沪教版九年级上册数学专题训练专题08证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题08证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A．B．C．相似比为D．相似比为
2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
4．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( )
A．B．C．D．
5．已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )
A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2
7．小李家承包了两块三角形土地和△A´B´C´，已知，且的面积为，则△A´B´C´的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( )
A．m∶n＝a∶bB．m∶n＝b∶aC．a∶b＝n∶mD．a∶m＝n∶b
9．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）
A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍
10．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是( )
A．BC2＝BD•ABB．CD2＝BD•AD
C．AC2＝AD•ABD．BC•AD＝AC•BD
11．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（ ）
A．位似中心是点B，相似比是2：1B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
12．如图，在中，，，，则边的长等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
13．如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为( )
A．5.6米B．6米C．6.1米D．6.2米
15．两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为 ( )
A．1：3B．1：9C．D．2：3
第II卷（非选择题）
二、填空题
16．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为______.
17．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
20．如图，在中，若，，，则的长为______.
21．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中：
①；
②∽；
③∽；
④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______．
22．如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________.
23．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.
24．已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为_____.
25．如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为____________．
26．已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为，那么的面积为________．
27．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝4，则圆心O到AC的距离是____.
28．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使得AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，则AE=_____．
29．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝________°，∠B′＝________°.
30．如图，，，，，则________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cs ∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
33．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
34．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
35．如图，已知∽，且、是角平分线，、是中线．求证：∽．
36．如图，已知梯形中，，对角线、交于．已知，．求： ．
37．如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，村庄A到公路l的距离AC=1km，村庄B到公路l的距离BD=2km，公路上两点C，D之间相距4km.
（1）试求出A，B两村之间的距离.
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹），并求出此站点P到点D的距离.
38．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
39．如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．
40．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）x为何值时，PQ∥BC；
（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；

41．在□ABCD中，∠ABC的外角∠ABG的平分线BE分别交DA，CA的延长线于点F、E．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求的值．
42．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.
43．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
44．如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
专题08 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A．B．C．相似比为D．相似比为
2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
4．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( )
A．B．C．D．
5．已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )
A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2
7．小李家承包了两块三角形土地和△A´B´C´，已知，且的面积为，则△A´B´C´的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( )
A．m∶n＝a∶bB．m∶n＝b∶aC．a∶b＝n∶mD．a∶m＝n∶b
9．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）
A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍
10．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是( )
A．BC2＝BD•ABB．CD2＝BD•AD
C．AC2＝AD•ABD．BC•AD＝AC•BD
11．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（ ）
A．位似中心是点B，相似比是2：1B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
12．如图，在中，，，，则边的长等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
13．如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为( )
A．5.6米B．6米C．6.1米D．6.2米
15．两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为 ( )
A．1：3B．1：9C．D．2：3
第II卷（非选择题）
二、填空题
16．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为______.
17．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
20．如图，在中，若，，，则的长为______.
21．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中：
①；
②∽；
③∽；
④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______．
22．如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________.
23．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.
24．已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为_____.
25．如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为____________．
26．已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为，那么的面积为________．
27．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝4，则圆心O到AC的距离是____.
28．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使得AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，则AE=_____．
29．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝________°，∠B′＝________°.
30．如图，，，，，则________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cs ∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
33．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
34．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
35．如图，已知∽，且、是角平分线，、是中线．求证：∽．
36．如图，已知梯形中，，对角线、交于．已知，．求： ．
37．如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，村庄A到公路l的距离AC=1km，村庄B到公路l的距离BD=2km，公路上两点C，D之间相距4km.
（1）试求出A，B两村之间的距离.
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹），并求出此站点P到点D的距离.
38．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
39．如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．
40．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）x为何值时，PQ∥BC；
（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；

41．在□ABCD中，∠ABC的外角∠ABG的平分线BE分别交DA，CA的延长线于点F、E．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求的值．
42．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.
43．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
44．如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
参考答案
1．D
分析：
根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．
【详解】
解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为，∴D一定成立，
故选D ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
2．D
分析：
证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【详解】
解：∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，
∴S△ADE=S△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．A
分析：
利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
4．B
分析：
根据AB∥CD，易证△AOB∽△DOC，利用对应边成比例即可解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC
∴，
故A、D选项正确；
B、∵，
∴
∴，故本选项错误．
C、∵，
∴，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题主要考相似三角形对应边比例，需要熟练运用比例的性质．
5．A
分析：
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．
【详解】
∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，
∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3，
故选A.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
6．A
分析：
通过观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论．
【详解】
解：观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴．
故选A.
【点睛】
此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.
7．C
分析：
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题.
【详解】
解：∵
∴∽，
∴S△ABC：S△A´B´C´=9：16,
∵的面积为，
∴的面积是 ,
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的性质是解题关键.
8．A
解析：
分析：
线段成比例，找准对应关系即可.
【详解】
m、n、a、b成比例线段
m∶n＝a∶b
故选A
【点睛】
此题重点考察学生对线段成比例的理解，抓住对应关系是解题的关键.
9．B
分析：
根据相似三角形的周长比等于三角形的相似比即可解题.
【详解】
∵三角形保持形状不变，
∴扩大后的三角形与原三角形相似,而周长扩大到原来的4倍,
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
分析：
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
【详解】
解: 根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得:A、C都正确.
根据直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B选项正确;
综上可得:A, B、C选项都正确.
故选D.
【点睛】
本题考查射影定理的知识,属于基础题,注意掌握射影定理的内容并灵活运用.
11．C
分析：
由位似图形的定义“如果两个相似图形的每组对应顶点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.两个位似图形中每组对应顶点所在的直线都交于一点，这个交点叫做位似中心.”可知位似中心在点G，H之间，根据两个三角形网格数可知相似比，即可得出结论.
【详解】
解：A、位似中心在点G，H之间，故A选项错误；
B、位似中心在点G，H之间，故B选项错误；
C、位似中心在点G，H之间，相似比为2：1，故C选项正确；
D、相似比为2：1，故D选项错误；
故答案为C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与位似图形的定义.比较简单，关键熟记定义，结合图像判断即可.
12．D
分析：
由DE//BC可证明△ADE∽△ABC，根据对应边成比例求出BC即可.
【详解】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴BC=3DE=12.
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质与判定，平行于一边的直线和其它两边所构成的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键.
13．C
解析：
分析：
先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD．
【详解】
∵∠BAD=∠C，
而∠ABD=∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB:BC=BD:AB，
∴AB2=BC⋅BD.
故选C.
【点睛】
本题考查三角形中线段的比列关系，解题的关键是应用射影定理.
14．B
解析：
分析：由题意易得DE∥BC，那么可得△ADE∽△ABC，利用对应边成比例可得AB的长．
详解：如图：
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，且DE=1.8,BC=2,AB-AD=0.6.
∴AB=6.
故选B.
点睛：本题考查了相似三角形的应用：三边对应成比例.
15．C
解析：
相似比是1：，所以周长比是1：，选C.
16．
分析：
如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.
【详解】
如图，过N作NF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，
∴NF=AB=6，
∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，
∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，
∴∠AEM+∠NEF=90°，
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠AME=∠NEF，
又∵∠A=∠EFN=90°，
∴△AEM∽△FNE，
∴，
∵AE=2AM，NF=6，
∴EF=3，
∴BN=EN===，
∵BC=8，
∴CN=BC-BN=8-，
故答案为：8-
【点睛】
本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
17．4
分析：
根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可.
【详解】
∵∠ADE=∠C，∠A为公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵DE=3，BC=6，AC=8，
∴，
解得：AD=4，
故答案为：4
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
18．3:2
【详解】
因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为: 3:2.
19．4．
分析：
根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长．
【详解】
∵△ABC∽△ACD，∴，
∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
20．8
分析：
根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
即
∴BC=8（cm）
故答案是：8
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．
21．①②④
分析：
根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵∽，、分别为与的中线，
∴，故①正确；
∵，，
∴∽，故②正确；
∴与对应边上的高之比为，故④正确；
而与不相似，故③错误；
∴正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.
22．５
分析：
先过点B作BD⊥x轴于D，再由A、B的坐标确定，即可得OA,BD,OD的长度，由题意可证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求解.
【详解】
解：如图，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（0，2），B（5，3），
∴OA=2，BD=3，OD=5，
由反射定律可得：∠ACO=∠BCD，
又∵∠AOC=∠BDC=90°
∴△AOC∽△BDC，
∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，
∴OC=2，OD=3
在Rt△BCD中，CD=3，BD=３
∴BC＝＝
又∵AC：BC=2：3
∴AC＝
∴AC+BC＝5
..故选5.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质，解此题的关键是作出辅助线，构造相似三角形.
23．1.8
分析：
根据题意易知△ABC∽△GFA，即＝，代入即可求解.
【详解】
根据题意有AF∥BC，
∴∠ACB＝∠GAF，
又∠ABC＝∠AFG＝90°，
∴△ABC∽△GFA.
∴＝，
得BC＝3.2(m)，
CD＝(2＋3)－3.2＝1.8(m)．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到相似三角形.
24．6和9
分析：
根据三角形相似对应边成比例即可求出x、y的值.
【详解】
∵已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，
∴相似比为===,
∴x=6,y=9.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是找到三角形的相似比.
25．1∶4
解析：
分析：
根据相似三角形的相似比等于对应边的比等于对应边高线、角分线、中线的比等于周长的比即可解题.
【详解】
解：根据相似三角形的性质得三角形的相似比为1:4,
∴三角形对应角平分线的比为1:4.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的概念是解题关键.
26．
分析：
先根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC边，EF边上的高，且AM=3，DN=9，
∴ ,
∴ S△ABC：S△DEF=1:9=S△ABC：27,,
解得S△ABC=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的性质是解题关键.
27．3
解析：
分析：
首先过点O作AC垂线，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离.
【详解】
解:过点O作OD⊥AC于D,
∵BC是⊙O的切线,
∠ABC=90°,
∵OD⊥AC,
∴∠ADO=90°,
∴△ABC~△ADO,
∴,即OD=,
在△ABC中,∠BAC=30°
∴AC=2BC=8
∴AB=12（勾股定理）
∴OA=6=BO,
∴OD===3
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,找到对应线段,列出比例式是解题关键.
28．﹣1
分析：
连接AD，则根据已知可证△CDE∽△CAD，△CDE∽△CAD，
∴CD：CA=CE：CD，即CD2=CA•CE，
再利用已知条件AB=AC=2，利用勾股定理得OC的长，从而求得EC，再求AE=AC-EC.
【详解】
连接AD，如图，
∵AC为切线，
∴AB⊥AC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAC+∠DAB=90°，∠DAB+∠B=90°，
∴∠DAC=∠B，
∵∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠DAC=∠EDC，
而∠DCE=∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA=CE：CD，即CD2=CA•CE，
在Rt△AOC中，OC==，
∴CD=﹣1，
∵AC=AB=2
∴2CE=（﹣1）2，解得CE=3﹣，
∴AE=AC﹣CE=2﹣（3﹣）=﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查切线性质，相似三角形对应边成比例，两角分别相等的两个三角形相似，等腰三角形的性质.
29．60 60
分析：
通过△ABC∽△A′B′C′得出∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，再由三角形内角和等于180°，通过计算就可以得出.
【详解】
解：通过△ABC∽△A′B′C′得出∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，再由三角形内角和等于180°，所以∠B=∠B=180°-∠35°-∠85°=60°.故答案为：60；60.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质和三角形内角和定理，关键在于角之间的关系.
30．
分析：
由，可证明△ABD∽△BDC，根据相似三角形的性质即可求出CD的长度.
【详解】
∵，，
∴△ABD∽△BDC，
∴CD：BD=BD：AB，
∴CD= =，
故答案为
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
31．18.
解析：
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵，
∴，
∴．
32．（1）详见解析；（2）y＝，x的取值范围为 分析：
（1）连接OD，根据两直线平行，内错角相等和等边对等角的性质可得出∠AOC＝∠ODC，再利用边角边的判断定理可证明△AOP≌△ODQ，根据全等三角形对应边相等即可证明AP＝OQ.
（2）过点P作PH⊥OA于点H，过点O作OG⊥CD于点G.根据两直线平行，内错角相等可证明△PFC∽△PAO，利用三角函数的计算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面积，再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方即可用x表示出y，分别取点F与点D和点C重合时，利用垂径定理和相似三角形的性质可求出x的值，因为点F与点C、D不重合，即可得出X的取值范围．
（3）根据题意可知，当△POE为直角三角形时，可分三种情况讨论：即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°，分别讨论三种情况OP的长，并取符合（2）中x的取值范围的结果．
【详解】
(1)证明：连结OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD，
∴∠AOC＝∠ODC.
在△AOP和△ODQ中，
∴△AOP≌△ODQ，
∴AP＝OQ.
(2)作PH⊥OA，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G.
由cs∠AOC=可得OH＝x，
再RT△OPH中，由勾股定理可得：PH=，
则S△AOP＝=3x.
∵CD∥AB，
∴△PFC∽△PAO，
∴，
∴=.
当点F与点C重合时，OP＝10.
当点F与点D重合时，
∵cs∠OCG＝＝cs∠AOC＝，
∴CG＝8，
∴CD＝16.
∵，
∴
解得x＝.
又∵点F与点C、D不重合，
∴x的取值范围为(3)解：当∠POE＝90°时，CQ＝，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；
当∠OPE＝90°时，则∠APO＝90°，
∴OP＝AO·cs∠COA＝8；
当∠OEP＝90°时，此种情况不存在．
∴线段OP的长为8.
【点睛】
本题结合三角形相似考查了几何图形中的动点问题，动点问题要注意运动的范围，此外第三问中只是说△OPE是直角三角形，并未指明哪个角是直角，需要分类讨论.
33．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
分析：
（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论；
（3）先判断出，得出DF2＝BF•EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）如图，连接OD，OC，
在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；
（2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
在Rt中，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠BOC＝60°，
在Rt中，∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝45°＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∵点O是AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，
∴∠COD＝150°，
∴∠OCD＝∠ODC＝15°，
∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，
∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝75°，
∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，
∴，
∴，
∴DF2＝BF•EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，
在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF•EF，
即BO2+OF2＝EF•BF．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
34．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
分析：
（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可．
【详解】
证明：（1）∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
为的中位线，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，
∴，
∴，
即2DF•EG=AF•DG．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
35．见解析
分析：
由相似三角形的性质，得到，，，然后利用角平分线性质和中线的定义，得到，，则∽，然后得到，结合，即可得到∽．
【详解】
证明：∵、是两个三角形的中线，、是两个三角形的角平分线，∽，
∴，，．
∴，．
又∽，
∴，．
又点、点为、中点，
∴，．
∴．
∴∽．
∴．
∴，
∴∽．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形判定的方法和相似三角形的性质.
36．16
分析：
由，可得 由可证 可得，根据即可计算出梯形ABCD的面积.
【详解】
解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查了相似比例与面积的关系，掌握面积间的关系是解题的关键.
37．(1) A，B两村的距离为5km;（2）点P到点D的距离是138km.
解析：
分析：
（1）连接AB交l与点E，易证三角形ACE与三角形BDE为相似三角形，则DECE=BDAC，CD=4，则可求出CE和DE，再利用勾股定理分别求出AE、BE即可求解；
（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到点A、B的距离相等，应在线段AB的垂直平分线上，做出AB的垂直平分线MN，与l的交点P即为所求，设PD=xkm，因PB=PA，所以AC2+CP2=PD2+BD2，代入x和数值求解x即可.
【详解】
解：（1）如图，连接AB交l与点E，
∠AEC=∠BED（对顶角），由题意知∠ACE=∠BDE=900，
∴三角形ACE与三角形BDE为相似三角形，DECE=BDAC=2，
由题意知DE+CE=4，则CE=43，DE=83，
AB=AE+BE=AC2+CE2+BD2+DE2=5，
所以A，B两村的距离为5km；
（2）分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN，直线MN交l于点P，点P即为所求，如图：
设PD=xkm，由PB=PA，所以AC2+CP2=PD2+BD2，
得12+(4−x)2=x2+22，解得x=138，
∴点P到点D的距离是138km.
【点睛】
本题考查尺规作图、相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
38．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
分析：
（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可．
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案．
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC．
∴OC∥AD．
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF．
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC．
∴．
∴AC2=AD•AB．
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形．
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°．
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1．
由勾股定理得：DC=，
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×（2+1）×﹣．
39．（1）见解析；（2）24.
分析：
（1）作出辅助线，利用等角的余角相等即可解题，
（2）利用相似比，找到比例中项即可解题.
【详解】
（1）连接，则有，
又是切线，∴，
而与互余，与互余，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
又∵，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，作出辅助线是解题关键.
40．（1）x＝；（2）AP=cm或20 cm．
分析：
(1)当PQ∥BC 时,根据平行线分线段成比例定理,可得出关于AP,PQ,AB,AC的比例关系式,我们可根据P,Q的速度,用时间x表示出AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值.
(2)本题要分两种情况进行讨论.已知了∠A 和∠C 对应相等,那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值.
【详解】
解：(1)∵PQ∥BC，∴∠AQP＝∠C.
又∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝
即当x＝时，PQ∥BC.
(2)能相似．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴△APQ和△CQB相似可能有以下两种情况：
①△APQ∽△CQB，可得，
即，
解得x＝.
经检验，x＝是上述方程的解．
∴当AP＝4x＝cm时，△APQ∽△CQB；
②△APQ∽△CBQ，可得，
即，
解得x＝5或x＝－10(舍去)．
经检验，x＝5是上述方程的解．
∴当AP＝4x＝20 cm时，△APQ∽△CBQ.
综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质,根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键.
41．(1)详见解析；（2） =.
【详解】
【试题分析】
（1）运用模型“角平分线加平行，出现等腰三角形”证明；
（2）运用相似三角形对应边成比例求解即可.
【试题解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴DF∥BC，
∴∠AFB=∠FBG，
∵BF平分∠ABG，
∴∠ABF=∠FBG，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF；
（2）∵FD∥CG，
∴△EFA∽△EBC，
∴＝＝=，
∴ =
故答案： =.
42．证明见解析.
【详解】
试题分析：要证明BC2＝BG·BF即要证明△BCG∽△BFC，已知∠GBC=∠CBF，即要证明∠BCG=∠F，由于∠F=∠A，即要证明∠A=∠BCG，由已知条件不难证明.
试题解析：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD＝∠A.
又∵∠A＝∠F，
∴∠F＝∠BCD＝∠BCG.
在△BCG和△BFC中，
∵，
∴△BCG∽△BFC.
∴＝，
即BC2＝BG·BF.
点睛：要证明线段乘积相等，一般将乘积先变形成比例式，从而将问题转化为证明三角形相似的问题.
43．(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.
分析：
(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
【详解】
解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．
44．(1)证明见解析
(2)
分析：
(1)连接OC，若要证明C为AD的中点，只需证OC//BD，已知C是的中点，可知OC⊥AB，又BD是切线，可知BD⊥AB，问题得证
(2)由（1）及E为OB中点可知△COE≌△FBE，从而可知BF=CO=BO=2，由勾股定理可得AF的长，由面积法即可求出BH的长
【详解】
（1）连接OC
∵C是的中点，AB是⊙O的直径
∴OC⊥AB
∵BD是⊙O的切线
∴BD⊥AB
∴OC//BD
∵AO=BO
∴AC=CD
（2）∵E是OB的中点
∴OE=BE
在△COE和△FBE中
∴△COE≌△FBE（ASA)
∴BF=CO
∵OB=2
∴BF=2
∴AF=
∵AB是直径
∴BH⊥AF
考点：1、平行线分线段成比例定理；2、切线的性质；3勾股定理；4、全等三角形