安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一下学期5月同步测试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可．
【详解】由，则，
所以复数对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
2. 已知向量，，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】由题意，得，，
若，则，
即，解得，
所以“”推得出“”，即必要性成立，
但“”推不出 “”，即充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3. 如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图．若，，，则的面积为（ ）

A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再根据求解即可.
【详解】由已知得，
所以.
故选：B.
4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
于是，而，则，
所以是等腰三角形.
故选：A
5. 设是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，若，则或，无法确定与的关系，错误；
对于B选项，根据面面平行的性质定理，缺少的条件，它们可能平行或异面，错误；
对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件，平行、相交或均有可能，错误；
对于D选项，若，则，由面面垂直的判定定理可得，正确.
故选：D
6. 已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，即可得出外接球的球心及半径，根据球的体积公式计算即可．
【详解】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接，
则，底面，为正六棱锥的高，
所以，
因为正六棱锥的体积为，所以，即，
故点为外接球的球心，半径为2，
故外接球的体积，
故选：C．
7. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可.
【详解】连接，取的中点，连接,，

由题意知，，则异面直线与所成角（或其补角），
在中，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
8. 在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】先根据空间中线面的位置关系确定截面形状；再根据几何关系即可求解.
【详解】如图所示，

在棱上取一点，使得.
因为在棱上，且，
所以，.
由正方体性质可知：平面平面，.
又因为平面平面，平面，
所以平面，
则平面.
又因为平面
所以.
取为的中点，在棱上取一点，使得.
则，,
所以.
因为为的中点，
则由正方体的性质可得：平面.
又因为平面，
所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
同理可得：在棱上取一点，使得时有.
所以截面为四边形.
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以
又因为，
所以，，.
所以等腰梯形为所得截面，梯形的高为.
所以等腰梯形面积为，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间中线面的位置关系及正方体的截面.解题关键在于熟练运用线、面平行与垂直的判定定理和性质定理来确定截面的形状.
二、多选题
9. 对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，，且有两解，则的取值范围是
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，由余弦定理可证D.
【详解】选项A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，
为钝角三角形，A正确；
选项B：如图所示，
若有两解，则，解得，B错误；
选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，则，
又因为在单调递增，所以，C正确；
选项D：若，，
由余弦定理，，
所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确.
故选：ACD
10. 如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【详解】截面中间是矩形，如果可能话，那么一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面；
当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图②中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面；
如图③，按图中截面A1B1C1的位置去剖开正方体，截面就会如选项D，故D可能是该几何体的截面．
故选BCD.
11. 如图，正方体的棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）

A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积为
D. 以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.
【详解】对于A，为边长为的等边三角形，的最小值即该等边三角形的高，为，故A正确；

对于B，如图，将等边绕旋转到与平面共面，
显然，故B正确；
对于C，当P在D上时，，故C错误；
对于D，设点B到平面的距离为d,
，
，
，，
以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线是以中心为圆心，以为半径的圆，

如图，圆有一部分在正方体外，，由A得，
，所以，，
所以有圆周在正方体内部，其长度为，故D对.
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量公式计算即可.
【详解】设与的夹角为，
因为，
即，又，
则，即．
故答案为：.
13. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.

【答案】
【解析】
【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．
【详解】如图所示，
在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，
连接、，易知四边形是菱形，
设在平面的射影为，
由正三棱锥可知，点是△的外心，
，则，
由，得，
所以，再结合，得，
从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，
同理，在平面（即平面上的射影为的外心，
连接，则在平面上的射影为，
进而即为直线与平面所成角，记，
则，其中为定值，
而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，
取得最小值，记相交于Q,易知，
则，
此时取得最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键是确定在平面上的轨迹为圆.
14. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得．
【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
平面，则平面，
所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长，
的最小值为到平面的距离，
连接交于点，连接交于点，，
由平面，平面，得，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
又因为，平面，所以平面，
同理可证，所以，从而，
故线段的长的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题
15. 已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角的平方关系求出，由三角形面积公式求出圆锥母线长，进而求出底面半径，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解；
（2）设圆柱底面半径，则圆柱的高为，结合圆柱侧面积公式和基本不等式计算即可.
【小问1详解】
设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
∴，解得（负值舍去），
又，所以，
∴圆锥的侧面积．
【小问2详解】
作出轴截面如图所示：由（1）可知，
设圆柱底面半径，即，
则圆锥的高，
所以，即圆柱的高为，
所以圆锥内接圆柱的侧面积，
当且仅当，即时取等号，
所以圆锥内接圆柱侧面积的最大值为.
16. 如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，．
（1）求直三棱柱的体积；
（2）求证：面．
（3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．
【答案】（1）144；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算得解.
（2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理即得.
（3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，由，得，
由，得，，
所以直三棱柱的体积.
【小问2详解】
连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点，
则，又平面，平面，
所以平面.
【小问3详解】
当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图，
连接，过作于，交于点，
由，得，，，
，则，
因此；
当小虫从点沿正方形爬到点D，把正方形与置于同一平面内，
或把正方形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然共线，则，，
而，因此，
在右图中，，；
当小虫从点沿矩形爬到点D，把矩形与置于同一平面内，
或把矩形与矩形置于同一平面内，如图，
在左图中，取中点，连，显然共线，则，，
而，因此，
在右图中，，，
显然，
所以小虫爬行的最短距离.
17. 已知的内角所对的边分别为,设向量,,且.
（1）求角;
（2）若,的面积为,求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可;
（2）先根据三角形的面积公式求出,再利用正弦定理求出即可.
【小问1详解】
因为,,且,
所以,
由正弦定理可得:，即,
由余弦定理得:，所以,
又,所以.
【小问2详解】
因为,
由三角形面积公式得:，解得,
所以为等腰三角形，所以,
又，即,
所以的周长为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．

（1）求证：平面；
（2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；
（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.
【小问1详解】
因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点，
所以，
因为，面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
取的中点，的中点，连接，
则且，，
故，
因为面面，面面，面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为；
【小问3详解】
当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
（1）设，，为虚数单位，求复向量、的模；
（2）设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．
【答案】（1），
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；
（2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立；
②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值．
【小问1详解】
因为，所以，
可得的模为；
因为，所以，
所以的模为；
【小问2详解】
因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，
②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
若复向量与平行，则，
根据中等号成立的条件，应有，
则，
结合，得，解得；
所以，所以．