沪教版九年级上册数学专题训练专题05待定系数法求二次函数解析式重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题05待定系数法求二次函数解析式重难点专练(原卷版+解析)，共88页。试卷主要包含了解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数的图像经过A(2，1)，B(-1，-2)求这个二次函数的解析式．
2．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知二次函数的图像的顶点坐标为（3，2），这个图像经过平移能与的图像重合，求这个二次函数的解析式．
3．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知二次函数图像经过下列点，求二次函数的解析式：
（1）（0，-1），（1，-1），（2，3）
（2）（0，0），（2，0），（-3，3）
4．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线顶点为（2，3），且经过（1，2）求二次函数解析式．
5．(2023·上海民办兰生复旦中学九年级月考）已知抛物线与轴交于点（-3，0）、（5，0），与y轴交于（0，1），求抛物线的函数解析式．
6．(2023·上海九年级专题练习）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
7．(2023·上海市民办文绮中学九年级期中）已知二次函数的图像经过点A(1，0)，与轴正半轴交于点，且的正切值为3．
（1）求次抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）将次抛物线向左右平移后经过原点，试确定抛物线平移的方向和平移的距离．
8．(2023·上海）在平面直角坐标系中，已知，点（3，0）、（－2，5）、（0，－3）．求经过点、、的抛物线的表达式．
9．(2023·上海九年级一模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．

（1）求点的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标（不必书写求解过程）．
10．(2023·上海九年级一模）我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．
已知一个二次函数的大致图像如图所示．
（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）
（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．
11．(2023·上海九年级专题练习）已知抛物线与轴交于点，它的顶点为，对称轴是直线．
（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移个单位，所得新抛物线经过原点，设新抛物线的顶点为，请判断的形状，并说明理由．
12．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，抛物线经过点．
（1）求点A的坐标；
（2）若抛物线向上平移两个单位后，经过点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线与 关于轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点与点，当时，求抛物线 的表达式．
13．(2023·上海九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；
（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．
14．(2023·上海九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；
（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．
15．(2023·上海九年级三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
16．(2023·上海九年级专题练习）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（5，0）、B（-3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；
（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO =∠BAO，求点P的坐标．
17．(2023·上海）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝43S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．（2017·上海徐汇区·九年级二模）如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．
（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．
19．(2023·上海）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(2023·安徽九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B （4，0）、D （5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求∠ADB的正切值；
（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．
21．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长；
（3）点是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结、，交线段于点，当时，求点的坐标．
22．(2023·上海九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线与轴正半轴交于点，求的面积；
（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标．
23．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，如图所示，点C在线段AB的延长线上，且AB＝2BC．
（1）用含字母m的代数式表示点C的坐标；
（2）抛物线ybx+10经过点A、C，求此抛物线的表达式；
（3）在位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P：使S△PAB＝2S△OBC，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，试说明理由．
24．(2023·上海九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；
（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．
25．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；
（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．
26．(2023·上海市民办新竹园中学九年级月考）下表中给出了变量x与ax2，ax2+bx+c之间的部分对应值(表格中的符号“…”表示该项数据已经丢失)
（1）写出这条抛物线的开口方向，顶点D的坐标；并说明它的变化情况；
（2）抛物线的顶点为D，与y轴的交点为A，点M是抛物线对称轴上的一点，直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B，当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求点B的坐标：
（3）在（2）的条件下，设线段BD交x轴于点C，试写出∠BAD与∠DCO的数量关系，并说明理由．
27．(2023·上海九年级一模）已知抛物线经过 ，两点，抛物线的对称轴与轴交于点，点 与点关于抛物线的对称轴对称，联结、．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点在线段上，当时，求点 的坐标；
（3）点在对称轴上，点在抛物线上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．
28．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
29．(2023·上海普陀区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
30．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移个单位，使得点落在线段上的点处，当时，求的值；
（3）联结，当时，求点的坐标．
31．(2023·上海中考真题）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
32．（2017·上海长宁区·）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；
（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值．
33．(2023·上海）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果，求tan∠DBC的值；
（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．
34．(2023·上海九年级二模）已知抛物线经过点，与轴交于点，点是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点是轴上一点，点是抛物线上一点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
二、填空题
35．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
-1
0
1
ax²
…
…
1
ax²+ bx + c
7
2
…
专题05待定系数法求二次函数解析式重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．二次函数的图像经过A(2，1)，B(-1，-2)求这个二次函数的解析式．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.2特殊的二次函数图像
答案:
分析：
利用待定系数法将A（２，１）、B（−1，−2）分别代入y＝ax2＋c，求出a，c的值即可．
【详解】
把A（2，1），B(-1，-2)分别代入y＝ax2＋c，
得，
解得，
∴解析式为
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据已知将A，B代入求出是解题关键．
2．已知二次函数的图像的顶点坐标为（3，2），这个图像经过平移能与的图像重合，求这个二次函数的解析式．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:二次函数的解析式是
分析：
根据经过平移后能与抛物线y=-6x2重合可知a=-6，再由二次函数的顶点坐标为（3，2）即可得出结论．
【详解】
解析：∵这个图像经过平移能与的图像重合
∴ ，
∵ 顶点坐标为（3，2）
∴这个二次函数的解析式是
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
3．已知二次函数图像经过下列点，求二次函数的解析式：
（1）（0，-1），（1，-1），（2，3）
（2）（0，0），（2，0），（-3，3）
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:（1）；（2）
分析：
（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法求解即可．
（2）设二次函数的解析式为，然后代入（-3，3）用待定系数法即可求得．
【详解】
解：(1)设
把点（1，-1），（2，3）代入解析式得，
，
解得，
∴解析式为
(2)设
把点（-3，3）代入解析式得，
，
解得，
∴解析式为
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．已知抛物线顶点为（2，3），且经过（1，2）求二次函数解析式．
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:二次函数解析式为
分析：
因为抛物线的顶点坐标为（2，3），所以设此二次函数的解析式为y=a（x-2）2+3，把点（1，2）代入解析式即可解答．
【详解】
解：已知抛物线的顶点坐标为（2，3），
设，
把点（1，2）代入解析式，得：
，
解得，
∴二次函数解析式为
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
5．已知抛物线与轴交于点（-3，0）、（5，0），与y轴交于（0，1），求抛物线的函数解析式．
【来源】上海市兰生复旦2018-2019学年九年级上学期 9月月考数学试题
答案:．
分析：
将抛物线解析式设为交点式，再将(0,1)代入函数解析式，求出未知参数a的值即可．
【详解】
解：设抛物线解析式为，
把(0,1)代入解析式得：，
解得：，
抛物线的函数解析式为：，
即．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式的方法，本题关键在于根据已知的与x轴的交点坐标将函数解析式设为交点式求解．
6．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
【来源】专题3.5 二次函数-备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
答案:y=-x2+x+6，对称轴方程为直线x=，顶点坐标为（，）．
分析：
把点（0，6）代入求出c，把点（-1，4）和（1，6）代入得出，求出a、b，再利用x=-得出抛物线的对称轴方程，代入二次函数的表达式，即可求出答案．
【详解】
解：（1）由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x=，
∵当x=时，y=，
∴抛物线的顶点坐标为（，）；
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数的解析式的应用，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
7．已知二次函数的图像经过点A(1，0)，与轴正半轴交于点，且的正切值为3．
（1）求次抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）将次抛物线向左右平移后经过原点，试确定抛物线平移的方向和平移的距离．
【来源】上海市上海市民办文绮中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
答案:（1），顶点坐标；（2）向左平移1个单位或向左平移3个单位
分析：
（1）根据的正切值求出OB的长，得到点B的坐标，再用待定系数法求出解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，就可以得到如何左右平移经过原点．
【详解】
解：（1）∵，
∴，即，
把点B和点A的坐标代入解析式，得，解得，
∴，
∴顶点坐标是；
（2）令，则，解得，，
∴抛物线与x轴交于点和点，
则向左平移1个单位或向左平移3个单位，图象会经过原点．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数解析式的求解方法和函数图象平移的方法，还需要掌握锐角三角函数的知识．
8．在平面直角坐标系中，已知，点（3，0）、（－2，5）、（0，－3）．求经过点、、的抛物线的表达式．
【来源】第三章 函数与分析（3）（用待定系数法求函数的解析式）-备战2021年中考数学考点 核心考点清单 （上海专用）
答案:
分析：
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，再把三个已知点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可得到二次函数的解析式．
【详解】
解：设经过点、、的抛物线的表达式为．
则，解得：．
∴经过点、、的抛物线的表达式为．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
9．如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．

（1）求点的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标（不必书写求解过程）．
【来源】上海市崇明区2020-2021学年九年级第一学期教学质量调研数学测试卷（一模）
答案:（1），；（2）在抛物线上，理由见解析；（3）存在； 或或或
分析：
（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B的坐标，用待定系数法求得函数解析式．
（2）求出直线BC的解析式，计算得出线段PQ的长度，过作平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，根据旋转角度解直角三角形，得出的坐标，将的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案．
（3）根据勾股定理可得出是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M的坐标．
【详解】
解：（1）∵A、B是关于直线轴对称图形的两点，点的坐标为，
∴点B的横坐标为，
∴点B的坐标为；
将A、B两点坐标值代入可列方程组：
解得
∴抛物线的表达式为：．
（2）∵点P为抛物线顶点，直线为抛物线的对称轴，
∴点P的横坐标为-1，纵坐标为，
∴点P的坐标为，
直线BC的解析式为，将B、C的值代入可列方程：
解得
∵BC与对称轴交于点Q，
∴当，，
∴点Q的坐标为，
，
∵是点P绕点Q顺时针旋转120°得到的，
∴，
过作平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，如图：
∵在中，，，
∴，，
∴点横坐标为点D横坐标加，即：，
点纵坐标为点Q纵坐标减，即：，
将的横坐标值代入，
，
∴的坐标符合抛物线表达式，
∴在抛物线上．
（3）∵，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，，，，
∵M是x轴上一点，，
若，则，
∴，
此时，点M坐标为或，
若，则，
∴，
此时，点M坐标为或，
∴综上，点M存在，点坐标为 或或或．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．
10．我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．
已知一个二次函数的大致图像如图所示．
（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）
（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．
【来源】上海市嘉定区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（一模）
答案:（1）对称轴为直线；顶点坐标为；开口向下；当时，y随x增大而增大；（2）不可以；补充条件，
分析：
（1）观察函数图像顶点，对称轴，由对称轴分开增减区间；
（2）只有顶点，条件不足，不能求出解析式，可以给出除顶点外的一点坐标即可如添加“C（0，2）”设出顶点式，然后把C点坐标代入即可．
【详解】
（1）对称轴：直线，最高点/顶点，
开口方向：向下，
当时，y随x增大而增大，
当时，y随x增大而减小；
（2）不可以，加上“”，
设，
代入得，
∴．
【点睛】
本题考查数形结合的问题，仔细观察图像，找出发现的信息，掌握求抛物线解析式需三个独立的条件是解题关键．
11．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为，对称轴是直线．
（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移个单位，所得新抛物线经过原点，设新抛物线的顶点为，请判断的形状，并说明理由．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1），；（2）△MON是等腰直角三角形．
分析：
（1）根据对称轴是直线，可求b，再代入点C，可求抛物线解析式，把，代入解析式，可求M点坐标；
（2）由原抛物线与y轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出MO、ON、MN的长，可判断三角形形状．
【详解】
解：（1）∵抛物线对称轴是直线，
∴，
解得b=2，
把代入得，
，
∴抛物线解析式为：；
把代入得，
，
，
点M的坐标为：．
（2）抛物线与y轴交点为，向下平移个单位后经过原点，
∴m=2，
新抛物线的顶点N的坐标为：，
∴，
，
MN=2，
∴，
∴△MON是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和函数的平移以及勾股定理逆定理，灵活运用已知条件，准确把握函数图象平移特征，根据三边长判断三角形形状是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，抛物线经过点．
（1）求点A的坐标；
（2）若抛物线向上平移两个单位后，经过点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线与 关于轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点与点，当时，求抛物线 的表达式．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）点的坐标为；（2）；（3）
分析：
（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；
（2）由抛物线经过点A可得出b=-4a，由平移的性质可得出答案；
（3）求出顶点P的坐标为（2，-4a-1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．
【详解】
解：（1）∵直线与直线相交于点A，
∴，
解得：；
∴点A的坐标为（4，-1）．
（2）∵抛物线y=ax2+bx-1（a≠0）经过点A（4，-1），
∴16a+4b-1=-1，
即b=-4a，
∴y=ax2-4ax-1，
∴平移后的抛物线的表达式是y=ax2-4ax+1，
∴-2=a-4a+1，
解得：a=1，
∴抛物线y=ax2+bx-1的表达式是：y=x2-4x-1．
（3）如图，
∵y=ax2-4ax-1=a（x-2）2-4a-1，
∴P（2，-4a-1），
∵抛物线y=a'x2+b'x+c（a'＜0）与y=ax2-4ax-1关于x轴对称，
∴P'（2，4a+1），
∵a'＜0，
∴a＞0，
∴P'P=8a+2，
又∵OD=2，S△OPP'=×OD×PP'，
∴×2×(8a+2)＝3，
解得：a=，
∴抛物线y=ax2+bx-1的表达式是．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与二元一次方程组的关系以及求函数解析式，其中灵活应用二次函数的性质成为解答本题的关键．
13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；
（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．
【来源】上海市宝山区2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
答案:（1），；（2）；（3）
分析：
（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；
（2）求出E点坐标，画出图形，过作轴交于 由三角形面积公式可得出答案；
（3）由点的坐标得出∠ABC=∠OCD=45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC=∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC=∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点A（-2，0），B（1，0）和D（-3，n），
∴， 解得：，
∴抛物线解析式为：；
∴
∴D（-3，2）；
（2）
令 则

∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处， ，
∴E（-2，3），
过作轴交于
设为 则
则为

∴
（3）如图，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵A（-2，0），B（1，0），C（-1，0），D（-3，2），
∴OB=OC，DE=CE=3，AB=3，，
∴∠ABC=∠OCD=45°，
∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，
∴分两种情况讨论：
①如图，当∠BAC=∠CDP时，△DCP∽△ABC，
∴ ，
∴，
∴PC=2， 经检验：符合题意，
∴P（0，1），
②如图，当∠BAC=∠DPC时，△PCD∽△ABC，
∴，
∴ ，
∴PC=9， 经检验：符合题意，
∴P（0，8）．
∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．
【点睛】
本题二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；
（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．
【来源】2021年上海市奉贤区九年级下学期数学二模试题
答案:（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．
分析：
（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；
（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；
（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．
【详解】
解：（1）∵B（0，2），
∴OB＝2，
∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，
∴A（4，0），
∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
（2）设直线AB的解析式是y＝mx＋n，
将A（4，0），B（0，2）代入得：
，解得，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x＋2，
∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），
∴C′（1＋m，﹣），
∵C′（1＋m，﹣）在直线AB上，
∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，
∴m＝4；
（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，
∴B′（4，2），
∵A（4，0），
∴直线AB′为x＝4，
点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：
①F在A上方，如图：
过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，
∵B（0，2），A（4，0），
∴tan∠BAO＝，
∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，
∴tan∠ACF＝，即，
而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，
∴△MCG∽△HGA，
∴，
∴MC＝GH，MG＝2AH，
设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，
∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，
解得m＝2.8，n＝0.9，
∴G（2.8，0.9），
又C，
∴直线GC解析式为：y＝x﹣，
令x＝4得y＝
∴F（4，），
②F在A下方，
延长AC交y轴于D，过C作CF//x轴交直线x＝4于F，
∵A（4，0），C（1，﹣1.5），
∴直线AC解析式为y＝x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∵B（0，2），
∴B，D关于x轴对称，
∴∠BAO＝∠DAO，
若∠ACF＝∠BAO，
则∠ACF＝∠DAO，
∴CF//x轴，
∴F
综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为或或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
【来源】2021年上海市宝山区中考数学三模试题
答案:（1）；（，3）；（2）；（3）（， ）或（，）
分析：
（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，进而求得CD，从而求得；
（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
【详解】
解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB=2
∴
∴A（，0）．
∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，
∴．
解得，．
∴二次函数的解析式为．
∴
∴顶点C的坐标是（，3）．
（2）∵DE是二次函数的图象的对称轴，
∴DE∥AB，OE＝AE．
∴．
∵AB=2，OE＝OA=
∴DE＝1．
又∵C（，3），
∴CE＝3．
即得CD＝2．
∴．
（3）根据题意，可设P（，n）．
∵，CE＝3，
∴．
∴．
解得,．
∴点P的坐标为（， ）或（，）
【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，对称轴，面积公式，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
16．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（5，0）、B（-3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；
（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO =∠BAO，求点P的坐标．
【来源】专题09 函数之解答题《备战2020年中考真题分类汇编》（上海）
答案:（1）；（2）；（3）点P的坐标为（，）.
解析：
分析：
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；
（2）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，进而可得出点D的坐标，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，由点B，D的坐标可得出CD，BC的长度，结合余切的定义可求出∠BDO的余切值；
（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出ct∠∠BAC＝2，结合∠PAO＝∠BAO可得出m﹣2n＝5①，由BC⊥x轴，PQ⊥x轴可得出BC∥PQ，进而可得出4m＝﹣3n②，联立①②可得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵ 抛物线经过点A（5，0）、B（-3，4），
∴
解得
∴ 所求抛物线的表达式为．
（2）由，得抛物线的对称轴为直线．
∴ 点D（，0）．
过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．
由A（5，0）、B（-3，4），得 BC = 4，OC = 3，．
∴ ．
（3）设点P（m，n）．
过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．则 PQ = -n，OQ = m，AQ = 5 – m．
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∴ ．
∵ ∠PAO =∠BAO，∴ ．
即得 ． ①
由 BC⊥x轴，PQ⊥x轴，得 ∠BCO =∠PQA = 90°．
∴ BC // PQ．
∴ ，即得 ．∴ 4 m = - 3 n． ②
由 ①、②解得 ，．
∴ 点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．
17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝43S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【来源】【市级联考】上海市2019届九年级中考第三次诊断性检测数学测试题
答案:（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为10049或1316或134．
解析：
分析：
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
a−b+c＝09a+3b+c＝00+0+c＝3, 解得：a＝−1b＝2c＝3，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=12OC•xG=12×3×1=32，
∴S△CGE=43S△CGO=43×32=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4 得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=12EF•GH-12EF•OC=12EF•（GH-OC）=12（m+3）•（4-3）=m+32，
∴m+32=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，
即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），
∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−2449，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=10049，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=−316，
∴t=AP=e-（-1）=−316+1＝1316，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），
解得：e=−316，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=134，
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为10049或1316或134．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．
（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．
【来源】2017年上海市徐汇区中考数学二模试题
答案:（1）①；②；（2）不变化，值为8，理由见解析
分析：
（1）先将已知点B坐标代入解析式求出a，再根据△ABD的面积，求出D的纵坐标，将其代入抛物线求出D点坐标，根据∠MDO=∠BOD分两种情况讨论，并求出M坐标
（2）设出点D的坐标，利用平行线分线段成比例定理表示出OE、OF求和即可得出结论
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），
∴A（﹣2，0），4a+4＝0，
∴a＝﹣1，AB＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，
①设D（m，﹣m2+4），
∵△ABD的面积为4，
∴
∴，
∵点D在第一象限，
∴，
∴，
②如图1，点M在OD上方时，
∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，
∴，当M在OD下方时，
设DM交x轴于G，设G（n，0），
∴OG＝n，
∵，
∴，
∵∠MDO＝∠BOD，
∴OG＝DG，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线DG的解析式为①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4②，
联立①②得， ，此时交点刚好是D点，
所以在OD下方不存在点M．
（2）OE+OF的值不发生变化，
理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，
∴OF∥DH，
∴，
设D（b，﹣b2+4），
∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，
∵OA＝2，
∴，
∴，
同理：OE＝2（2+b），
∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．
【点睛】
本题（1）的关键是求出抛物线解析式，难点是分情况求出点M的坐标，（2）的关键是做出辅助线
19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1） （2）点P的坐标；（3）M
分析：
（1）待定系数法即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得M在对称轴上，根据两点之间线段最短，可得M点在线段AB上，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，5）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【详解】
（1）由得，
把代入，
得，
，
抛物线的解析式为；
（2）连接AB与对称轴直线x=1的交点即为P点的坐标（对称取最值），
设直线AB的解析式为,
将A（2，-3），B（-1，0）代入，得y=-x-1，
将x=1代入，得x=-2，
所以点P的坐标为（1，-2）；
（3）设M（）
①以AB为边，则AB∥MN，如图2，
过M作对称轴y于E，AF轴于F，
则
或,
或
∥AM，
如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
综上所述，存在以点ABMN为顶点的四边形是平行四边形，
或或
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B （4，0）、D （5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求∠ADB的正切值；
（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．
【来源】2020年安徽省豪州涡阳县九年级第二次调研模拟数学试题
答案:（1）y＝x2﹣6x+8；（2）；（3）P（11，9）或（4，2）．
分析：
（1）先根据的面积求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先根据的坐标求出的值，再过点B作于E，可求出的值，从而可得的正切值；
（3）根据的坐标分别求出直线的解析式，再分和两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质得出对应角相等，然后利用平行线的性质和解直角三角形求解即可.
【详解】
（1）设
，AB边上的高为3
则由的面积是3可得：
解得
设抛物线解析式为
将代入得：，解得
故该抛物线的表达式为；
（2）如图1，过点D作轴于点F
则
过点B作于E
在等腰中，
则
故的正切值为；
（3）如图2，设直线AD解析式为
将代入得，解得
则直线AD解析式为
同理，由可得直线BD解析式为
由可得直线CD解析式为
当时，，解得
①若，则
则可设PE所在直线解析式为
将点代入得，解得
则直线PE解析式为
由，解得
故此时点
②若，则
过点P作于点G
由直线AD的解析式可设P的坐标为
则
，解得
综上，点P的坐标为或.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式、解直角三角形、相似三角形的性质等知识点，读懂题意，根据已求出的函数解析式画出图象是解题关键，属于中考压轴题.
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长；
（3）点是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结、，交线段于点，当时，求点的坐标．
【来源】重难点04 二次函数综合题-2021年中考数学【热点�重点�难点】专练（上海专用）
答案:（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．
分析：
（1）根据抛物线与轴交于点可得出c的值，然后由对称轴是直线可得出b的值，从而可求出抛物线的解析式；
（2）令y=0得出关于x的一元二次方程，求出x，可得出点A、B的坐标，从而得到AB的长，再求出MN的长，根据抛物线的对称性求出点M的横坐标，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，再根据点的对称可求出OE的长；
（3）过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，先证明△EGF∽△EQP，可得，设点F的坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P点的坐标，根据P在抛物线的图象上，可得关于a的方程，把a的值代入P点坐标，可得答案．
【详解】
解：（1）将点C（0，3）代入得c=3，
又抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，解得b=2，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）如图，
令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴点A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，
∵，∴MN=×4=3，
根据二次函数的对称性，点M的横坐标为，
代入二次函数表达式得，y=，
∴点M的坐标为，
又点C的坐标为（0，3），点C与点E关于直线MN对称，
∴CE=2×（3-）=，
∴OE=OC-CE=；
（3）如图，过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设点F的坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG=-a+3-=-a+．
∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，
∴．
∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．
∴，
∴EQ=EG=a，PQ=FG=（-a+）=-a+，
∴xP=a，yP=-a++=-a+，即点P的坐标为（a，-a+），
又点P在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴-a+=-a2+3a+3，化简得9a2-18a+5=0，
解得a=或a=，符合题意，
∴点P的坐标为（，）或（，)．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及解一元二次方程等知识，综合运用相关性质是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线与轴正半轴交于点，求的面积；
（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标．
【来源】2020年上海市长宁区九年级下学数学二模试题
答案:（1）抛物线的表达式为，
（2）
（3）
分析：
（1）由题意知二次函数对称轴x=-，点，对称轴是直线，抛物线的表达式为，代入顶点公式即可求出；
（2）根据题意分别找到B，C，D三点求三角形面积即可；
（3）根据平行线分线段成比例，组图利用平行线来求P点坐标．
【详解】
（1）根据二次函数，对称轴x=-，
系数a=1，b=m，c=n，
又∵点，对称轴是直线，代入得：
x=-=--=1，-2=4+2m+n，
则m=-2，n=-2，
∴函数解析式为；
顶点坐标为，代入a=1，b=-2，c=-2得：
顶点；
（2）由平移知识知平移后解析式为：，
则与x正半轴交点为y=0，带入函数式求得x=3，
即D（3，0），
根据求得坐标作图，作BM⊥x轴，
则=+-，
∴=+ - ，
代入数值解得：=，
即的面积为；
（3）
作OP平行于AB交抛物线于点P，由题意设P(x，)，
∵，
∴AB：OP=1：5，
由点，，
得：AB=，
∴OP=5AB=5，
OP= ，
∴=5，
解得：x=4，或x=-3，
∵P 在对称轴右侧，
∴x>0，
∴x=4，
把x=4代入原函数表达式得：y=6；
∴P点坐标为P(4，6)．
【点睛】
本题属于二次函数类综合题，知识面覆盖较广泛，难度较大，同时考查作图及利用数形结合求解的能力．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，如图所示，点C在线段AB的延长线上，且AB＝2BC．
（1）用含字母m的代数式表示点C的坐标；
（2）抛物线ybx+10经过点A、C，求此抛物线的表达式；
（3）在位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P：使S△PAB＝2S△OBC，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，试说明理由．
【来源】专题09 函数之解答题《备战2020年中考真题分类汇编》（上海）
答案:（1）C（﹣3m，6m）；（2）yx+10；（3）P坐标为（，）．
分析：
（1）如图（见解析），过点C作轴交于点H，先由可求出OA和OB的长，再由相似三角形的判定定理得，最后利用相似三角形的性质求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）如图（见解析），设点P的坐标为，由点B和P的坐标求出直线BP的解析式，先根据点G在直线BP上可得其坐标，再结合面积等式可得一个s，t的等式，又由点P在抛物线上可得另一个s，t的等式，两者联立求解即可.
【详解】
（1），令，则；令，则
即点A、B的坐标分别为、，
由题意可知，点C在第二象限
如图，过点C作轴交于点H，设点C的坐标为
则
，即
解得
故点C的坐标为；
（2）将代入函数表达式得：
解得：或（不符题意，舍去）
故抛物线的表达式为：；
（3）由题（2）知，，则点A、B的坐标为、
如图，连接AP、BP，过点A作轴交BP于点G
设点P坐标为，则
再设直线BP的表达式为
将点B、P代入得，解得
则直线BP的表达式为
由此可得，点G的坐标为
联立①②解得：或（负值不符题意，舍去）
故点P坐标为.
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、相似三角形的判定定理与性质、利用待定系数法求二次函数的解析式，较难的题（3），求出直线BP的解析式，从而用s，t表示的面积是解题关键.
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；
（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．
【来源】2021年上海市浦东新区中考数学调研试卷（4月份）
答案:（1）y＝x2﹣2x，顶点C的坐标是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）
分析：
（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；
（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．
【详解】
（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），
得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，
∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．
（2）∵直线与x轴交于点B，
∴点B的坐标是（4，0）．
①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，
此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．
②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，
此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．
（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．
∵DP∥x轴，
∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴P（2，n）．
∵点P在直线BC上，
∴．
∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．
∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．
∴MC∥OB，
∴∠MCP＝∠OBC．
在Rt△OBC中，，
由题意得：OC＝2，，
∴．
即∠MCP的正弦值是．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，三角函数的定义等，正确求得平移后的解析式是解题的关键．
25．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；
（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．
【来源】热点06 二次函数综合题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第2步大题夺高分
答案:（1）；（2）；（3）或3﹣6
分析：
（1）把和点代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；
（2）如图1，根据对称的性质得，可得，设，则，在中，根据勾股定理得，列方程可得结论；
（3）分两种情况：先说明是直角三角形，所以也是直角三角形，根据，画图，由勾股定理列方程可解答．
【详解】
解：（1）抛物线过点和点，
，
解得，
；
（2）如图1，连接，，
点关于直线的对称点，
，
与轴交于点，与轴交于点，
，
，
点，
设直线与轴交于点，则，
设，则，
在中，，
，
，
直线的截距为；
（3）点是轴正半轴上一点，
是直角三角形，且
当与全等时，存在两种情况：
①如图2，当，，
，
，，
，
，
由（2）知：，
，
中，，
，
解得：或（舍，
点的纵坐标是；
②如图3，当，，
，，
中，，
，，
中，由勾股定理得：，
，
解得：，
点的纵坐标是；
综上，点的纵坐标是或．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，对称的性质：对称轴是对称点连接的垂直平分线，三角形全等的性质和判定，当三角形全等不确定边的对应关系时，先确定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等条件，再进一步分情况讨论．
26．下表中给出了变量x与ax2，ax2+bx+c之间的部分对应值(表格中的符号“…”表示该项数据已经丢失)
（1）写出这条抛物线的开口方向，顶点D的坐标；并说明它的变化情况；
（2）抛物线的顶点为D，与y轴的交点为A，点M是抛物线对称轴上的一点，直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B，当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求点B的坐标：
（3）在（2）的条件下，设线段BD交x轴于点C，试写出∠BAD与∠DCO的数量关系，并说明理由．
【来源】上海市新竹园中学2019-2020学年九上学期9月月考数学试题
答案:（1），开口向上，,变化情况见解析；（2）；（3），理由见解析
分析：
（1）根据（1，1）在抛物线y=ax2上可求出a值，再由（-1，7）、（0，2）在抛物线y=x2+bx+c上可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）根据△ADM和△BDM同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点B的横坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、D的坐标，过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，根据点B、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标，利用两点间的距离公式可求出BA、BD、BN的长度，由三者间的关系结合∠ABD=∠NBA，可证出△ABD∽△NBA，根据相似三角形的性质可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°．
【详解】
解：（1）当x=1时，y=ax2=1，
解得：a=1；
将（-1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为或，
∴该抛物线的开口向上，顶点D（2，-2），
变化情况：在对称轴 的左边y随x的增大而减小，再对称轴的右边y随x的增大而增大；
（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM与△BDM的面积比为2：3，
∴点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2：3．
∵抛物线的对称轴为直线x=2，点A的横坐标为0，
∴点B到抛物线对称轴的距离为3，
∴点B的横坐标为3+2=5，
∴点B的坐标为（5，7）．
（3）∠BAD+∠DCO=180°，理由如下：
当x=0时，，
∴点A的坐标为（0，2），
∵，
∴点D的坐标为（2，-2）．
过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，如图所示．
设直线BD的表达式为y=mx+n（m≠0），
将B（5，7）、D（2，-2）代入y=mx+n，
得到： ，
解得： ，
∴直线BD的表达式为y=3x-8．
当y=2时，有3x-8=2，
解得： ，
∵A（0，2），B（5，7），D（2，-2），
∴ ，
∴ ，
又∵∠ABD=∠NBA，
∴△ABD∽△NBA，
∴∠ANB=∠DAB．
∵∠ANB+∠AND=180°，
∴∠DAB+∠DCO=180°．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）根据同底三角形的面积比等于高的比找出点B的横坐标；（3）构造相似三角形，找出∠BAD和∠DCO互补关系；
27．已知抛物线经过 ，两点，抛物线的对称轴与轴交于点，点 与点关于抛物线的对称轴对称，联结、．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点在线段上，当时，求点 的坐标；
（3）点在对称轴上，点在抛物线上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．
【来源】上海市宝山区2020-2021学年九年级上学期期末（一模）数学试题
答案:（1），对称轴为；（2）；（3）当为边时，；当为对角线时，．
分析：
（1）将，代入抛物线，求解即可；
（2）过点作轴叫轴与点，过点作轴叫轴与点，根据点坐标是，对称轴为，易得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，求出，根据，点与点关于抛物线的对称轴对称，可证得，，则，有，可得，即可得，据此求解即可；
（3）分两种情况讨论：当为对角线时，当为边时，分别求出点坐标，然后求解即可．
【详解】
解：（1）将，代入抛物线 ，
得：，解之得： ，
∴该抛物线的表达式是，
∵，
∴对称轴为；
（2）如图示：过点作轴叫轴与点，过点作 轴叫轴与点，
∵点坐标是，对称轴为，
∴，
∴是等腰直角三角形，则也是等腰直角三角形，
∴,
∵,
,
∴,
∵点与点关于抛物线的对称轴对称，则点坐标是，
∴
∴
∴
∴,
∵,,
∴，即有，
∴,
∵是等腰直角三角形，
∴
∴
即点的坐标是；
（3）∵
①当是平行四边形的边长时，如图2所示，
则必定在轴的上方，并有，
∵点在对称轴上，
∴点的横坐标是6或-2，
又∵点在抛物线上，
∴当时，，
∴平行四边形的面积；
当时，，
同理可得平行四边形的面积；
②当是平行四边形的对角线时，如图3所示，
∵点在对称轴上，并
∴点也在对称轴上，
∴当时，，
∴
∴平行四边形的面积．
综上所述，平行四边形的面积为或．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数坐标轴上的点，三角形的相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；
（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．
【来源】专题18 二次函数（一）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）C（2，3）
分析：
（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，利用平行证明△ADG∽△ABO，列比例式可以计算OG和DG的长，从而得D（1，），最后由平移的性质可得m的值；
（3）如图2，作辅助线，构建等腰△ABF，确定点F的坐标，计算BF的解析式，联立抛物线和BF的解析式，方程组的一个解就是点C的坐标．
【详解】
解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG∥OB，
∴△ADG∽△ABO，
∴，
∵AD＝3BD，
∴AG＝3OG，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴OG＝1，DG＝，
∵D（1，），
由平移得：点C的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，
∴m＝3﹣＝；
（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，
∴点C在AB的上方，
如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，
∴BE∥OA，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，
∴∠FBE＝∠ABE，
∵∠BEF＝∠AEB＝90°，
∴∠F＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∴AE＝EF＝OB＝2，
∴F（4，4），
设BF的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴BF的解析式为：y＝x+2，
∴，
解得或，
∴C（2，3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，包括二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；解题关键是会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题．
29．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
【来源】2021年上海市普陀区中考数学二模试题
答案:（1），直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）；（3）
分析：
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；
（3）过点D作DF∥AB交BC于点F，由相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝-2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，
则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；
（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，
∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝=，
∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE＝，
∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，
∴EH＝HC＝，
∴OH＝，
∴点E（，﹣）；
（3）∵点D的横坐标为d，
∴点D（d，﹣2d﹣6），（0＜d＜6），
如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴．
∵点F在直线BC上，
∴点F（﹣2d，﹣2d﹣6），
∴DF＝3d﹣，
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，用函数的解析式表示点的坐标，三角形的相似，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法，灵活运用三角形相似的判定定理是解题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在该抛物线上且在第一象限．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移个单位，使得点落在线段上的点处，当时，求的值；
（3）联结，当时，求点的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）把A、B两点坐标代入解析式，解二元一次方程求出b、c即可；
（2）根据，求出点D的坐标，把横坐标代入解析式，求出C点纵坐标，求差即可；
（3）延长CB交x轴于点F因为，所以，BA=BF可求F坐标（-4，0），求出BC析式，再求它与抛物线交点即可．
解：（1）把、代入得
，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）抛物线向下平移时，C点所在直线交x轴于点E，
由题意可得：DE⊥x
∴DE∥OB，
∴△ADE∽△ABO，
∴，
∵
∴
，
，
把x=3代入得
，
，
∴m=；
（3）∵点C在第一象限，连接CB并延长，交x轴于点F，
，，
∴∠BAO=∠BFO，
∴BA=BF，
∴F点于A点关于y轴对称，
∴F点的坐标为F（-4，0），
由B（0，2）易求BC解析式为：，
与抛物线解析式联立方程组，
，
解得或，，
．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题．
31．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【来源】上海市2021年中考数学真题
答案:（1）；（2）①1；②点C的坐标是
分析：
(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】
解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】
本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
32．已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；
（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值．
【来源】2017年上海市长宁区金山区九年级下学期二模数学试题
答案:（1）A点坐标为，B点坐标为（6，0）；（2）；（3）m的值为或
分析：
（1）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，再根据锐角三角函数，可得OC，根据点的坐标，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形，可得E点坐标，再根据待定系数法，可得答案；
（3）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理求得OE的长，根据点的坐标，可得N点坐标，根据点的左右平移，可得点P坐标.
【详解】
（1）如图1，
作 AC⊥OB于C点，
由OB＝OA＝6，得B点坐标为（6，0），
由OB＝OA＝6，∠AOB＝30°，得
，
∴A点坐标为；
（2）如图2，
由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得
，
即E点坐标为（3，﹣3）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣3，将B点坐标代入，解得，
抛物线的解析式为
化简得；
（3）如图3，
PN＝2， ，PC＝1，
∠CNP＝∠AOB＝30°，
NP∥OB，
NE＝2，得ON＝4，
由勾股定理，得
，即．
N向右平移2个单位得，
N向左平移2个单位，得，
m的值为或．
【点睛】
本题为二次函数综合题，难度较大，考点涉及含30°角的直角三角形、锐角三角形函数、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理等知识点，熟练掌握各个知识点是解题关键.
33．在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数（其中a、b、c是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果，求tan∠DBC的值；
（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）；（3）E（2，）
分析：
（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；
（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.
【详解】
解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，
解得，
∴此抛物线的表达式是：．
（2）过点D作DH⊥BC于H，
在△ABC中，设AC边上的高为h，则，
又∵DH//y轴，
∴．
∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴．
∴．
∴tan∠DBC=.
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，
∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，
∵∠BAC=∠FAC，
∴∠OAB=∠OFA．
∴△OAB∽△OFA，
∴．
∴OF=9，即F（9，0）；
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），
可得 ，解得，
∴直线AF的解析式为：，
将x=2代入直线AF的解析式得：，
∴E（2，）.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.
34．已知抛物线经过点，与轴交于点，点是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点是轴上一点，点是抛物线上一点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【来源】2020年上海市崇明区九年级中考二模数学试题
答案:（1），对称轴为直线； （2）；（3）点的坐标为或或或．
分析：
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；
（2）连接，求出C点坐标，根据A、B、C点坐标求出，设，
根据，列出关于x的方程，解方程即可求出D点坐标；
（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF=AE=1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．
【详解】
（1）∵经过点，
，
，
∴抛物线的解析式为，
对称轴为直线．
（2）连接，
∵抛物线经过点，
，
，
，
又，
，
，
，
设，
∵点在第四象限，
，
=
=，
，
，
，
．
（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，

∵DF∥AE，D（2，-6）
∴F（1，-6），
∴DF=1，
∴AE=1，
∴E（0，0），或E′（-2，0）．
如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，

∵点D与点F到x轴的距离相等，
∴点F的纵坐标为6，
当y=6时，6=x2-3x-4，
解得x=-2或5，
∴F（-2，6）或（5，6），
设E（n，0），则有或，
解得n=1或8，
∴E（1，0）或（8，0），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（-2，0）．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
二、填空题
35．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
【来源】2021年上海市崇明区中考数学二模试题
答案:
分析：
根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．
【详解】
解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，
∴，
解得，
∴a+b+c2+4，
故答案为．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
-1
0
1
ax²
…
…
1
ax²+ bx + c
7
2
…