湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

这是一份湖南省郴州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题，共8页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

（试题卷）
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡。试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分。考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知，若，则等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．唱歌比赛时共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．极差
4．在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红、黄4种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红4种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得米，则岳阳楼的高度测量值为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
8．在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，完全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是
B．连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面是两个独立事件
C．数据的第70百分位数是23.5
D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9
10．是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的外接圆半径为
B．在方向上的投影向量等于
C．
D．的最小值为—1
11．如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）
12．在中，点在边上，．记，则______．（用表示）
13．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，则的最大值为______．
14．如图，是三个独立的开关，设它们闭合的概率分别为则该线路是通路的概率为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本大题13分）
已知为单位向量，设向量．
（Ⅰ）若，求与的夹角；
（Ⅱ）已知与的夹角为，求的模长．
16．（本大题15分）
设锐角的内角的对边分别为，
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若边，面积为，求的周长．
17．（本大题15分）
从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）估计家庭消费总支出的第75百分位数．
（Ⅲ）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率．
18．（本大题17分）
如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求与平面所成的角的正弦值．
19．（本小题17分）
随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，，
（Ⅰ）已知概率，
（ = 1 \* rman i）求的值．
（ = 2 \* rman ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．
（Ⅱ）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．
郴州市2024年上学期期末教学质量监测试卷
高一数学参考答案及评分细则
（命题人：桂阳一中 李民忠 安仁一中 曹志华 永兴一中 刘小春
审题人：郴州市教科院 汪昌华 郴州市二中 王勇 林邑中学 李东璠）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1—5 DACDB6—8 BAC
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，完全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．ABC10．AC11．ABD
三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）
12．13．314．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（Ⅰ）设与的夹角为，由题得
即
又因为，所以
所以与的夹角为
(Ⅱ）因为与的夹角为，所以
所以
因为为单位向量所以
所以的模长为7
16．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得
又，得，
所以，又角为锐角，所以；
（Ⅱ）由（1）得，则，
由余弦定理，得
所以，所以，
所以的周长为．
17．（Ⅰ）由频率分布直方图，得，
．
（Ⅱ）第75百分位数为，则，
解得
所以，第75百分位数为85．
（Ⅲ）由分层抽样可知，组抽取了2人，设为A、B，从组抽取了4人，设为，
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：
共15种，满足来自同一组的有7种，
所以所抽取的2人来自同一组的概率是
18．证明：（Ⅰ）因为为矩形，所以，
又因为面面且交于，所以面，所以
又因为
所以面
所以（方法2：验证三边满足勾股定理，酌情给分）
（Ⅱ）过作于点，过作于点，连因为面面且交于，所以面，
面
所以，为二面角的平面角
在Rt中，，
，显然，，
所以
所以，二面角的余弦值为
（Ⅲ）由（1）知：，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，得：，
与平面所成的角的正弦值为．
19．解：（Ⅰ）由题知：（ = 1 \* rman i）根据独立性性质知
解得：
（ = 2 \* rman ii）由（ = 1 \* rman i）知：
设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则
与互斥，与与分别相互独立，
所以
因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为．
（Ⅲ）由题知：
设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则
与互斥，与与分别相互独立，
所以
，当且仅当时等号成立
．