安徽省蚌埠市皖北私立联考2023-2024学年高二下学期5月阶段性检测数学试题（Word版附解析）

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数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列中，，且，则（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 13
2. 如果动点满足，则点的轨迹是（ ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 线段
3. 在空间直角坐标系中，已知三点的坐标分别为，是过点且以为法向量的平面上的任意一点，则满足的方程是（ ）
A. B.
C D.
4. 若函数图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. 13B. 7C. 4D. 1
5. 若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 2D. 4
6. 已知在数列中，，若点在直线上，则=（ ）
A. 253B. 1021C. 1024D. 1027
7. 小王家附近有A，B两家超市，小王第一次购物时从两家超市中随机选择一家，且去每家超市概率相等.如果他第一次购物时去A超市，那么第二次购物去A超市的概率为0.7，如果他第一次购物时去B超市，那么第二次购物去A超市的概率为0.6，则小王第二次购物去B超市的概率是（ ）
A. 0.65B. 0.6C. 0.4D. 0.35
8. 如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（ ）

A. 156B. 144C. 96D. 78
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数，满足，则（ ）
A. 当时，的最小值是B. 的最大值是
C. 的最小值是D. 的最小值是1
10. 已知(，a为正常数)的展开式中各项系数的和为729，二项式系数的和为64，则（ ）
A. B. 展开式中无理项有3项
C. 展开式中系数最大的项是第4项D. 展开式中常数项为第5项
11. 已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知F1，F2分别是椭圆左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是________.
13. 某金店用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个秤盘中)，今有5件物品，其质量分别为50克，60克、70克、80克，90克，有4个砝码，质量分别为10克、20克、30克、40克．若要求每次称量时所用的砝码数量最少，则用天平随机称某件物品(每件物品被选中的概率相同)的质量，所用的砝码数量的期望值为________.
14. 为参加一年一度的省高中生数学联赛，某中学先期举行选拔赛，根据初试成绩选出成绩优秀的20人进行复试.复试共设三道题，全部答对者获一等奖，答对两道者获二等奖，答对一道者获三等奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两题答对的概率均为a，第三题答对的概率为b若该生获得―等奖的概率为，获得二等奖的概率为p，则p的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前n项和为.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，若恒成立，求实数m的最小值.
16. 如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.

（1）求直线DB1与平面所成角的正弦值.
（2）当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少?
17. 某公司举行新春联欢活动，活动有一个环节，所有员工抽取红包，每位员工可从下面两种方案中选择一种抽取红包.
方案一：4个红包内分别装有现金200元，400元、400元，800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个；
方案二：员工通过手机扫公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为，每个红包的金额均为元.
员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为，元.
（1）求的分布列及期望；
（2）若，求的值.
18. 已知抛物线C：与椭圆E：一个交点为，且E的离心率.
（1）求抛物线C和椭圆E的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
19. 已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.