则___________，____________．
24．(2023·上海普陀区·九年级月考）如图，已知二次函数的图像经过点，那么__________．（填“”、“”或“”）
25．(2023·上海松江区·九年级一模）已知点，在抛物线（c为常数）上，则____（填“>”、“=”或“<”）
26．(2023·上海九年级一模）在二次函数图像的上升部分所对应的自变量x的取值范围是____．
27．(2023·上海市回民中学九年级月考）二次函数图像的对称轴是________．
28．(2023·上海九年级期中）已知点和点都在二次函数的图像上，那么__________．（结果用表示）
三、解答题
29．(2023·上海）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
30．(2023·上海九年级一模）已知一抛物线和抛物线的形状及开口方向完全相同，且经过点
（1）求此抛物线解析式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
31．(2023·上海普陀区·）已知二次函数的图像经过、、三点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求出图像的顶点坐标.
32．(2023·上海市天山初级中学）已知二次函数的图像经过点．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标．
33．(2023·上海）已知二次函数.
（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶点B坐标；
（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.
34．(2023·上海九年级二模）如图，抛物线与轴交于点和B，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；
（2）将抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点，联结，求的面积．
35．（专题09函数之解答题《备战2020年中考真题分类汇编》（上海））在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
36．(2023·上海九年级专题练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
37．(2023·上海）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）的对称轴是直线x=1．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；
（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．
38．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+1的图象的对称轴是x=2，求此二次函数解析式．
39．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知：二次函数，当x＜-2时y随x的增大而减小；当x＞-2时，y随x的增大而增大，求当x=1时，y值．
40．(2023·上海九年级一模）已知一个二次函数的图像经过点、、．
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点、在这个二次函数图像上，且，那么_____．（填“<”或者“>”）
41．(2023·银川市第十五中学九年级一模）二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．
（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标；
（3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标．
0
1
3
4
5
0
1
1
专题03二次函数y=ax2+ bx+c的重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（）
A．该函数图象有最高点B．该函数图象有最低点
C．该函数图象在轴的下方；D．该函数图象在对称轴左侧是下降的.
【来源】考点03 函数及其应用-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:C
分析：
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
∵二次函数y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，
∴该函数图象有最高点（1，-2），故选项A错误，选项B错误；
该函数图象在x轴下方，故选项C正确；
该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到轴的距离是2
【来源】2021年上海市浦东新区第四教育署中考数学调研试卷（3月份）
答案:D
分析：
根据二次项系数的正负性判断开口方向；根据对称轴公式计算对称轴；根据开口方向判断图象是上升还是下降；根据顶点坐标公式计算顶点坐标进行判断．
【详解】
A：二次项系数为 ，故开口向下，错误；
B：对称轴公式，错误；
C：开口向下，在对称轴左侧部分上升，错误；
D：顶点坐标公式代入计算得顶点为，顶点到轴的距离是2，正确．
故答案选：D
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，掌握相关的公式以及系数特殊性判断是解题关键．
3．二次函数的顶点和对称轴分别是 （ ）
A．，直线x=1B．，直线x=4
C．，直线D．，直线
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:C
分析：
将二次函数的一般式配方为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
【详解】
解：,
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h．
4．如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（-1，-3），那么m的值是（ ）
A．5B．－3C．－9D．－1
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:A
分析：
根据已知条件“抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3）”求得顶点坐标是（1，3）；然后由顶点坐标公式（，）列出关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【详解】
∵抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（−1，−3），
∴抛物线y＝2x2−4x＋m的顶点坐标是（1，3），
∴3＝，
解得，m＝5；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标．在求二次函数图象的顶点坐标时，要熟练掌握顶点坐标公式（，）．
5．若（，）， （，）， （，）为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【来源】第三章 函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点 核心考点清单（上海专用）
答案:B
分析：
先求出对称轴，再确定函数图像开口方向向上；然后根据“二次函数图像开口方向向上的点离对称轴越近，函数值越小”即可解答．
【详解】
解：∵
∴该函数图像开口方向向上，对称轴为x=
∵|-2|=，|-2|=3.25，|-2|=1.75，
∴1.75＜3.25＜
∴y3＜y2＜y1．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查比较二次函数图象上的点的函数值，掌握利用二次函数图像的对称轴比较图像上点的函数值的方法是解答本题的关键．
6．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
根据表，下列判断正确的是（ ）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线
C．该抛物线一定经过点
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
【来源】第三章 函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点 核心考点清单（上海专用）
答案:C
分析：
由表格中点，可求对称轴，再任意取两点可确定函数的解析式即可．
【详解】
解：由表格中点，，
可知函数的对称轴为，
设函数的解析式为，
将点，代入，
得到，，
函数解析式；
抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
将代入表达式中，，
该抛物线一定经过点，C正确，
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数抛物线的性质，包括对称轴，函数表达式，开口方向以及函数图像的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
7．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x1＜x2，那么y1_____y2（填入“＜”或“＞”）．
【来源】专题08 函数之填空题《备战2020年中考真题分类汇编》（上海）
答案:<
分析：
先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】
解：抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
a=1，开口向上，当x＞-1时， y随x的增大而增大，
因为0＜x1＜x2，
所以y1＜y2．
故答案为＜．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的增减性，考查了二次函数的性质．
8．若抛物线y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，则a的值是_____．
【来源】第三章 函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点 核心考点清单（上海专用）
答案:-1
分析：
根据对称轴方程，列出关于a的方程即可解答.
【详解】
解：∵抛物线y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得，a＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=-，记住二次函数的对称轴方程是解题的关键.
9．沿着x轴正方向看，抛物线在对称轴左侧部分是______的填“上升”或“下降”
【来源】【区级联考】上海市普陀区2018届九年级第一学期期中测试数学试题
答案:下降
解析：
分析：
根据二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：因为，
所以抛物线在对称轴左侧部分是下降的，
故答案为下降
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．用“描点法”画二次函数的图像时，列出了下面的表格：
根据表格上的信息回答问题：当时，______.
【来源】上海市静安区回民中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题
答案:
分析：
首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x＝0，然后求出当x＝2时y的值．
【详解】
由表格数据可知：
当x＝−1，y＝−2；x＝1，y＝−2，
则二次函数的图象对称轴为x＝0，
又知x＝−2和x＝2关于x＝0对称，
当x＝−2时，y＝−11，即当x＝2时，y＝−11．
故答案为−11．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x＝0，此题难度不大．
11．已知二次函数（是常数，），当自变量分别取，时，对应的函数值分别为、，那么、的大小关系是：___________（填“”、“”、“”）.
【来源】第三章 函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点 核心考点清单（上海专用）
答案:
分析：
根据函数解析式先求出对称轴x= -4，再根据二次函数的增减性进而求出x<-4时y随x的增大而减小，求出即可
【详解】
解：对称轴x= (a≠0)
∵a2>0
∴当x< -4时y随x的增大而减小，且当x= -4时y有最小值
∴当x取-6，-4时对应的函数值y1 ，y2则y1 >y2
故答案为：>
【点睛】
本题考查了二次函数上点的增减性.解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小
12．已知二次函数图像的对称轴为直线，则________．（填“＞”或“＜”）
【来源】2020届上海松江区一模数学试题
答案:>
分析：
根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．
【详解】
解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，
∴>，
故答案为：＞．
【点睛】
考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性．
13．已知函数，如果，那么___________.
【来源】上海市普陀区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
答案:7
分析：
把x=2代入函数关系式即可求得．
【详解】
f（2）=3×22-2×2-1=7，
故答案为7．
【点睛】
此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握函数图象上点的坐标适合解析式．
14．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是___________.
【来源】上海市普陀区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
答案:
分析：
根据抛物线y=ax2+2ax+c，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【详解】
∵抛物线y=ax2+2ax+c=a（x+1）2-a+c，
∴该抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-3，0），
故答案为：（-3，0）．
【点睛】
此题考查二次函数的图形及其性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为_____．
【来源】2020年上海市宝山区九年级数学二模试题
答案:﹣1＜m＜0．
分析：
求出函数的顶点坐标为（m，m+1），再由第二象限点的坐标特点的得到：m＜0，m+1＞0即可求解．
【详解】
∵y＝（x﹣m）2+（m+1），
∴顶点为（m，m+1），
∵顶点在第二象限，
∴m＜0，m+1＞0，
∴﹣1＜m＜0，
故答案为﹣1＜m＜0．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
16．如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线y＝x2﹣4x+m上，那么a和b的大小关系为：a_____b．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．
【来源】2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题
答案:≤
分析：
由已知可得当x＝2时函数有最小值，则可求b≥a．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2，
∴当x＝2时函数有最小值，
∴b≥a，
故答案为：≤．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的特征；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
17．已知点（，y1），（，y2），（2，y3）在函数（）的图像上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是________．
【来源】2020年上海市闵行区九年级下学期二模数学试题
答案:
分析：
先根据二次函数的解析式计算出对称轴，然后结合图象根据点与对称轴距离的远近判断函数的大小即可．
【详解】
二次函数的对称轴为 ，
∵，
∴二次函数开口方向向上，且距离对称轴越远函数值越大．
∵-1距1有2个单位长度，距离1有个单位长度，2距离1有1个单位长度， ，
∴,
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
18．抛物线的开口______，对称轴是_____________，顶点是_______．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:向下 直线x=
分析：
把整理后配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】
解：∵=
∴开口方向向下；对称轴为直线x=；顶点坐标为．
故答案为：向下；直线x=； ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，顶点坐标等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，学会灵活运用知识解决问题，属于基础题．
19．抛物线y＝x2＋2x＋3关于y轴对称的解析式y=___________．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:
分析：
利用关于y轴对称后的解析式a值不变，b变为原来的相反数解答即可．
【详解】
，
关于y轴对称的解析式是，
故答案为：(x−1)2+2
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:-2
分析：
利用抛物线的对称轴方程得到，解方程即得到m的值.
【详解】
抛物线的对称轴为直线，
∴m＝-2.
故答案为：-2
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴是直线x=是解答此题的关键.
21．二次函数的顶点在y轴上，则m=______________．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:-2
分析：
根据二次函数的顶点的横坐标列式求解即可．
【详解】
解：∵二次函数的顶点在y轴上，
∴
∴，
解得，，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据顶点的坐标列出等式是解题的关键．
22．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝﹣x2+4x﹣3图象上的两点，若x1x22，则y1_____y2（填、或＝）．
【来源】上海市静安区回民中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题
答案:
分析：
将二次函数的解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向下，
∴在对称轴x＝2的右侧，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握将一般式转化为顶点式．
23．若抛物线（a，b，c是常数，）与直线1都经过y轴上的一点P，且抛物线1的顶点Q在直线1上，则称此直线1与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线1叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线1的“路线”若直线与抛物线具有“一带一路”关系，则___________，____________．
【来源】河北石家庄鹿泉区李村镇中学2020-2021学年九年级10月月考数学试题
答案:-1 1
分析：
由直线可求得与y轴的交点坐标，代入抛物线可求得n的值，再由抛物线解析式可求得其顶点坐标，代入直线解析式可求得m的值
【详解】
解：在y=mx+1中，令x=0可求得y=1，在y=x2-2x+n中，令x=0可得y=n，
∵直线与抛物线都经过y轴上的一点，
∴n=1，
∴抛物线解析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
∵抛物线顶点在直线上，
∴0=m+1，解得m=-1，
故答案为：-1；1．
【点睛】
本题为新概念型题目，理解题目中“一带一路”的定义是解题的关键．
24．如图，已知二次函数的图像经过点，那么__________．（填“”、“”或“”）
【来源】上海市普陀区2020-2021学年九年级上学期质量调研数学试题
答案:
分析：
根据二次函数的图象得出对称轴的范围，再根据对称性即可得出答案．
【详解】
解：由题可知，因为二次函数的对称轴在0和0.5之间，且二次函数经过A
二次函数在x轴的另一点在0和-0.5之间，
∴f(-1)>0，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，读懂二次函数的图是解题的关键．
25．已知点，在抛物线（c为常数）上，则____（填“>”、“=”或“<”）
【来源】上海市松江区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（一模）
答案:
分析：
先确定抛物线的开口方向向上，然后再求出抛物线的对称轴，最后根据离对称轴距离越远的点、函数值越大解答即可．
【详解】
解：∵
∴抛物线开口方向向上，对称轴为x=
∵2-1＜3-1
∴．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上，离对称轴距离越远的点、函数值越大成为解答本题的关键．
26．在二次函数图像的上升部分所对应的自变量x的取值范围是____．
【来源】上海市静安区2020-2021学年初三上学期数学一模
答案:
分析：
先将函数解析式化为顶点式形式，根据函数的增减性解答．
【详解】
∵=，
∴对称轴为直线x=1，
∵1>0，图象开口向上，
∴当x<1时，y随着x的增大而减小；当x>1时，y随着x的增大而增大，
故答案为：x>1．
【点睛】
此题考查二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减．
27．二次函数图像的对称轴是________．
【来源】上海市静安区回民中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题
答案:y轴（直线）
分析：
根据二次函数的对称轴求解即可；
【详解】
∵，
∴，
∴对称轴是y轴（直线）；
故答案是y轴（直线）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数对称轴，准确计算是解题的关键．
28．已知点和点都在二次函数的图像上，那么__________．（结果用表示）
【来源】上海市宝山区2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
答案:＞
分析：
解法一：将点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）代入二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0），进而可得结果．解法二：把二次函数化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
解法一：∵点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，
∴y1＝9a+6a+m＝15a+m，y2＝a+a+m＝a+m，
∴y1﹣y2＝15a+m﹣a﹣m＝a，
∵a＞0，
∴a＞0，
∴y1﹣y2＞0．
故答案为：＞．
解法二：，
，
当x<1时，y随x的增大而减小，
，
，
故>0，
故答案为：>
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
三、解答题
29．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
【来源】2020年上海市黄浦区中考一模数学试题
答案:（1）y＝﹣2x2+3x+1;（2）（，）．
分析：
（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．
【详解】
解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得
解得
故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．

所以抛物线的顶点坐标是（，）．
【点睛】
考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．
30．已知一抛物线和抛物线的形状及开口方向完全相同，且经过点
（1）求此抛物线解析式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
【来源】2020年上海市中考数学模拟试题
答案:（1）；（2）抛物线的顶点坐标是．
分析：
（1）由抛物线的形状和开口方向与相同，可得，然后把代入求解即可；
（2）把配方为求解即可.
【详解】
（1）抛物线的形状和开口方向与相同，
，
，
图象经过点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
（2），
即抛物线的顶点坐标是．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一般式与顶点式的转化，根据二次函数的图像与性质，待定系数法正确求出解析式是解答本题的关键.
31．已知二次函数的图像经过、、三点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求出图像的顶点坐标.
【来源】上海市普陀区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题
答案:（1）（2）（）
分析：
（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C三点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【详解】
（1）设一般式y=ax2+bx+c，
由题意得
，
，
∴；
（2）∵，
∴顶点坐标（）.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
32．已知二次函数的图像经过点．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标．
【来源】上海市长宁区天山初级中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题
答案:；开口向下；对称轴：直线；顶点坐标
分析：
将三个点坐标代入二次函数解析式，可求出a，b，c的值，得到解析式，再根据二次函数的性质判断开口方向，对称轴和顶点坐标.
【详解】
解：将代入二次函数解析式得，
解得
∴函数解析式为
∵
∴抛物线开口向下
对称轴为，
将x=-1代入解析式得y=9，所以顶点坐标为（-1,9）.
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，熟练掌握基本概念是解题的关键.
33．已知二次函数.
（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶点B坐标；
（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.
【来源】专题18 二次函数（一）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1），B（2，－5）；（2）6.
分析：
（1）利用配方法把将二次函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式，利用二次函数的性质即可得出答案；
（2）求出C点，A点坐标，则四边形OABC的面积可求出．
【详解】
解：（1），
该函数图象顶点B坐标为（2，-5）；
（2）如图，
令y=0，x=-1，
∴C（0，-1），
∵B（2，-5），
∴A（2，0），
∴四边形OABC的面积 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．
34．如图，抛物线与轴交于点和B，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；
（2）将抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点，联结，求的面积．
【来源】2020年上海市徐汇区九年级下学期数学二模试题
答案:（1）；，；（2）的面积为．
分析：
（1）将代入抛物线解析式即可求出，令即可求出点坐标，再将二次函数配成顶点式即可求算顶点坐标，；
（2）根据平移求出的坐标，再根据割补法求算面积．
【详解】
解：（1）将代入：
解得：
∴抛物线的表达式为
令即
解得：
∴
又∵
∴顶点坐标
（2）∵抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点，
∴抛物线向右平移一个单位
∴，
如图：连接 ,作轴，交延长线于
∴
∴的面积为5
【点睛】
本题考查二次函数的相关性质，掌握二次函数图象的性质以及相关点的求算、割补法求面积等是解题关键．
35．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
【来源】专题09函数之解答题《备战2020年中考真题分类汇编》（上海）
答案:（1）抛物线开口向上，顶点A的坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；（2）①“不动点”坐标为或；②新抛物线的表达式为：.
分析：
（1）根据二次项的系数大于零可得开口方向，再化成顶点式可得顶点坐标和坐标轴，从而可知其变化情况；
（2）①根据“不动点”的定义，设该“不动点”的坐标，代入抛物线的解析式求解即可；
②先根据梯形的性质和点A的坐标求出新顶点B的坐标，从而可知新抛物线是由原抛物线向左平移2个单位所得的，也就可得新抛物线的解析式.
【详解】
（1）化成顶点式为
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为，对称轴为
因此，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则
解得：或
故“不动点”坐标为或；
②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点
∴新抛物线的对称轴为，与x轴的交点
∵四边形OABC是梯形
∴直线在y轴左侧
∵BC与OA不平行
又∵点，点
，即顶点B坐标为
新抛物线是由抛物线向左平移2个单位得到的
故新抛物线的表达式为：.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象的平移、梯形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键，属于中考常考知识点.
36．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
【来源】考点11 函数综合问题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:（1）该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m的值是3；（2）△ABC的面积是3.
分析：
（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B、点A和点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到△ABC的面积．
【详解】
解：（1）由表格可知，
该函数有最小值，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，
即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m的值是3；
（2）由题意可得，
点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，
当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，
则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），
故△ABC的面积是：＝3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
37．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）的对称轴是直线x=1．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；
（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．
【来源】上海市静安区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
答案:（1）；（2）（-6，49）；（3）答案见解析.
分析：
（1）由对称轴为，即可求出b的值，然后代入即可；
（2）把代入解析式，求出m，利用抛物线的对称轴性质，即可得到点坐标；
（3）选取对称轴左右两边的几个整数，计算出函数值，然后画出抛物线即可.
【详解】
解：（1）∵对称轴为，
∴．
∴；
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点A（8，m）在该抛物线的图像上，
∴当x=8时，．
∴点A（8，49）．
∴ 点A（8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．
（3）列表，如下：
抛物线图像如下图：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和图像，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图像的画法.
38．已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+1的图象的对称轴是x=2，求此二次函数解析式．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:二次函数解析式为或
分析：
利用对称轴方程公式解出m值，再代入解析式中即可求解．
【详解】
∵ 图象的对称轴是x=2
∴ ，即，
解得：，，
经检验，，是所列分式方程的解，
分别将，代入y=(m2－2)x2－4mx+1中，解得：
此二次函数解析式为或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握对称轴方程公式是解答的关键．
39．已知：二次函数，当x＜-2时y随x的增大而减小；当x＞-2时，y随x的增大而增大，求当x=1时，y值．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:y值为25
分析：
因为当x≤-2时，y随x的增大而减小；当x≥-2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是x=-2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x=1，可求出y的值．
【详解】
解：∵当x≤-2时，y随x的增大而减小；当x≥-2时，y随x的增大而增大，
∴对称轴x=- =-2，
∴m=-16；
∴解析式是
当x=1时，y=4+16+5=25
【点睛】
本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键．
40．已知一个二次函数的图像经过点、、．
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点、在这个二次函数图像上，且，那么_____．（填“<”或者“>”）
【来源】上海市杨浦区2020-2021学年初三上学期数学一模
答案:（1），x=1；（2）<
分析：
（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；
（2）通过判断二次函数增减性可得出结果．
【详解】
解：（1）设二次函数的表达式为，
已知二次函数经过A、B、C三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，
，可得，
则这个函数的解析式为，
其对称轴为直线；
（2），抛物线开口向下，
对称轴为直线x=1，x<1时，y随x的增大而增大，
又本题，．
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了二次函数的基本性质，包括求解析式，求对称轴以及二次函数增减性，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
41．二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．
（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标；
（3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标．
【来源】2019年宁夏银川市第十五中学九年级下学期一模数学试题
答案:（1），（2）（3），，，
分析：
（1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得．在求点C的坐标时，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），显然，若△ABC是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求边长还是根据B点在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标．
（2）“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若“△ABM的面积等于△ABC的面积”，以AB为底边进行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是相同的，即CM∥AB，直线AB的解析式易求，两直线平行则斜率相同，再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵坐标即可得出结论．
（3）首先求出⊙C的半径，即CM的长．若⊙C与⊙N相切，就要分两种情况来考虑：①外切，CN长等于两圆的半径和；②内切，CN长等于两圆的半径差．
在明确CN长的情况下，在Rt△CAN中，通过勾股定理求出AN的长，进一步即可确定点N的坐标．
【详解】
解：（1）二次函数的图像的顶点，与轴的交点，
设直线的表达式为，
可求得，．所以直线的表达式为．
可得，∵，
∴．
在Rt△中，由勾股定理得：．
∴．点．
（2）∵点、都在第二象限，且△的面积等于△的面积，
∴∥．
设直线的表达式为，点在直线上，
可得．
∴直线的表达式为．
可得点的坐标：．
（3）由、M（-5，1）可得：
CM=
①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN=；
∴ON=AN+OA=+2
或ON=AN-OA=-2
即：点N的坐标为：（--2，0）（-2，0）．
②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2
或ON=OA-AN=2-3
即：点N的坐标为：（-3-2，0），（3-2，0）．
综上可知：点的坐标，，，．
0
1
3
4
5
0
1
1